%281%2B1%29维Maxwell-Chern-Simons-Higgs系统解的局部适定性.pdf

第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 2月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.4D e c.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 5 2 3作者简介:孟嘉乐(1 9 9 9),男,硕士研究生,研究方向为偏微分方程理论及其应用.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 4-0 3 4 1-0 5(1+1)维M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s系统解的局部适定性孟嘉乐(延边大学 理学院,吉林 延吉 1 3 3 0 0 2)摘要:在L o r e n z规范条件下,研究了(1+1)维M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s波动系统.利用S o b o l e v嵌入不等式和压缩映射不动点定理证明了(1+1)维M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s系统的C a u c h y问题在H2H1空间上具有局部适定性.关键词:M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s系统;L o r e n z规范条件;S o b o l e v嵌入不等式;局部适定性中图分类号:O 1 7 5.2 9 文献标志码:AL o c a l w e l l-p o s e d n e s s o f s o l u t i o n s o f(1+1)-d i m e n s i o n M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s s y s t e mME NG J i a l e(C o l l e g e o f S c i e n c e,Y a n b i a n U n i v e r s i t y,Y a n j i 1 3 3 0 0 2,C h i n a)A b s t r a c t:U n d e r t h e L o r e n z g a u g e c o n d i t i o n,t h e(1+1)-d i m e n s i o n a l M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s w a v e s y s t e m w a s s t u d i e d.A n d t h e l o c a l w e l l-p o s e d n e s s o f t h e C a u c h y p r o b l e m o f t h e(1+1)-d i m e n s i o n a l M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s s y s t e m i n H2H1 s p a c e w a s p r o v e d b y S o b o l e v e m b e d d i n g i n e q u a l i t y a n d t h e c o n t r a c-t i o n m a p p i n g f i x e d p o i n t t h e o r e m.K e y w o r d s:M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s s y s t e m;L o r e n z g a u g e c o n d i t i o n;S o b o l e v e m b e d d i n g i n e q u a l i t y;l o c a l w e l l-p o s e d n e s s0 引言1 9 9 0年,L e e等1研究了同时具有M a x w e l l项和C h e r n-S i m o n s项的(2+1)维M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s(MC S H)自对偶模型,该模型的拉格朗日函数为:L=-14FF+4FA+DD+12NN-12(e2+N-e v2)2-e2N22.(1)其中:g=d i a g(1,-1,-1)是R3上的(2+1)维闵可夫斯基度量;是复函数;N是实函数;A=(A0,A1,A2)是实规范场,满足F=A-A,D=-ie A;e是电子的电荷;是C h e r n-S i m o n s常数(0).在该系统中,用希腊符号表示0,1,2,用拉丁符号表示1,2.对系统(1)进行变分可分别得到(A,N)对应的欧拉 拉格朗日方程,为:延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 F+2F+2eI m(D)=0,DD+U(2,N)=0,N+UN=0,其中:U(2,N)=12(e2+N-e v2)2+e2N22.2 0 0 2年,C h a e等2在洛伦兹规范条件下证明了(1+2)维MC S H系统在H2H1空间上存在整体适定解.2 0 2 1年和2 0 1 9年,J i n等3和H u h等4通过降维方法研究了(1+1)维M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-O(3)-s i g m a系统解的整体适定性.基于上述研究,本文将(1+2)维MC S H系统降维到了(1+1)维MC S H系统,并研究了该系统解的局部适定性.1 系统性质分析假设系统(1)与变量x2无关,并将变量A2重新定义为B,由此得到的(1+1)维MC S H模型的拉格朗日函数为:L=12F0 12+0B2-1B2 -F0 1B+D02-D12-e2B22+120N2-1N2 -12(e2+N-e v2)2-e2N22.其中:g=d i a g(1,-1).同理,对(1+1)维MC S H系统进行变分可分别得到(,N,A,B)对应的欧拉 拉格朗日方程:DD+V(2,N,B)=0,N=-VN(2,N,B),10A1-11A0=-1B-2eI m(D0),00A1-01A0=-0B-2eI m(D1),00B-11B=F0 1-VB(2,N,B).(2)其中:V(2,N,B)=e2B22+U(2,N)=12(e2+N-e v2)2+(N2+B2)e22,V、VN、VB分别是V(2,V)对应于、N、B的导数:V(2,N,B)=(e2+N-e v2)e+(N2+B2)e2,VN(2,N,B)=(e2+N-e v2)+2e2N2,VB(2,N,B)=2e2B2.为了方便对共变导数进行运算,本文首先作以下说明:DD=DD-ie F,()=D+D,D()=+D.因此,参考文献2 对系统(2)进行计算可得系统(2)在如下变换下具有规范不变性:ei,AA+,BB,NN.其中:R1+1R是一个光滑函数.由上式可知,系统(2)的解可由规范等价对(,N,A,B)组成.对系统(2)进行积分运算可得系统(2)的守恒能量为:E(t)=12RF0 12+B2+2D2+N2+2V(2,N,B)dx=E(0).由上式可以看出,(,N,A,B)有两种自然渐进条件可使能量有限,分别为:非拓扑边界情况:当x 时,(,N,A,B)(0,e v2,0,0);拓扑边界情况:当x 时,(2,N,A,B)(v2,0,0,0).(3)243 第4期孟嘉乐:(1+1)维M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s系统解的局部适定性对于式(3)的非拓扑边界情况,本文用N来代替系统(2)中的N-e v2,并将N再次记作N.由此得当x 时,有(,N,A,B)(0,0,0,0),由此可得:U(2,N)=12(e2+N)2+e2(N+e v2)22,V(2,N,B)=12(e2+N)2+B2e22+(N+e v2)2e22.对于式(3)的拓扑边界情况,本文用2来代替系统(2)中的2-v2,并将2也记作2.由于该情况解的存在性的证明方法与非拓扑边界情况解的存在性的证明方法相同,所以其证明在此省略.在洛伦兹规范条件0A0-1A1=0下,(1+1)维MC S H系统的柯西问题可改写为:=2 ie A+e2AA-V(2,N,B),N=-VN(2,N,B),A0=-1B-2eI m(D0),A1=-0B-2eI m(D1),B=F0 1-VB(2,N,B).(4)其中:V(2,N,B)=12(e2+N)2+e2B22+(N+e v2)2e22.本文设系统(4)的初值为(0,)=0,t(0,)=1,A(0,)=a0,tA(0,)=a1,B(0,)=b0,tB(0,)=b1,N(0,)=n0,tN(0,)=n1.且上述初值满足约束方程:0a1 0-1a0 1=0,11a0 0-1a1 1-1b0-2eI m(01+ie a0 002)=0.(5)2 结果及其证明定理1假设系统(4)的初值0H2,1H1,a0H2,a1H1,b0H2,b1H1,n0H2,n1H1,且上述初值满足约束方程(5),则MC S H系统(4)存在唯一的局部时间解,且满足:C(0,T,H2(R)C1(0,T,H1(R),AC(0,T,H2(R)C1(0,T,H1(R),BC(0,T,H2(R)C1(0,T,H1(R),NC(0,T,H2(R)C1(0,T,H1(R).为证明定理1,首先作以下说明并给出引理2.记u=(A,B,N),其中A=(A0,A1);记HsHs-1空间的范数为u(t)HsHs-1=u(t)Hs+0u(t)Hs-1;令u0=u(,0)和u1=tu(,0).由上述得到u0H2H1=u0H2+u1H1.引理25令(u0,u1)HsHs-1,hL1(0,T,Hs-1),则线性波动方程u=h(x,t),u(x,0)=u0(x),tu(x,0)=u1(x)存在唯一解,且其满足uC(0,T;Hs)C(0,T;Hs-1).即对于0tT,有如下能量不等式成立:u(,t)Hs+tu(,t)Hs-1C(1+t)u0Hs+u1Hs-1+t0h(,s)Hs-1ds .定理1的证明 首先对于任意的T0,令XT=C(0,T);H2(R)C1(0,T);H1(R),且定义XT空 间 上 的 范 数 为fXT=s u p0tTf(t)H2H1.假 设 存 在 常 数T和0,使 得 在 闭 球B=(u,0u)C(0,T;H2H1):uXT 0上可构造一个映射F:XTXT,同时该映射满足(A(n+1),(n+1),B(n+1),N(n+1)=F(A(n),(n),B(n),N(n)和(1+1)维MC S H系统(4):343延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 (n+1)=2 ie A(n)00(n)-2 ie A(n)11(n)+e2(A(n)0)2(n)-e2(A(n)1)2(n)-V(n)(n)2,N(n),B(n),N(n+1)=-VN(n)(n)2,N(n),B(n),A(n+1)0=-1B(n)-2eI m(n)D0(n),A(n+1)1=-0B(n)-2eI m(n)D1(n),B(n+1)=0A(n)1-1A(n)0-VB(n)(n)2,N(n),B(n).(6)令u(n+1)0H2H1=d,再对式(6)应用引理2可得:(n+1)H2H1C(1+t)d+t0A(n)(n)H1+(A(n)2(n)H1+V(n)H1ds ,N(n+1)H2H1C(1+t)d+t0VN(n)H1ds ,A(n+1)H2H1C(1+t)d+t0B(n)H1+I m(n)D(n)H1ds ,(n+1)H2H1C(1+t)d+t0A(n)H1+VB(n)H1ds .其中:表示0或1,D表示D0或D1,常数C取值依赖于e.为了控制u(n+1)H2H1,本文应用S o b o l e v嵌入不等式H1(R)L(R)对上式积分项进行估计,其中对最高阶项的估计结果为:A(n)(n)H1A(n)(n)L2+1A(n)(n)L2+A(n)1(n)L2 A(n)H1(n)L2+1A(n)H1(n)L2+A(n)H11(n)L2u(n)H2H1.同理可得:I m(n)D(n)H1(n)D(n)L2+1(n)D(n)L2+(n)1D(n)L2 (n)(n)L2+(n)2A(n)L2+1(n)(n)L2+1(n)(n)A(n)L2+(n)1(n)L2+(n)21A(n)L2+(n)1(n)A(n)L2 (n)H1(n)L2+(n)2H1A(n)L2+1(n)H1(n)L2+(n)H1A(n)H11(n)L2+(n)H11(n)L2+(n)2H11A(n)L2+(n)H1A(n)H11(n)L2u(n)H2H1.对其他项应用同样的估计方法并合并最终可得:u(n+1)(t)H2H1C(1+t)d+t0u(n)(s)H2H1ds .(7)利用u(n)XT0对上式进行估计得u(n+1)(t)H2H1C(1+t)(d+0t),其中0tT.令d=T1+T0,T1+CC-1,由此可得u(n+1)XT0.又由式(7)可知当0tT时,映射F:BB满足下式:(F(u(n)-F(v(n)(t)H2H1C(1+t)t0(u(n)-v(n)(s)H2H1ds .其中:0tT.令T足够小且可使C(1+T)T12,于是由上式可得:F(u(n)-F(v(n)XT12u(n)-v(n)XT.由上式可知F 为BB上的压缩映射.由此再通过不动点定理即可得系统(4)存在唯一的解uC(0,T;H2(R)C1(0,T;H1(R).(下转第3 7 1页)443 第4期林洪军,等:连云港徐圩新区河湖底泥的理化特征及其氮磷污染程度评价5 1(4):1 5 1-1 5 9.8 张占梅,黄大俊,石瑞琦,等.重庆主城区河流底泥中重金属污染现状及生态风险分析J.重庆交通大学学报(自然科学版),2 0 2 0,3 9(1 1):1 2 2-1 2 7.9 韩继博,张晟瑀,周昊,等.中国北方某湖泊底泥污染分析及重金属潜在生态风险评价J.世界地质,2 0 2 2,4 1(1):2 2 7-2 3 5.1 0 MU L L E R G.I n d e x o f g e o a c c u m u l a t i o n i n s e d i m e n t s o f t h e R h i n e R i v e rJ.G e o J o u r n a l,1 9 6 9,2(3):1 0 8-1 1 8.1 1 成杭新,李括,李敏,等.中国城市土壤化学元素的背景值与基准值J.地学前缘,2 0 1 4,2 1(3):2 6 5-3 0 6.1 2 陈静生,周家义.中国水环境重金属研究M.北京:中国环境科学出版社,1 9 9 2:1 6 8-1 7 0.1 3 国家环境保护局,中国环境监测总站.中国土壤元素背景值M.北京:中国环境科学出版社,1 9 9 0.1 4 MA X L,Z UO H,T I AN M J,e t a l.A s s e s s m e n t o f h e a v y m e t a l s c o n t a m i n a t i o n i n s e d i m e n t s f r o m t h r e e a d j a c e n t r e g i o n s o f t h e Y e l l o w R i v e r u s i n g m e t a l c h e m i c a l f r a c t i o n s a n d m u l t i v a r i a t e a n a l y s i s t e c h n i q u e sJ.C h e m o s p h e r e,2 0 1 6,1 4 4:2 6 4-2 7 2.1 5 孙映宏.基于M u l l e r地质累积指数法的杭州城区河道底泥重金属污染评价J.浙江水利水电专科学校学报,2 0 1 3,2 5(1):1-3.1 6 孟敏,杨林生,韦炳干,等.我国设施农田土壤重金属污染评价与空间分布特征J.生态与农村环境学报,2 0 1 8,3 4(1 1):1 0 1 9-1 0 2 6.(上接第3 4 4页)下证解的稳定性.假设u和v分别为MC S H系统(4)对应于初值u0和v0的解,若u0H2H1,v0H2H1d,则由式(7)可得:F(u)-F(v)XT=u-vXTC(1+t)u0-v0H2H1+T u-vXT .同样,令T足够小且可使C(1+T)T12,由此可得u-vXTC u0-v0XT.最后证明(1+1)维MC S H系统的解满足约束方程(5).令X:0A0-1A1,Y:11A0-10A1-1B-2eI m(D0),则由此再利用式(4)可分别得:tX=00A0-01A1=11A0-1B-2eI m(D0)-10A1=Y,X=011A0-111A1=011A0-100A1+0B+2eI m(D1)=t11A0-10A1-1B-2eI m(D1D1)=t11A0-10A1-1B-2eI m(D0)=tY.由上式可得X=0为齐次线性波动方程,因此XH2H1且唯一.再由文献6可知,对于任意的u(t)H3H2始终有XH2H1,因此有X=0,Y=0,即u(t)满足约束方程.定理1证毕.参考文献:1 L E E C,L E E K,M I N H.S e l f-d u a l M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s s o l i t o n sJ.P h y s L e t t B,1 9 9 0,2 5 2:7 9-8 3.2 CHA E D,CHA E M.T h e g l o b a l e x i s t e n c e i n t h e C a u c h y p r o b l e m o f t h e M a x w e l l-C h e r n-S i m o n s-H i g g s s y s t e mJ.J M a t h P h y s,2 0 0 2,4 3:5 4 7 0-5 4 8 2.3 J I N G H,MOON B.L o c a l a n d g l o b a l s o l u t i o n s t o t h e O(3)-s i g m a m o d e l w i t h t h e M a x w e l l a n d t h e C h e r n-S i m o n s g a u g e s i n R1+1J.J M a t h A n a l A p p l,2 0 2 1,4 9 5:1 2 4 7 1 5.4 HUH H,J I N G H.R e m a r k s o n C h e r n-S i m o n s g a u g e d O(3)s i g m a m o d e l i n o n e s p a c e d i m e n s i o nJ.J M a t h P h y s,2 0 1 9,6 0:0 2 1 5 0 8.5 S OG G E C D.L e c t u r e s o n N o n l i n e a r W a v e E q u a t i o n sM.B o s t o n MA:I n t e r n a t i o n a l P r e s s,1 9 9 5:1 1-2 3.6 MON C R I E F V.G l o b a l e x i s t e n c e o f M a x w e l l-K l e i n-G o r d o n f i e l d s i n(2+1)-d i m e n s i o n a l s p a c e-t i m eJ.J M a t h P h y s,1 9 8 0,2 1(8):2 2 9 1-2 2 9 6.173