2023学年贵州省湄潭县湄江高级中学高考仿真卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．设，，则（ ） A． B． C． D． 3．设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 4．执行如图的程序框图，若输出的结果，则输入的值为( ) A． B． C．3或 D．或 5．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．设，，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，矩形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BE折起至，记二面角的平面角为，直线与平面BCDE所成的角为，与BC所成的角为，有如下两个命题：①对满足题意的任意的的位置，；②对满足题意的任意的的位置，，则( ) A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 9．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 10．在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体（如图），则此四面体的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 11．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 12．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知实数，满足，则目标函数的最小值为__________． 14．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，, 则异面直线与所成的角为____. 15．抛物线的焦点到准线的距离为 ． 16．已知是同一球面上的四个点，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在四棱柱中，底面为正方形，，平面． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 18．（12分）已知函数， （Ⅰ）当时，证明； （Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数． 19．（12分）已知，且的解集为. （1）求实数，的值； （2）若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14，求实数取值范围. 20．（12分）在数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）若存在，使得成立，求实数的最小值 21．（12分）已知函数. （Ⅰ）求在点处的切线方程； （Ⅱ）已知在上恒成立，求的值. （Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：. 22．（10分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示. （1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率； （2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望； （3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试求事件“”的概率. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【题目详解】 构造函数， 因为， 所以， 所以为奇函数， 当时，，所以在上单调递减， 所以在R上单调递减. 因为存在， 所以， 所以， 化简得， 所以，即 令， 因为为函数的一个零点， 所以在时有一个零点 因为当时，， 所以函数在时单调递减， 由选项知，， 又因为， 所以要使在时有一个零点， 只需使，解得， 所以a的取值范围为，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 2、D 【答案解析】 由不等式的性质及换底公式即可得解. 【题目详解】 解：因为，，则，且， 所以，， 又, 即,则， 即， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题. 3、B 【答案解析】 由题意知且，结合数轴即可求得的取值范围. 【题目详解】 由题意知，，则，故， 又，则，所以， 所以本题答案为B. 【答案点睛】 本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定中的元素是解题的关键，属于基础题. 4、D 【答案解析】 根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可得选项. 【题目详解】 因为,所以当，解得 ，所以3是输入的x的值； 当时，解得，所以是输入的x的值， 所以输入的x的值为 或3， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题. 5、C 【答案解析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【题目详解】 由题意可知几何体的直观图如图： 上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：， 故选：C 【答案点睛】 本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 6、A 【答案解析】 根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论. 【题目详解】 由题知， ，则. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.. 7、D 【答案解析】 集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【题目详解】 ， ， 则 故选 【答案点睛】 本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 8、A 【答案解析】 作出二面角的补角、线面角、线线角的补角，由此判断出两个命题的正确性. 【题目详解】 ①如图所示，过作平面，垂足为，连接，作，连接. 由图可知，，所以，所以①正确. ②由于，所以与所成角，所以，所以②正确. 综上所述，①②都正确. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9、C 【答案解析】 根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解. 【题目详解】 由双曲线， 则渐近线方程：， ， 连接，则，解得， 所以，解得. 故双曲线方程为. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 10、A 【答案解析】 画图取的中点M，法一：四边形的外接圆直径为OM，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出的外接圆直径，求出和，即可求半径从而求外接球表面积； 【题目详解】 如图，取的中点M，和的外接圆半径为，和的外心，到弦的距离（弦心距）为. 法一：四边形的外接圆直径，， ； 法二：，，； 法三：作出的外接圆直径，则，，， ，，， ，，，. 故选：A 【答案点睛】 此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目. 11、D 【答案解析】 由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【题目详解】 如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得， ∴． 正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为， 则由得，解得， ∴． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 12、C 【答案解析】 直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值． 【题目详解】 设抛物线的准线为， 直线恒过定点， 如图过A、B分别作于M，于N， 由，则， 点B为AP的中点、连接OB，则， ∴，点B的横坐标为， ∴点B的坐标为，把代入直线， 解得， 故选：C． 【答案点睛】 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、-1 【答案解析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【题目详解】 作出实数x，y满足对应的平面区域如图阴影所示； 由z＝x+2y﹣1，得yx， 平移直线yx，由图象可知当直线yx经过点A时， 直线yx的纵截距最小，此时z最小． 由，得A（﹣1，﹣1）， 此时z的最小值为z＝﹣1﹣2﹣1＝﹣1， 故答案为﹣1． 【答案点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题 14、 【答案解析】 要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角． 【题目详解】 取的中点E,连AE, ,易证，∴为异面直线与所成角， 设等边三角形边长为，易算得∴在 ∴ 故答案为 【答案点睛】 本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求． 15、 【答案解析】 试题分析：由题意得，因为抛物线，即，即焦点到准线的距离为. 考点：抛物线的性质． 16、 【答案解析】 求得等边三角形的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【题目详解】 设是等边三角形的外心，则球心在其正上方处.设，由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径，所以外接球的表面积为. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）详见解析；（2）. 【答案解析】 （1）连接，设，可证得四边形为平行四边形，由此得到，根据线面平行判定定理可证得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果. 【题目详解】 （1）连接，设，连接， 在四棱柱中，分别为的中点，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面． （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系