第06-12节课矩阵讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

1第二章第二章 矩阵矩阵2第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211由由nm 个个数数ija(njmi,2,1;,2,1 )排排成成的的一一个个m行行n列列的的矩矩形形数数表表,称称为为一一个个nm 矩矩阵阵,记记作作 定义定义其中其中ija称为矩阵的第称为矩阵的第 i 行第行第 j 列的元素列的元素.3为了标明矩阵的行数为了标明矩阵的行数m和列数和列数n,可用可用Am n表示表示,mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211一般情形下一般情形下,用大写黑体字母用大写黑体字母 A,B,C 等等表示矩阵表示矩阵.)(nmijaA 或记作或记作4例如例如 34695301是一个是一个 矩阵矩阵,42 421是一个是一个 矩阵。矩阵。13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 205224263是一个是一个 矩阵。矩阵。33 5如果矩阵如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于的行数与列数都等于n，则称则称A为为 n 阶矩阵阶矩阵(或称或称 n 阶方阵阶方阵)。nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211主对角线主对角线nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211|对于对于 n 阶方阵阶方阵 A，对应一个行列式，记作，对应一个行列式，记作|A|或或 det A。注意注意 矩阵与行列式有本质区别：行列式是一个算式矩阵与行列式有本质区别：行列式是一个算式,一个数字一个数字行列式表示一个行列式表示一个数值数值,而矩阵是一个而矩阵是一个数表数表,它的行数和列数可以它的行数和列数可以不同不同.对于方阵对于方阵A,虽有行列式虽有行列式|A|,但但A和和|A|是不同的概念是不同的概念,不能不能混为一谈。混为一谈。6同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1 1、两个矩阵的行数相等、两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同型矩阵同型矩阵。例如例如 9348314 736521 与与为为同型矩阵同型矩阵.2 2、两个矩阵、两个矩阵 为为同型矩阵，同型矩阵，并且对应元素相等，即并且对应元素相等，即)()(ijijbBaA 与与 ,2,1;,2,1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作.BA 7例例1 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA .2,3,2 zyx8元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零矩阵记零矩阵记作作 或或 O。nm nmO .00000000000000000000 注意：注意：不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的。例如例如9几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵(一一)对角矩阵对角矩阵 n 00000021如如果果方方阵阵中中非非主主对对角角线线上上的的所所有有元元素素都都是是零零(即即当当ji 时时，0 ija)，即形如即形如的方阵的方阵,称为称为对角矩阵对角矩阵，可记作可记作10(二二)数量矩阵，单位矩阵数量矩阵，单位矩阵 000000即形如即形如的方阵，称为的方阵，称为数量矩阵数量矩阵，当对角矩阵的主对角上的元都相同时，当对角矩阵的主对角上的元都相同时，特特别别地地，当当1 时时，称称n阶阶数数量量矩矩阵阵 100010001为为n阶阶单单位位矩矩阵阵，记记作作nE或或E。11(三三)三角形矩阵三角形矩阵方阵中，如果在主对角线之下的所有元素都是零方阵中，如果在主对角线之下的所有元素都是零(即当即当ji 时，时，0 ija)，nnnnaaaaaa00022211211即形如即形如的方阵，称为的方阵，称为上上三角形矩阵三角形矩阵，类似地，类似地，nnnnaaaaaa212221110000下三角形矩阵下三角形矩阵。12(四四)对称矩阵对称矩阵定义定义为为对对称称阵阵。例例如如 6010861612A对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。说明说明 设设A为为n阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即即AAT),2,1,(njiaajiij 那末那末A称为称为对称阵对称阵。13。为反对称阵为反对称阵例如例如 021206160A反对称阵的对角元全为零。反对称阵的对角元全为零。说明说明),2,1,(njiaajiij 那末那末A称为称为反对称阵反对称阵。设设A为为n阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即AAT (四四)对称矩阵对称矩阵定义定义 14设设B 是是一一个个nm 矩矩阵阵，证证明明：BBT和和TBB都都对对称称。例例2 2证证 因为因为 BTB 是是 n 阶方阵，且阶方阵，且同理可证，同理可证，BBT 是是 m 阶对称矩阵。阶对称矩阵。TTBB)(TTTBB)(,BBT 所以所以 BTB 是对称矩阵；是对称矩阵；15若若A、B为同阶对称阵为同阶对称阵(反对称阵反对称阵)，则，则BAAk,仍为对称阵仍为对称阵(反对称阵反对称阵)。A、B为同阶对称阵，为同阶对称阵，AB未必对称；未必对称；只有只有A、B可可交换交换，AB才对称。才对称。设设A是是n阶反对称矩阵阶反对称矩阵,B是是n阶对称矩阵阶对称矩阵,则则AB+BA是是反对称矩阵反对称矩阵.练练 习习(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(A)+(A)B=(AB+BA).证证17第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111(一一)矩阵的加法矩阵的加法设设)(ijaA 和和)(ijbB 是两个是两个nm(同型同型)矩矩阵，则矩阵阵，则矩阵 A 和和 B 的的和和记作记作BA,规定为规定为 定义定义注：注：只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是同型同型矩阵时，才能进行加法矩阵时，才能进行加法运算运算。18例例2 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 19矩阵加法的运算规律：矩阵加法的运算规律：;)1(ABBA ；)()()2(CBACBA mnmmnnaaaaaaaaa112222111211,负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A.A 记为记为.)(OAA 显然有显然有)(BABA 定义矩阵的定义矩阵的减法减法：.)3(AAOOA 20说明说明：只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是同型同型矩阵时，才能进行减法矩阵时，才能进行减法运算运算。例例3 1234569818630915312 1826334059619583112 74041451451121(二二)矩阵的数乘矩阵的数乘.212222111211 mnmmnnkakakakakakakakakakA定义定义 数数 k 与矩阵与矩阵 A 的乘积记作的乘积记作 kA，规定规定22;)()1(kBkABAk ;)()2(lAkAAlk ;)()()3(AkllAk 数乘矩阵的运算规律：数乘矩阵的运算规律：加法和数乘合称为矩阵的加法和数乘合称为矩阵的线性运算。线性运算。（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）lk,nm BA、.01)4(OAAA ，23已已知知 230412301321A，052110351234B，求求BA23。例例4 4解解BA23 05211035123422304123013213 010422061024686901236903963.61941016151055011 24例例5 5 已知已知且且A+2X=B，求求X。解解,864297510213 A,612379154257 B)(21ABX 27212244446421.12712111222232 26(三三)矩阵的乘法矩阵的乘法 skkjiksjisjijiijbabababac12211 ,2,1;,2,1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC 设设)(ijaA 是一个是一个sm 矩阵，矩阵，)(ijbB 是是一个一个ns 矩阵，矩阵，那末规定矩阵那末规定矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的乘积是的乘积是一个一个nm 矩阵矩阵)(jicC ，其中，其中 定义定义27 skkjiksjisjijiijbabababac12211 msmmisiisaaaaaaaaa212111211 snsjsnjnjbbbbbbbbb122211111 mnmjminijinjccccccccc11111128注意注意只有当只有当左边矩阵的左边矩阵的列数列数等于等于右边矩阵的右边矩阵的行数行数时，时，两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.例如，例如，985123321106861有意义，有意义，106861985123321无意义。无意义。而而29 121113121430415003112101例例222263422142 22 例例.30若若 132132A,012321B,求求AB和和BA。例例6 6解解 012321132132AB,975303678 132132012321BA,8349 显显然然，BAAB 。31;)()()1(BCACAB,)()2(ACABCBA ;)(CABAACB )()()()3(kBABkAABk (其中其中k为数为数);,)4(OOAOAO 注意注意：交换律不成立。：交换律不成立。首先，首先，AB有意义，有意义，BA不一定有意义；不一定有意义；.985123321,106861 BA例如，例如，.)5(AEAAE 矩阵乘法满足结合律！矩阵乘法满足结合律！分配律分配律矩阵乘法的运算规律：矩阵乘法的运算规律：32均有意义，均有意义，、阶矩阵，则阶矩阵，则为为、为为若若BAABmnBnmA ;阶方阵阶方阵为为阶方阵，阶方阵，为为但但nBAmAB,21 naaaA设设,),(21nbbbB 例如，例如，),(2121nnbbbaaaAB nnaaabbbBA2121),(,212221212111 nnnnnnbababababababababa11.2211nnababab 33,2142 A,AB,6342 B例如，例如，结论：矩阵乘法交换律不成立，一般结论：矩阵乘法交换律不成立，一般.BAAB 若若,BAAB 称称A、B可交换可交换，(前提是前提是A、B为同阶方阵为同阶方阵).为同阶方阵，为同阶方阵，、为同阶方阵时，为同阶方阵时，、当当BAABBA但仍不但仍不一定有一定有.BAAB ,BA34,000021426342 从例从例6还可看出，矩阵乘法不满足消去律：还可看出，矩阵乘法不满足消去律：OAB OA 或或;OB OAACAB ,.CB OCBA )(左消去律不成立；左消去律不成立；同理没有右消去律：同理没有右消去律：OCBCAC ,.BA 例如，例如，3021A，4001B，0011C，0011AC，0011BC，即即BCAC ，但，但BA 。35 415003112101100010001例例7 7 100010001063802241.063802241 .415003112101 36例例8 8解解，设设 dcbaB，dcdbcaAB，dccbaaBA则则，令令BAAB ，得得dac 0任意。任意。，baabaB,0 求与矩阵求与矩阵 1011A可交换的所有矩阵。可交换的所有矩阵。37矩阵乘法的应用：线性方程组的矩阵形式矩阵乘法的应用：线性方程组的矩阵形式 .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa记系数矩阵记系数矩阵,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxx,21 mbbbb则上述方程组可写为则上述方程组可写为39(四四)矩阵的转置矩阵的转置定义定义 把矩阵把矩阵A的的行列互换行列互换得到的新矩阵，叫做得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .A例例,854221 A 825241TA,)618(B.618 TB，矩矩阵阵是是若若nmA.矩矩阵阵是是则则mAnT 40转置矩阵的运算性质：转置矩阵的运算性质：;)()1(AATT;)()2(TTTBABA ;)()3(TTkAkA.)()4(TTTABAB(4)可推广到多个矩阵可推广到多个矩阵:.)(1221TTTsTsAAAAAA 41(五五)方阵的幂方阵的幂定义定义设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则A的方幂定义为的方幂定义为 个个kkAAAA ,1AAk .为为正正整整数数k再规定再规定.0EA 规律：规律：,lklkAAA .)(kllkAA 其中其中k，l为任意非负整数。为任意非负整数。注意注意 由于没有交换律，一般由于没有交换律，一般因此，一般因此，一般2)(BA)(BABA 22BBAABA ,222BABA )(BABA 22BBAABA .22BA 42例例 设设,0100 A,0110 B,0011 C2A2B2CO E C OA EB OCEC 或或43设设PQA ，其中，其中 121P，)2,1,2(Q，求，求nAA,.例例9 9解解nAPQnPQPQPQ个个)()(,)()()1(QQPQPQPPQPn个个 PQAnn12 )2,1,2(121 PQA.21An ,2121)2,1,2(QP,212424212 所以所以44设设mmxaxaxaaxf 2210)(A是一个是一个 n 阶方阵，阶方阵，定义定义矩阵多项式矩阵多项式为为是一个多项式，是一个多项式，例如，例如，设设35)(2 xxxf，,3312 A,1215572 AEAAAf35)(2 1001333125121557.0000 46(六六)方阵的行列式方阵的行列式定义定义 由由 n 阶方阵阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做的元素所构成的行列式，叫做方阵方阵 A 的行列式，记作的行列式，记作|A|或或det A.,8632 A例例8632|A则则.2 ,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaAnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211|注意：注意：不要把矩阵不要把矩阵A和行列式和行列式|A|混为一谈。混为一谈。47运算性质：运算性质：|)1(AAT 推广：推广：|2121ssAAAAAA 特别：特别：注意！注意！(n 为为 A 的阶数的阶数)48设设 A 为为三三阶阶矩矩阵阵，且且2|A，求求|2|TAAA。例例1010解解|2|TAAA|23AAA 6|A.64)2(6 49设设OA 3，求，求|A。例例1111解解 两边取行列式，两边取行列式，注：注：OAOA 351第三节第三节 分块矩阵分块矩阵 对于规模较大，零较多或局部比较特殊的矩阵对于规模较大，零较多或局部比较特殊的矩阵，为了简化运算，经常采用为了简化运算，经常采用分块法分块法，把大矩阵分割，把大矩阵分割成小矩阵。在运算时，把这些小矩阵当作元素一成小矩阵。在运算时，把这些小矩阵当作元素一样来处理。样来处理。具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的的子块子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵。52 bbaaA110101000001,321 BBB例例 bbaaA110101000001,4321 CCCC53 bbaaA110101000001例例,),(4321AAAA bbaaA110101000001,21 AEOA54分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则那那末末列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,(1)分块矩阵分块矩阵A与与B的行数相同的行数相同,列数相同列数相同,采用相同采用相同的分块法的分块法,有有55那末那末为数为数设设,(2)1111kAAAAAsrsr .1111 srsrkAkAkAkAkA 由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需用分块计算。需用分块计算。56,)3(11 srAAA设设.11 TsrTTAAA则则 分块矩阵转置时，先按块转置，再将各子分块矩阵转置时，先按块转置，再将各子块内部转置。块内部转置。57分分块块成成矩矩阵阵为为矩矩阵阵为为设设,)4(nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行数数的的列列数数分分别别等等于于其其中中,2121j tjjt iiiBBBAAA srsrCCCCAB1111.),1;,1(1rjsiBACkjtkikij 其其中中58,1011012100100001 A例例1 设设,0211140110210101 B.AB求求解解分分块块成成把把BA,1 EAOEA,222111 BBEBB则则 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB59.2212111111 BABBAEBAB又又21111BBA 110121011121,1142 02141121221BA,1333 于是于是.1311334210210101 AB60 sAAAA21O 形如形如的分块矩阵的分块矩阵,称为称为分块上三角阵分块上三角阵,.),2,1(都都是是方方阵阵其其中中siAi 类似有类似有分块下三角阵分块下三角阵.,1011012103100002 A几种特殊的分块矩阵几种特殊的分块矩阵61(2)分块三角矩阵有如下性质：分块三角矩阵有如下性质：(1)设设A、B两个同类型的两个同类型的分块三角矩阵，则分块三角矩阵，则ABkABA,均为同类型的分块均为同类型的分块三角矩阵。三角矩阵。sAAAA21O sAAAA21O 62 sAAAA21OO特别特别,称为称为分块对角矩阵分块对角矩阵.120130005 120001300000210005300000363分块对角矩阵除了具有分块三角阵的性质以外分块对角矩阵除了具有分块三角阵的性质以外,还有：还有：ssBBBAAA2121OOOO.2211 ssBABABAOO特别，特别，64例例2 设设,1200013000002100053000003 A.,|,|,52TAAAA求求解解,321 AAAA 2322212AAAA,3800041100000950002514000009 65,1200013000002100053000003 A解解|321AAAA ,3|5A5|A 53,243 例例 设设 TTTTAAAA321.1100023000002500013000003 .,|,|,52TAAAA求求67第四节第四节 逆矩阵逆矩阵,111 aaaa则矩阵则矩阵 B 称为称为 A 的的逆矩阵逆矩阵。在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有其中其中 为为 a 的倒数；的倒数；aa11 单位阵单位阵 E 类似于类似于 1 在数的乘法运算中的地位。在数的乘法运算中的地位。那么，对于矩阵那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵B，,EBAAB 使得使得对任何方阵对任何方阵A，有有AE=EA=A,(一一)逆矩阵的概念逆矩阵的概念68则称则称 A 为可逆矩阵为可逆矩阵,而而 B 称为称为 A 的逆矩阵的逆矩阵,记为记为 定义定义例例 设设,3152 A设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵,如果存在如果存在 n 阶方阵阶方阵 B,使得使得.2153 1 A验证验证解解 21533152,E 31522153,E 得证。得证。69例例1解解设设 0112A，求求 A 的的逆逆矩阵矩阵。设设 dcbaB是是 A 的逆矩阵的逆矩阵，dcbaAB0112 1001 badbca22,2,1,1,0 dcba,2110 B即即,1001 所以所以.21101 A 21100112 0112211070定理定理 若矩阵若矩阵 A 是可逆的，则是可逆的，则 A 的逆矩阵必唯一。的逆矩阵必唯一。证证设设B和和C都是都是A的逆矩阵，则的逆矩阵，则BBCA)()(ABC CE EB.C 结合律结合律问题问题:(1)什么条件下什么条件下 A 才可逆？才可逆？(2)如如果果可可逆逆,如如何何求求1 A？71(二二)矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件上式两边取行列式上式两边取行列式,若若则称矩阵则称矩阵A是是非奇异非奇异的的(或或满秩满秩的的)；否则称否则称A为奇异的为奇异的(或降秩的或降秩的)。下面说明这个条件也是充分的。下面说明这个条件也是充分的。定理定理定义定义0|A是是 A 可可逆逆的的必必要要条条件件。72伴随矩阵：伴随矩阵：定义定义 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为称为 A 的的伴随矩阵伴随矩阵。设设n阶阶方方阵阵nnijaA )(，ijA为为A中中元元素素ija的的 代数余子式代数余子式,矩阵矩阵73求矩阵求矩阵 523012101A 的伴随矩阵的伴随矩阵 A。例例2解解,5520111 A,10500212 A,7231213 A,2521021 A,2531122 A,2230123 A,1011031 A,2021132 A,1120133 A 1272210125A74性质性质证明证明回忆行列式按行展开公式：回忆行列式按行展开公式：.,0 ,|2211jijiAAaAaAanjnijiji nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211 O|A|A|AO,|EA 类似地，类似地，按列展按列展开公式可得开公式可得.|EAAA 75定理定理 矩阵矩阵 A 是可逆的是可逆的充分必要条件充分必要条件是是 A 非奇异；非奇异；证证充分性：充分性：,|EAAAAA 由由,)|1()|1(EAAAAAA 由由上上式式得得若若，0|A必要性：已证；必要性：已证；所以所以 A 可逆，且有可逆，且有当当 A 非奇异时，有非奇异时，有 76推论推论EAB ,0|A故故证证设设BA,均为均为n阶方阵，只要阶方阵，只要EAB ，就有，就有,1|EBA,1 AEAB两边左乘两边左乘在在,1 AB得得,A再再右右乘乘.1BA 由定义知，由定义知，EBA ，从从而而有有1 AB。定理定理 矩阵矩阵 A 是可逆的是可逆的充分必要条件充分必要条件是是 A 非奇异；非奇异；当当 A 非奇异时，有非奇异时，有 即即 A 可逆，可逆，,1EAABA 即即得得77求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.331212321A例例3逆矩阵的求法逆矩阵的求法伴随矩阵法伴随矩阵法解解11A12A,33321 ,43122 3 4 13A,53112 A5331212321|A 32 1 0143 4,0 所以所以 A 可逆；可逆；78 A 331212321A,1,0,3232221 AAA.3,4,1333231 AAA同理可求得同理可求得103 543 341.31540413341 AAA|11对于对于 3 阶及以上的矩阵，阶及以上的矩阵，用用伴随矩阵法伴随矩阵法求逆矩阵求逆矩阵较麻烦，以后将给出另一种求法较麻烦，以后将给出另一种求法-初等变换法初等变换法。79例例4，设设 dcbaA，则则bcadA|故故A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是,0 bcad且且bcadA 11例如，例如，13142 21.121223 dc b a对角元换位，对角元换位，非对角元变号。非对角元变号。214380例例5对角阵对角阵可逆的充分必要可逆的充分必要条件是条件是且且.11211121 nnaaaaaaOOOO例如，例如，1321 .3/12/11 82.)(,)1(111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若,0,)2(kAkA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,)3(ABBA.1)(11 AkkA)()(11 ABAB1 AEA.1EAA 证证11)(ABBA(三三)逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质注意注意A,B 可逆，可逆，A+B 不一定可逆，不一定可逆，即使可逆即使可逆,一般一般83推论：可逆阵推论：可逆阵A若对称若对称(反对称反对称),则则 也对称也对称(反对称反对称).1 ATA)(1 1)(TA,1 A对称；对称；TA)(1 1)(TA1)(A反对称。反对称。,1 A(5)设设CBA,为为同同阶阶方方阵阵,ACAB.若若A可可逆逆,则则CB.对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律消去律成立。成立。.)()(,)4(AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TTAA)(1 TE.E 证证TAA)(1 TTTABAB)(.|,)6(11 AAA则有则有可逆可逆若若,1EAA ,1|1 AA.|11 AA因此因此证证84设设 n 阶阶矩矩阵阵 A 可可逆逆(2 n),A是是 A 的的伴伴随随矩矩阵阵,证证明明：例例6证证,|EAAA 两边取行列式，得两边取行列式，得,|nAAA ,0|A而而所以所以可以证明，去掉可以证明，去掉A可逆这个条件，上述结论仍然成立。可逆这个条件，上述结论仍然成立。85例例7证证若若A可可逆逆，试试证证 A也也可可逆逆，且且AAA|1)(1 。由由EAAA|，因因为为A可可逆逆，故故0|A。,)|1(EAAA 即即 A也也可可逆逆，且且 86设设A为为 3 阶阶方方阵阵，且且,21|A求求行行列列式式|2)3(|*1AA 的的值值。(其其中中 A为为A的的伴伴随随矩矩阵阵）例例8 8解解1|AAA|2)3(|1 AA,211 A|1131 AA1|278 A.2716|)32(13 A2278|132 A87则则有有均均可可逆逆若若,),2,1(siAi 11211121ssAAAAAAOOOO 11111121AAAAAAsssOOOO重要结论重要结论88例例9 设设,1200013000002100053000003 A.1 A求求解解,321 AAAA 1312111AAAA,32000110000031000520000031 89 000000000000121nnaaaa解解例例10 利用矩阵分块的方法，求下列矩阵的逆矩阵利用矩阵分块的方法，求下列矩阵的逆矩阵：所以所以利利用用 OABOOBAO111，),1,0(niai 1121000000000000 nnaaaa 0100001000011000121nnaaaa91第五节第五节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等初等行行变换变换:）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,)1(;0)2(乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii,.3)(）作作行行上上记记倍倍加加到到第第行行的的应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行对对把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等初等列列变换变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)92初等变换的初等变换的逆变换逆变换仍为初等变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(kri jikrr 逆变换逆变换.)(jirkr 定义定义 由单位矩阵由单位矩阵E经过经过一次一次初等变换，得到的矩阵初等变换，得到的矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵。初等矩阵有下列初等矩阵有下列 3 种：种：93(1)对对E施以第施以第(1)种初等变换得到的矩阵种初等变换得到的矩阵.i 行行i 列列j 行行j 列列 10111101),(jiE94(2)对对E施以第施以第(2)种初等变换得到的矩阵种初等变换得到的矩阵.1111)(kkiEi 行行i 列列95(3)对对E施以第施以第(3)种初等变换得到的矩阵种初等变换得到的矩阵.行行行行列列列列jikjikjiE 1111)(,(96初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵：,),(),(1jiEjiE ,)1()(1kiEkiE .)(,()(,(1kjiEkjiE 97(2)对对A施以某种初等施以某种初等列列变换变换,相当于用同种的相当于用同种的n阶初阶初等矩阵等矩阵右右乘乘A.(1)对对A施以某种施以某种初等初等行行变换变换,相当于用同种的相当于用同种的m阶初阶初等矩阵等矩阵左左乘乘A.定理定理 设设A为为 阶矩阵，阶矩阵，证略。证略。例例 654321A 232CC,1654721 654321 100210001.1654721 99矩阵等价：矩阵等价：等价关系的性质：等价关系的性质：；自反性自反性）（AA 1;,2ABBA 则则若若对对称称性性）（.,3CACBBA 则则若若）传递性）传递性（如果矩阵如果矩阵B可以由矩阵可以由矩阵A经过有限次初等变换得经过有限次初等变换得到，则称矩阵到，则称矩阵A和和B为为等价等价的，记作的，记作 BA 定义定义100定理定理 任意一个任意一个 矩阵矩阵 A 经过有限次初等变换，经过有限次初等变换，的矩阵，称之为的矩阵，称之为A的的等价标准形等价标准形。总可以化为形如总可以化为形如),min(nmr 101例例1 将下列矩阵化为标准形：将下列矩阵化为标准形：解解 0321103221033210A41rr 3210103221030321123rr 132rr A 32100321102 321016702860032142rr 0032100321237rr 000011001021 000032100321 00001100101001.0000010000100001 246rr 103练习练习 将下列矩阵化为标准形：将下列矩阵化为标准形：解解 210253143212A 111011103212A 000011103212 000011100002 000000100001104练习练习 将下列矩阵化为标准形：将下列矩阵化为标准形：解解 523012101A 220210101A 200210101 100210101 100010001105对矩阵对矩阵A施以施以初等初等行行变换变换,相当于相当于左左乘一个初等矩阵乘一个初等矩阵；对矩阵对矩阵A施以施以初等初等列列变换变换,相当于相当于右右乘一个初等矩阵乘一个初等矩阵。任意一个矩阵任意一个矩阵 A总可以经过有限次初等变换，化为标总可以经过有限次初等变换，化为标准形准形推论推论1对于任意对于任意nm 矩阵矩阵 A,存在存在 m 阶初等矩阵阶初等矩阵 sPP,1和和 n 阶阶初初等等矩矩阵阵tQQ,1,使使得得 OOOEQQQAPPPrtss2111106推论推论1对于任意对于任意nm 矩阵矩阵 A,存在存在 m 阶初等矩阵阶初等矩阵 sPP,1和和 n 阶阶初初等等矩矩阵阵tQQ,1,使使得得 OOOEQQQAPPPrtss2111推论推论2对于任意对于任意nm 矩阵矩阵 A,存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 和和 n 阶阶可可逆逆矩矩阵阵 Q，使使得得 OOOEQAPr107推论推论2对于任意对于任意nm 矩阵矩阵 A,存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 和和 n 阶阶可可逆逆矩矩阵阵 Q，使使得得 OOOEQAPr,0|A若若A为为n阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，,0|OOOEQAPQAPr,nr .nEPAQ 即即推论推论3n 阶矩阵阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 A的等价的等价 标标准准形形为为nE。108若方阵若方阵A可逆，则它的等价标准形必为单位矩阵。可逆，则它的等价标准形必为单位矩阵。即即存存在在初初等等矩矩阵阵sPP,1和和tQQ,1,使使,2111EQQQAPPPtss 初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是111111 QEQPPAts其中其中kRRR,21均为初等矩阵，均为初等矩阵，定理定理 n 阶方阵阶方阵 A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 A 可以表示成可以表示成一些初等矩阵的乘积。一些初等矩阵的乘积。,21kRRR 用初等变换求逆矩阵：用初等变换求逆矩阵：施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵对对),(2EAnn.1 AEEA就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把E)(EA行行变换变换1 A111 100343010122001321EA.,3431223211 AA求求设设 解解例例2 001321122rr 133rr 23rr 0012520001321112 1 11100012520001321 1 111002021 1 1110056302001.111253232311 A 11110025323010231001)2(2 r)1(3 r113练习练习解解求矩阵求矩阵 523012101A的逆矩阵。的逆矩阵。)|(3EA 100523010012001101 103220012210001101 127200012210001101114 127200012210001101 127200115010001101 21127100115010001101 2112710011501021125001所以所以 11127115211251A。115.1 BA，可可直直接接求求利利用用初初等等行行变变换换的的方方法法E)()(11BAEBAA )(BABA1 即即初等初等行行变换变换BAX 求解矩阵方程求解矩阵方程BAX1 116例例3.341352,343122321 ,BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可可逆逆，则则若若122rr 133rr 343431312252321)(BA 1226209152052321117 122620915205232123rr 311009152052321312rr 325rr 311006402041021118.313223 X，311003201023001)2(2 r)1(3 r 31100640204102121rr 311006402023001119解解练习练习 求解下列矩阵方程：求解下列矩阵方程：446210012210411X 440126221010411 248306221010411 1622006221010411 811006221010411 81100224010314011,8110022401090001 所以所以.8122490 X例例4解解设矩阵设矩阵A和和X 满足关系式：满足关系式：,2XAAX 其中其中,321011324 A求矩阵求矩阵 X。由由XAAX2 ，,)2(1 AEAX 所以所以 321121011011324322),2(AEA.9122692683 X,9122100692010683001 可得可得 AXEA )2(，作初等行变换，作初等行变换，对对),(TTCA,CXA 如果矩阵方程为如果矩阵方程为TTTCAX1)(,TX即可求得即可求得),)(,(),1TTTTCAECA（行变换行变换从而获得从而获得X。,1 CAX则则,TTTCXA 矩阵改为矩阵改为122解解例例5 求解下列矩阵方程：求解下列矩阵方程：.110121111011001 X转置，转置，111001211001111 111002301010011,111002301013001 .121133 X所以所以124第六节第六节 矩阵的秩矩阵的秩.,2阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵阶行列式，阶行列式，的的中所处的位置次序而得中所处的位置次序而得变它们在变它们在不改不改个元素个元素处的处的），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩阵矩阵在在kAkAknkmkkkAnm 定义定义例例,00000320002113011111 A,12111 125.6200130111 第六节第六