第25-27节课二次型讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

1第五章二次型2本章讨论把一个n元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，并研究有关的性质。3第一节二次型与对称矩阵(一)二次型及其矩阵定义称为一个(n元)二次型.的二次齐次多项式个变量含有nxxxn,,,21),,,(21nxxxfnnxxaxxaxa2232232222222nnnxannxxaxxaxxaxa11311321122111222本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。4),,,(21nxxxfnnxxaxxaxa2232232222222nnnxannxxaxxaxxaxa11311321122111222由于ijjixxxx，具有对称性，若令ijjiaa，ji，则ijjijiijjiijxxaxxaxxa2，ji，于是上述二次型可以写成如下求和形式5nnxxaxxaxxaxa11311321122111nnxxaxxaxaxxa2232232222122122211nnnnnnnxaxxaxxa),,,(21nxxxfnnxxaxxaxa2232232222222nnnxannxxaxxaxxaxa11311321122111222),,,(21nxxxf6记,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA,21nxxxX则上述二次型可以用矩阵形式表示为A称为二次型的矩阵。7A的秩称为该二次型的秩。A称为二次型的矩阵。A是一个实对称矩阵。事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是一一对应的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究它的矩阵A所具有的性质。8例1设二次型3231212322213216422),,(xxxxxxxxxxxxf求二次型的矩阵A和二次型的秩。解,A211122331132311212A710410311,100410311所以r(A)=3，即二次型的秩等于3。9例2设二次型2332211321)(),,(xaxaxaxxxf的矩阵A和二次型的秩，解其中321,,aaa不全为零。2332211321)(),,(xaxaxaxxxf2321321),,(aaaxxx,),,(),,(321321321321xxxaaaaaaxxx所以二次型f的矩阵为),,(321321aaaaaaA,232313322212312121aaaaaaaaaaaaaaa.1)(Ar11(二)线性变换定义关系式nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111称为由变量nxxx,,,21到nyyy,,,21...