第4章数字特征14-18节课讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

第四章数字特征前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而数字特征则是由概率分布所决定的常数，它刻划了随机变量的某一方面的性质。第一节数学期望数学期望对于一个随机变量X，有时希望知道X的取值集中在哪里，即要确定X的平均值。由于其取值是随机的，如,1.0}1{XP,9.0}2{XP1和2的算术平均值1.5并不能真实体现X取值的平均水平，这是由于X取1与取2的概率不等所致，实际上X取2比取1的概率大得多。因此，要真正体现X取值的平均，不能用简单算术平均方法来确定，还应考虑到它取各不同值的概率大小，即采用概率权方法，用数学期望来表示随机变量X的平均值。一、离散型随机变量的数学期望定义设离散型随机变量X的概率分布为，kkpxXP}{nk,,2,1则称nkkkpx1为X的数学期望，记为E(X)，,)(1kkkpxXE若X的取值为可列多个，则例1面额为1元的彩票共发行1万张，其中可得奖金1000元、20元、5元的彩票分别有2张、50张和500张。若某人购买1张彩票，则他获奖金额X的数学期望E(X)为多少？解10002050.0002XP00.0050.050.9448则05.05005.0200002.01000)(XE.55.0二、连续型随机变量的数学期望定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x),如果积分绝对收敛，则称之为X的数学期望，记为E(X)，即xxfxd)(xxfxXEd)()(解例2设随机变量X的概率密度函数为其他,010,3)(2xxxf求X的数学期望。xxfxXEd)()(xxxd3102.43解例3设随机变量X的概率密度函数为其他,021,210,)(xxxxxp求E(X)。xxpxXEd)()(xxxxxxd)2(d2110.1三、随机变量函数的数学期望定理设随机变量Y是随机变量X的函数)(XgY，这里g是连续函数，那么(1)若X是离散型随机变量，且X的概率分布为，iipxXP}{,2,1iiiipxgXgEYE)()]([)((2)若X是连续型随机变量，且其概率密度为f(x)，则xxfxgXgEYEd)()()]([)(则解X-2-100.1P10.20.30.4例4设随机变量X的概率分布如下：求)13(XE,2EX.41)13()13(iiipxXE4122iiipxEX.14.043.012.021.05.14.013.002.011.04解例5设随机变量X的概率密度为拉普拉斯分布求)(XE,2EX。，||e21)(xxfxxxfxXEd)()(xxxde21||00de21de21xxxxxx.0xxfxXEd)()(22...