2023学年高考数学大二轮复习大题专项练四概率与统计文2.docx

大题专项练(四)　概率与统计 A组　基础通关 1.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中,高一年级有6人,高二年级有12人,高三年级有24人,现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访. (1)求应从各年级分别抽取的人数; (2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解(注高一学生记为Ai,高二学生记为Bi,高三学生记为Ci,i=1,2,3…). ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的2人均为高三年级学生的概率. 解(1)高一:66+12+24×7=1;高二:126+12+24×7=2; 高三:246+12+24×7=4; 所以抽取高一学生1人,高二学生2人,高三学生4人. (2)由(1)知高一1人记为A1,高二2人记为B1、B2,高三4人记为C1、C2、C3、C4, ①从中抽取两人,所有可能的结果为:A1B1、A1B2、A1C1、A1C2、A1C3、A1C4、B1B2、B1C1、B1C2、B1C3、B1C4、B2C1、B2C2、B2C3、B2C4、C1C2、C1C3、C1C4、C2C3、C2C4、C3C4,共21种. ②由①知,共有21种情况,抽取的2人均为高三年级学生有C1C2、C1C3、C1C4、C2C3、C2C4、C3C4,共6种,所以抽取的2人均为高三年级学生的概率P=621=27. 2.某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛,成绩为1至10分,随机调阅了A,B两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下: A校样本数据条形图 B校样本数据统计表 成绩/分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数/个 0 0 0 9 12 21 9 6 3 0 (1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较; (2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人,若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和大于或等于15分的概率. 解(1)从A校样本数据的条形图可知,成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人. A校样本数据的均值为 xA=4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×360=6, A校样本数据的方差为sA2=160×[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.5. 从B校样本数据统计表可知, B校样本数据的均值为 xB=4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×360=6, B校样本数据的方差为sB2=160×[9×(4-6)2+12×(5-6)2+21×(6-6)2+9×(7-6)2+6×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.8. 因为xA=xB,所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又sA2<sB2,所以A校学生的计算机成绩比较集中,总体得分情况比B校好. (2)依题意,从A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为612+3+3×12=4,分别设为a,b,c,d;从成绩为8分的学生中应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为e;从成绩为9分的学生中应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为f. 所有基本事件有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15个, 其中满足条件的基本事件有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个, 所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和大于或等于15分的概率P=915=35. 3.某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为研究车辆发车间隔时间x(分钟)与乘客等候人数y(人)之间的关系,经过调查得到如下数据: 间隔时 间x(分钟) 10 11 12 13 14 15 等候人 数y(人) 23 25 26 29 28 31 调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y^,再求y^与实际等候人数y的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”. (1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据的间隔时间之差大于1的概率; (2)若选取的是后面4组数据,求y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^,并判断此方程是否是“恰当回归方程”; (3)在(2)的条件下,为了使等候的乘客不超过35人,则间隔时间最多可以设置为多少分钟?(精确到整数) 参考公式:b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x. 解(1)设“从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据不相邻”为事件A, 记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15种, 其中相邻的有12,23,34,45,56,共5种, 所以P(A)=1-515=23. (2)后面4组数据是: 间隔时间(x分钟) 12 13 14 15 等候人数(y人) 26 29 28 31 因为x=12+13+14+154=13.5,y=26+29+28+314=28.5, ∑i=14xiyi=1546,∑i=14xi2=734, 所以b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2=1546-4×13.5×28.5734-4×13.52=1.4, a^=y-b^x=28.5-1.4×13.5=9.6, 所以y^=1.4x+9.6. 当x=10时,y^=1.4×10+9.6=23.6,23.6-23=0.6<1; 当x=11时,y^=1.4×11+9.6=25,25-25=0<1, 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”. (3)由1.4x+9.6≤35,得x≤1817, 故间隔时间最多可设置为18分钟. 4.某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造,下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果: 支持 不支持 合计 中型企业 40 小型企业 240 合计 560 已知从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47. (1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关? (2)从支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家企业,然后从这8家企业选出2家进行奖励,分别奖励中型企业20万元,小型企业10万元.求奖励总金额为20万元的概率. 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.01 k0 3.841 5.024 6.635 解(1)由从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47. 可知:支持技术改造的企业共有320家,故列联表为 支持 不支持 合计 中型企业 80 40 120 小型企业 240 200 440 合计 320 240 560 所以K2的观测值k=560(80×200-40×240)2120×440×320×240 ≈5.657>5.024 故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关. (2)由(1)可知支持技术改造的企业中,中小企业比为1∶3.所以按分层抽样的方法抽出的8家企业中有2家中型企业,分别用x、y表示,6家小型企业,分别用1、2、3、4、5、6表示.则从中选取2家的所有可能为xy、x1、x2、x3、x4、x5、x6、y1、y2、y3、y4、y5、y6、12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共28种.其中总奖金为20万的有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共15种. 所以奖励总金额为20万元的概率为1528. 5.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个平行班,每班50人,某教师采用A、B两种不同的教学模式分别在甲、乙两个班进行教改实验,为了了解教学效果,期末考试后,该教师分别从两班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如图所示,记成绩不低于90分为“成绩优秀”. (1)在乙班的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2人,求抽出的两个人均“成绩优秀”的概率; (2)由以上统计数据填写2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为成绩优秀与教学模型有关. 甲班(A) 乙班(B) 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d). P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 解(1)设抽出的两人均为“成绩优秀”为事件A,从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件有(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共15个. 事件A包含的基本事件有10个, ∴P(A)=1015=23. (2)列表 甲班(A) 乙班(B) 总计 成绩优秀 1 5 6 成绩不优秀 19 15 34 总计 20 20 40 ∴K2的观测值k=40×(1×15-5×19)26×34×20×20≈3.137>2.706, ∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“成绩优秀”与教学模式有关. 6.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图. (1)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人? (2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率. 解(1)由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30(人), 女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45(人). (2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115, 所以样本中包含男生人数为30×115=2(人),女生人数为45×115=3(人). 设两名男生为A1,A2,三名女生为B1,B2,B3. 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为:{A1,A2},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共10个, 每个样本被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件C:“选取的2人中至少有一名男生”,则事件C包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},共7个. 所以P(C)=710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710. B组　能力提升 7.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了