2023学年高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第1节绝对值不等式课时跟踪检测文新人教A版.doc

第一节　绝对值不等式 A级·基础过关|固根基| 1.已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)证明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． 解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5| ＝ 所以－3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知， 当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集； 当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x＜5}； 当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}． 综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}． 2．(2023年届湖北荆州一模)已知函数f(x)＝|x－a|，不等式f(x)≤3的解集为[－6，0]． (1)求实数a的值； (2)若f(x)＋f(x＋5)≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3， 所以a－3≤x≤a＋3，又因为f(x)≤3的解集为[－6，0]， 所以a＝－3. (2)因为f(x)＋f(x＋5)＝|x＋3|＋|x＋8|≥|x＋3－(x＋8)|＝5，又f(x)＋f(x＋5)≥2m对一切实数x恒成立，所以2m≤5，即m≤. 3．(2023年届太原模拟)已知函数f(x)＝|x－1|－a(a∈R)． (1)若f(x)的最小值不小于3，求实数a的最大值； (2)若g(x)＝f(x)＋2|x＋a|＋a的最小值为3，求实数a的值． 解：(1)因为f(x)min＝f(1)＝－a，所以－a≥3， 解得a≤－3，即amax＝－3. (2)g(x)＝f(x)＋2|x＋a|＋a＝|x－1|＋2|x＋a|. 当a＝－1时，g(x)＝3|x－1|≥0，0≠3，所以a＝－1不符合题意； 当a＜－1时，g(x)＝ 即g(x)＝ 所以g(x)min＝g(－a)＝－a－1＝3，解得a＝－4. 当a＞－1时，同理可知g(x)min＝g(－a)＝a＋1＝3，解得a＝2. 综上，a＝2或－4. 4．(2023年届兰州模拟)已知不等式|2x－5|＋|2x＋1|＞ax－1. (1)当a＝1时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围． 解：(1)令f(x)＝|2x－5|＋|2x＋1|， 则f(x)＝|2x－5|＋|2x＋1|＝ 因为a＝1，所以当x≤－时，由－4x＋4＞x－1， 解得x≤－； 当－＜x≤时，由6＞x－1，解得－＜x≤； 当x＞时，由4x－4＞x－1，解得x＞. 综上，所求不等式的解集为R. (2)由(1)作函数f(x)的图象，点A，令y＝ax－1，则其过定点P(0，－1)，如图所示，由不等式|2x－5|＋|2x＋1|＞ax－1的解集为R，可得－4≤a＜，即－4≤a＜. 所以，所求实数a的取值范围为. B级·素养提升|练能力| 5.(2023年届“四省八校联盟”高三联考)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，g(x)＝x＋a. (1)求不等式f(x)≥6的解集； (2)对任意x∈R，都有f(x)－g(x)≥0，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝ 则或 解得x≤－4或x≥2. 所以不等式的解集为(－∞，－4]∪[2，＋∞)． (2)当x≤－3时，f(x)－g(x)＝－2x－2－x－a≥0恒成立，即3x＋2＋a≤0恒成立，所以a≤7； 当－3<x<1时，f(x)－g(x)＝4－x－a≥0恒成立，即a≤4－x恒成立，所以a≤3； 当x≥1时，f(x)－g(x)＝2x＋2－x－a≥0恒成立，即a≤x＋2恒成立，所以a≤3. 综上，a≤3，即实数a的取值范围为(－∞，3]． 6．设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|. (1)解不等式f(x)＞4； (2)若存在x0∈使不等式a＋1＞f(x0)成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意得f(x)＝ 则f(x)＞4⇔或或⇔x＜－2或0＜x≤1或x＞1. 所以不等式f(x)＞4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (2)存在x0∈使不等式a＋1＞f(x0)成立⇔a＋1＞f(x)min，由(1)知，当x∈时，f(x)＝x＋4，所以f(x)min＝f＝，则a＋1＞，解得a＞， 所以实数a的取值范围为. 7．(2023年届太原市模拟试题)已知函数f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|.　 (1)当m＝－1时，求不等式f(x)≤2的解集； (2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含，求m的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|， 当x≥1时，f(x)＝3x－2≤2，所以1≤x≤； 当＜x＜1时，f(x)＝x≤2，所以＜x＜1； 当x≤时，f(x)＝2－3x≤2，所以0≤x≤. 综上可得，原不等式f(x)≤2的解集为. (2)由题意可知f(x)≤|2x＋1|在上恒成立，当x∈时，f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|＝|x＋m|＋2x－1≤|2x＋1|＝2x＋1，所以|x＋m|≤2，即－2≤x＋m≤2，则－2－x≤m≤2－x，且(－2－x)max＝－，(2－x)min＝0，因此m的取值范围为. 8．(2023年届郑州模拟)已知函数f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式f(x)＜4－|x－1|； (2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)不等式f(x)＜4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|＜4. 当x＜－时，即－3x－2－x＋1＜4， 解得－＜x＜－； 当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1＜4， 解得－≤x＜； 当x＞1时，即3x＋2＋x－1＜4，无解． 综上所述，不等式的解集为. (2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4. 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2| ＝ 所以当x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，即0＜a≤. 故实数a的取值范围为. - 5 -