2022年橙啦数学寒假作业要求与大纲(1).docx

2022 年橙啦数学寒假作业年橙啦数学寒假作业 亲爱的学员，都说“一年之计在于春”，其实寒假阶段启动复习进行预热才是至为关键的。如果对考研公共课掌握不到位，那么，进入春季基础阶段后，复习的强度都会逐渐加大，复习效果必定会受到严重影响。因此，请各位学员好好把握寒假这段黄金期，结合寒假作业，进行考研预热。如果在复习过程中出现思路方法上的问题，请及时和教研室老师沟通，及时解决。用书：用书：橙啦高等数学基础篇橙啦高等数学基础篇、高等数学（同济七版）高等数学（同济七版）寒假阶段数学部分的学习重要的是打基础，所以寒假阶段建议大家认真学习高等数学中的一元函数微分学部分，包括：函数极限连续、导数和微分、积分中值定理及其应用。在复习过程中以同济七版的高等数学课本为基础，以重新学习的态度认真复习课本中出现的基本概念、基本性质和基本方法，然后完成课本后面的习题以巩固所学知识，最后再使用我们的寒假作业完成知识点与考研真题的链接。复习建议：复习建议：1、对考研数学三个科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计的框架有一个宏观的把握。2、在寒假复习中，掌握高等数学中的一元函数微分学部分的全部知识点，为后期的基础阶段课程夯实基础。3、寒假期间，考生每天学习数学的时间（包括复习知识点和做一定量的练习题）至少 1.5 小时，以保证最终的学习效果。以下是具体的寒假作业内容：（一）学习内容和考试要求（一）学习内容和考试要求 学习内容学习内容 考查方向考查方向 重难点提示重难点提示 备注备注 第第一一天天 极限的概念、性质与四则运算 1、理解函数极限存在与左极限、右极限的关系 2、掌握极限的性质及四则运算法则 重点：分段函数分段点处极限的计算 极限的四则运算 难点：极限的保号性和保不等式性 使用四则运算时注意是否满足前提条件 第第二二天天 无穷小阶的比较 1、理解无穷小量、无穷大量的概念 2、掌握无穷小量的比较方法 3、会用等价无穷小量求极限 重难点：高阶、低阶、同阶、等价无穷小的定义 常用的等价无穷小量 利用等价无穷小求极限 等价无穷小替换的使用范围 第第三三天天 洛必达法则 掌握用洛必达法则求极限的方法 利用等价无穷小进行化简 利用洛必达法则求极限 洛必达法则的三个使用前提 第第四四天天 0,0型未定式极限的计算 1、掌握求各种未定式极限的方法 2、掌握利用重要极限10lim 1xxxe求极限的方法 重点：0,0型未定式极限的计算 1型极限的计算方法 难点：将000,1,0,型的未定式转化为0,0型未定式 求函数极限时首先判断未定式极限的类型 计算未定式极限时注意结合等价无穷小替换和极限的四则运算 第第五五天天 0,型未定式极限的计算 第第六六天天 重 要 极限：10lim 1xxxe001,0,型未定式极限的计算 第第七七天天 夹 逼 定理、单调有界原理 1、掌握极限存在的两个准则 2、会利用夹逼定理和单调有界原理求极限 重难点：夹逼定理和单调有界原理在计算极限中的运用 夹逼定理求极限时，需适当放缩 由递推公式给出的数列一般先用单调有界原理判断该数列极限的存在性 第第八八天天 连续的定义与性质 1、理解函数连续性的概念（含左连续和右连续）2、了解连续函数的性质和初 等函数的连续性 3、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质 重点：函数在一点处连续的定义 难点：闭区间上连续函数性质的应用 判断分段函数在分段点处连续性时通常需验证：000limlimxxxxf xf xf x 考研试题中闭区间上连续函数的性质易与中值定理结合考查，现阶段了解其内容即可 第第九九天天 间断点类型的判断 会判别函数间断点的类型 重难点：判断函数间断点的类型 函数的无定义点一定是间断点 第第十十天天 导数的定义 1、理解导数的概念、几何意义 2、了解导数的物理意义，并会用导数描 述 一 些 物 理 量（数一、数二）（数一、数二）重点：函数在一点处的导数定义 计算函数在一点处的导数就是计算00型极限 第第十十一一天天 导数的应用 会求平面曲线的切线方程和法线方程 平面曲线过某点处的切线方程和法线方程 难点：灵活使用导数的定义 对于某些二次曲线求切线斜率 无 需 化 成 yf x的形式，可直接求导.第第十十 二二天天 微分的定义 连续、可导、可微的关系 1、理解函数的可导性与连续 性之间的关系 2、理解微分的概念及导数与 微分的关系 3、了解微分的四则运算法则 和一阶微分形式的不变性 4、会求函数的微分 重点：函数的可导、连续与可微三者之间的关系 难点：微分的定义 可导和可微的关系是等价的 导数和微分的本质是不同的：导数是增量比的极限：00limxx xdyydxx 微分是因变量增量的线性主部：00 x xdyfxx 第第十十三三天天 导数的四则运算法则 复合函数的求导法则 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 重点：乘除运算的求导公式 复合函数、隐函数、参数方程的导数 难点：反函数的导数 求由方程确定的隐函数的导数，方程两端直接对自变量求导即可。第第十十四四天天 隐函数 会求隐函数的导数 第第十十五五天天 参数方程及 反函数的导数 会求由参数方程所确定的函数以及反函数的导数 （二）寒假作业中用到的重要公式（二）寒假作业中用到的重要公式 考试内容考试内容 数学公式数学公式 1、数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限 1）000lim()()()xxf xAfxfxA 2）000lim()()(),lim()0 xxxxf xAf xAa xa x其中 3）(保号定理)0lim(),0(0),0 xxf xAAA设又或则 一个,000(,),()0()0)xxxxxf xf x当且时，或 2、无穷小的比较及常用的等价无穷小 1）lim)0,lim()0 xx设（()(1)lim0,()()xxxx若则是比（高阶的无穷小，记为(x)=(x).()(2)lim,()()xxxx 若则是比（低阶的无穷小，()(3)lim(0),()()xc cxxx若则与（是同阶无穷小，()(4)lim1,()()xxxx若则与（是等价的无穷小，记为(x)(x)，()(5)lim(0),0,()()kxc ckxxkx若则是（的 阶无穷小 2）0 x常用的等阶无穷小：当时 21(1)1 sin arcsin tan arctan ln(1)1ln11 cos2xaxaxxxxxxxeaaxx 3、极限的四则运算 lim(),lim().f xAg xB则(1)lim()()f xg xAB；(2)lim()()f x g xA B；()(3)lim(0)()f xABg xB 4、常用的极限 1）0sinlim1xxx 2）10lim(1)exxx 3）重要公式：0010111011,lim0,nnnnmmxmmanmba xa xaxanmb xb xbxbnm 4）几个常用极限：lim1,nnn lim arctan2xx lim arctan2xx lim e0,xx lim e,xx 0lim1,xxx 5、夹逼定理 1）若 存 在 正 数，对 于 任 意 满 足00|xx的x都 有()()()xf xx，且00lim()lim()xxxxxxA,则0lim()xxf xA.6、连续的定义及间断点的分类 1）连续的定义：00lim()()xxf xf x 2）间断点的分类：可去间断点:00lim()=lim()xxxxf xf x 跳跃间断点:00lim()lim()xxxxf xf x 无穷间断点：0lim()xxf x与0lim()xxf x中至少有一个为 振荡间断点：0lim()xxf x与0lim()xxf x都不为 7、导数的定义 1）导数定义：0000()()()limxf xxf xfxx （1）或 0000()()()limxxf xf xfxxx （2）2）函数()f x在0 x处的左、右导数分别定义为：左导数：00000000()()()()()limlim,()xxxf xxf xf xf xfxxxxxxx 右导数：0000000()()()()()limlimxxxf xxf xf xf xfxxxx 8、导数的四则运算，初等函数的导数 1）设函数()f x与()g x均可导，则()()()()f xg xfxg x，()()()()()()f x g xfx g xf x g x，2()()()()()()()f xfx g xf x g xg xgx.2）基本导数与微分表（1）常值函数：0)(C；（2）指数函数：1xx；（3）幂函数：aaaxxln，xxe e；（4）对数函数：axxaln1log，xx1ln；（5）三角函数：xxcossin；xxsincos；xx2cos1tan；xx2sin1cot；xxxsectansec；cxxxcsccotcsc ；（6）反三角函数：211arccosarcsinxxx；211cotarctanxxarcx.9、参数方程及反函数的导数 1）参数方程的一阶导数 设 xx tyy t，则dydy dtdxdt dx()()y tdydxdtdtx t 参数方程的二阶导数 22d yddyddydxdtdxdtdxdx dx 2）反函数的导数：1dxdydydx