4.2 指数函数-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）.docx

第四章 指数函数与对数函数 课时4.2 指数函数 1.理解指数函数的概念. 2.探索指数函数的单调性与图象的特殊点,并掌握指数函数图象的性质. 3.体会直观想象的过程,加强数学抽象、数学运算素养的培养. 4.2.1　指数函数的概念 基础过关练 题组一　指数函数的概念 1.下列各函数中,是指数函数的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=(-3) x B.y=-3x C.y=3x-1 D.y=13x 2.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是 (　　) A.a>0且a≠1 B.a≥0且a≠1 C.a>12且a≠1 D.a≥12 3.设函数f(x)=x,x≥0,12x,x<0,则f(f(-4))= (　　) A.-4 B.14 C.1 D.4 4.已知f(x)=ax+a-x(a>0,且a≠1),且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是 (　　) A.14 B.13 C.12 D.11 题组二　求指数函数的解析式 5.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),f(2)=4,则函数f(x)的解析式是 (　　) A.f(x)=2x B.f(x)=12x C.f(x)=4x D.f(x)=-12x 6.(多选)若函数f(x)=12a-3·ax(a>0,且a≠1)是指数函数,则下列说法正确的是 (　　) A.a=8 B.f(0)=-3 C.f 12=22 D.a=4 7.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1),其图象经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为　　　　.  题组三　指数函数的应用 8.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后,若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为 (　　) A.y=3601.041.012x-1 B.y=360×1.04x C.y=360×1.04x1.012 D.y=3601.041.012x 9.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余物质的质量约是原来的45,则经过　　　年,剩余物质的质量是原来的64125.  10.(2019湖北沙市中学高一月考)光线通过一块玻璃,强度要损失10%,设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)通过20块这样的玻璃后,光线强度约为多少? (参考数据:0.919≈0.14,0.920≈0.12) 11.某车间产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P02-kt(其中P0表示初始废气中污染物数量).经过5 h后,经测试,消除了20%的污染物.问: (1)15 h后还剩百分之几的污染物? (2)污染物减少36%需要花多长时间? 4.2.2　指数函数的图象和性质 基础过关练 题组一　指数函数的图象特征 1.在同一坐标系中,函数y=ax+a与y=ax的图象大致是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.函数y=12|x|的图象是 (　　) 3.设a,b,c,d均大于0,且均不等于1,y=ax ,y=bx ,y=cx ,y=dx在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小顺序为 (　　) A.a<b<c<d B.a<b<d<c C.b<a<d<c D.b<a<c<d 4.函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 (　　) A.(2,2) B.(2,1) C.(3,1) D.(3,2) 5.已知函数f(x)=ax,g(x)=1ax(a>0,且a≠1), f(-1)=12. (1)求f(x)和g(x)的函数解析式; (2)在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (3)若f(x)<g(x),请直接写出x的取值范围. 题组二　指数函数的单调性及其应用 6.方程4x-3×2x+2=0的解构成的集合为 (　　) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{1,2} 7.设y1=40.9,y2=80.61,y3=12-1.5,则 (　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1 8.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是 (　　) A.12,1 B.0,12 C.[0,1] D.(0,1] 9.若不等式2x2+1≤14x-2的解集是函数y=2x的定义域,则函数y=2x的值域是 (　　) A.18,2 B.18,2 C.-∞,18 D.[2,+∞) 10.已知函数f(x)满足f(x+1)的定义域是[0,31),则f(2x)的定义域是 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.[1,32) B.[-1,30) C.[0,5) D.(-∞,30] 11.函数y=128-2x-x2的单调递增区间为　　　　.  12.已知集合A=x|12≤2x-4<4,B={x|x2-11x+18<0}. (1)求∁R(A∩B); (2)已知C={x|a<x<a+1},若C⊆B,求实数a的取值集合. 题组三　指数函数性质的综合应用 13.函数f(x)=x+12x-1的定义域为 (　　) A.[-1,0)∪(0,+∞) B.(-1,+∞) C.[-1,+∞) D.(0,+∞) 14.已知函数f(x)=3x-13x,则f(x)是 (　　) A.奇函数,且在R上是增函数 B.偶函数,且在R上是增函数 C.奇函数,且在R上是减函数 D.偶函数,且在R上是减函数 15.函数f(x)=13x+1+a是奇函数,则实数a的值是 (　　) A.0 B.12 C.-12 D.1 16.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a=　　　　.  17.函数y=14-|x|+1的单调递增区间为　　　　;奇偶性为　　　　(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”).  18.(2020山东泰安一中高一上期中)已知函数f(x)=a+22x-1. (1)求函数f(x)的定义域; (2)若f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域. 4.2.2　指数函数的图象和性质 能力提升练 题组一　指数函数的图象特征 1.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是 (　　) 2.已知实数a,b满足等式2 019a=2 020b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.若函数y=12|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是　　　.  题组二　指数函数的单调性及其应用 4.已知a=0.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是 (　　) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a 5.函数f(x)=-a2x-1+5ax-8(a>0,且a≠1)在[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为(　易错　) A.(0,1)∪52,+∞ B.45,1∪(1,+∞) C.(0,1)∪1,52 D.1,52 6.若函数f(x)=2x2+2ax-a-1的定义域为R,则实数a的取值范围是　　　　.   7.已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过A(1,6),B(2,18)两点.若不等式2ax+1bx-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数m的最大值为　　　.  8.已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x≥0时, f(x)=2x+a2x, f(1)=52. (1)求实数a的值; (2)用定义法证明f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)求函数f(x)在[-1,2]上的值域. 题组三　指数函数性质的综合应用 9.某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x-1|的图象与性质进行了探究,得到下列四条结论:①函数f(x)的值域为(0,+∞);②函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;③函数f(x)的图象关于直线x=1对称;④函数f(x)的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点. 则其中正确结论的个数为(深度解析) A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知a>0,设函数f(x)=2 019x+1+32 019x+1(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,那么M+N= (　　) A.2 025 B.2 022 C.2 020 D.2 019 11.已知实数a>0,定义域为R的函数f(x)=3xa+a3x是偶函数. (1)求实数a的值; (2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明; (3)是否存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)<f(2t-m)恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 4.2.1　指数函数的概念 答案全解全析 基础过关练 1.D　根据指数函数的定义知,D正确. 2.C　由题意得2a-1>0,2a-1≠1,解得a>12且a≠1. 3.D　∵-4<0,∴f(-4)=12-4=24=16>0,因此f(f(-4))=f(16)=16=4,故选D. 4.C　由f(x)=ax+a-x得f(0)=a0+a0=2. 又f(1)=3,即a+a-1=3,∴(a+a-1)2=a2+2+a-2=9,∴a2+a-2=7,即f(2)=7. 因此,f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12,故选C. 5.A　由f(2)=4得a2=4,又a>0,且a≠1,所以a=2,即f(x)=2x.故选A. 6.AC　因为函数f(x)是指数函数,所以12a-3=1,所以a=8,所以f(x)=8x,所以f(0)=1, f12=812=22,故A,C正确. 7.答案　7 解析　由已知得a-1+b=5,a0+b=4,解得a=12,b=3,所以f(x)=12x+3,所以f(-2)=12-2+3=4+3=7. 8.D　设该乡镇现在人口数为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克, 1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口数为M(1+1.2%), 则人均占有粮食产量为360M(1+4%)M(1+1.2%)千克, 2年后,人均占有粮食产量为360M(1+4%)2M(1+1.2%)2千克, …… 经过x年后,人均占有粮食产量为360M(1+4%)xM(1+1.2%)x千克, 则所求解析式为y=3601.041.012x. 9.答案　三 解析　经过一年,剩余物质的质量约是原来的45;经过两年,剩余物质的质量约是原来的452;经过三年,剩余物质的质量约是原来的453=64125,故答案为三. 10.解析　(1)光线通过1块玻璃后强度变为(1-10%)k=0.9k; 光线通过2块玻璃后强度变为(1-10%)·0.9k=0.92k, 光线通过3块玻璃后强度变为(1-10%)·0.92k=0.93k, …… 光线通过x块玻璃后强度变为0.9xk, ∴y=0.9xk(x∈N*). (2)将x=20代入函数解析式, ∵0.920≈0.12,∴y=0.920k≈0.12k, 即光线强度约为0.12k. 11.解析　(1)由题意得P02-5k=(1-20%)P0, 则2-5k=0.8,故当t=15时,P=P0·2-15k=P0·(2-5k)3=(80%)3P0=51.2%P0. 故15 h后还剩51.2%的污染物. (2)由题意得P02-kt=(1-36%)P0, 即(2-5k)t5=0.64,所以0.8t5=0.64,所以t5=2,即t=10, 故污染物减少36%需要花10 h. 4.2.2　指数函数的图象和性质 答案全解全析 4.2.2　指数函数的图象和性质 基础过关练 1.B　函数y=ax+a的图象经过(-1,0)和(0,a)两点,选项D错误;在图A中,由指数函数y=ax的图象得a>1,由y=ax+a的图象得0<a<1,选项A错误;在图B中,由指数函数y=ax的图象得a>1,由y=ax+a的图象得a>1,选项B正确;在图C中,由指数函数y=ax的图象得0<a<1,由y=ax+a的图象得a>1,选项C错误.故选B. 2.D　y=12|x|=12x,x≥0,2x,x<0. 因此,当x≥0时,y=12|x|的图象与y=12x的图象相同;当x<0时,y=12|x|的图象与y=2x的图象相同,故选D. 3.C　作出直线x=1,如图所示. 直线x=1与四个函数图象的交点从下到上依次为(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),因此a,b,c,d的大小顺序是b<a<d<c,故选C. 4.A　∵a0=1,∴令x-2=0,得y=a0+1=2, ∴x=2时,y=2, 因此函数f(x)的图象恒过定点(2,2),故选A. 5.解析　(1)因为f(-1)=a-1=1a=12,所以a=2, 所以f(x)=2x,g(x)=12x. (2)在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象如图所示: (3)由图象知,当f(x)<g(x)时,x的取值范围是{x|x<0}. 6.C　令2x=t,则4x=(2x)2=t2, 原方程可化为t2-3t+2=0,解得t=1或t=2. 当t=1时,2x=1=20,解得x=0, 当t=2时,2x=2=21,解得x=1. 因此原方程的解构成的集合为{0,1}. 故选C. 7.B　由题意知,y1=40.9=22×0.9=21.8,y2=80.61=23×0.61=21.83,y3=12-1.5=21.5,∵y=2x在R上是增函数,∴y2>y1>y3.故选B. 8.D　由f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在区间[1,2]上是减函数得a≤1;由g(x)=(a+1)1-x=1a+1x-1在区间[1,2]上是减函数得0<1a+1<1,因此a+1>1,解得a>0.因此a的取值范围是(0,1],故选D. 9.B　由2x2+1≤14x-2得2x2+1≤2-2x+4,即x2+1≤-2x+4,解得-3≤x≤1,∴函数y=2x的定义域为[-3,1].由于函数y=2x在R上单调递增,故当x=-3时取得最小值18,当x=1时取得最大值2,所以函数的值域为18,2.故选B. 10.C　∵f(x+1)的定义域是[0,31),即0≤x<31,∴1≤x+1<32,∴f(x)的定义域是[1,32), ∴f(2x)有意义必须满足20=1≤2x<32=25,∴0≤x<5. 11.答案　[-1,+∞) 解析　设t=8-2x-x2,则y=12t,易知y=12t在R上单调递减, 又知t=8-2x-x2在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减, 所以由y=12t与t=8-2x-x2复合而成的函数y=128-2x-x2的单调递增区间为[-1,+∞). 12.解析　由12≤2x-4<4得2-1≤2x-4<22, ∴-1≤x-4<2,即3≤x<6,∴A=[3,6). 由x2-11x+18<0得2<x<9,∴B=(2,9). (1)∵A=[3,6),B=(2,9), ∴A∩B=[3,6), ∴∁R(A∩B)=(-∞,3)∪[6,+∞). (2)由C⊆B得a≥2,a+1≤9, 解得2≤a≤8, 故实数a的取值集合为{a|2≤a≤8}. 13.A　依题意得x+1≥0,2x-1≠0,即x≥-1,x≠0. 故函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞),故选A. 14.A　由题知x∈R,且f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),所以f(x)是奇函数;又y=3x是增函数,且y=13x是减函数,所以f(x)=3x-13x是R上的增函数,故选A. 15.C　函数f(x)=13x+1+a的定义域为R,且f(x)是奇函数,因此f(0)=0,即130+1+a=0,解得a=-12. 此时f(x)=13x+1-12=1-3x2(3x+1)符合题意,故选C. 16.答案　7或17 解析　若a>1,则函数y=ax在区间[-1,2]上是单调递增的, 当x=2时, f(x)取得最大值,则f(2)=2a2-4=10,即a2=7,又a>1,所以a=7. 若0<a<1,则函数y=ax在区间[-1,2]上是单调递减的, 当x=-1时, f(x)取得最大值,则f(-1)=2a-1-4=10,所以a=17. 综上所述,a的值为7或17. 17.答案　[0,+∞);偶函数 解析　设u=-|x|+1,则y=14u. 易知u=-|x|+1的单调递减区间为[0,+∞),y=14u是减函数, ∴y=14-|x|+1的单调递增区间为[0,+∞). ∵f(-x)=14-|-x|+1=14-|x|+1=f(x), ∴f(x)是偶函数. 18.解析　(1)由2x-1≠0,可得x≠0, ∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}. (2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). 又∵f(-x)=a+22-x-1=a+2×2x1-2x=a-2(2x-1)+22x-1=(a-2)-22x-1, -f(x)=-a-22x-1, ∴a-2=-a,解得a=1. 因此f(x)=1+22x-1. ∴当x>0时,2x-1>0,f(x)>1; 当x<0时,-1<2x-1<0,f(x)<-1. ∴f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 4.2.2　指数函数的图象和性质 能力提升练 1.A　由函数f(x)的图象知,b<-1<0<a<1. ∴g(x)=ax+b的图象是单调递减的. 又g(0)=a0+b=1+b<0,∴图象与y轴交于负半轴,故选A. 2.B　在同一平面直角坐标系中作出y=2 019x与y=2 020x的图象如图所示. 设2 020b=2 019a=t, 当t>1时,0<b<a,①正确; 当t=1时,a=b=0,⑤正确; 当0<t<1时,a<b<0,②正确,③④不成立. 故选B. 3.答案　 [-1,0) 解析　作出函数g(x)=12|1-x|=12x-1,x≥1,2x-1,x<1的图象如图所示. 由图象可知0<g(x)≤1,则m<g(x)+m≤1+m,即m<f(x)≤1+m, 要使函数y=12|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则1+m≥0,m<0,解得-1≤m<0. 故答案为[-1,0). 4.A　a=0.3=0.30.5. ∵f(x)=0.3x在R上单调递减, ∴0.30.5<0.30.2<0.30⇒a<c<1. 又b=20.3>20=1,∴a<c<b,故选A. 5.A　设y=f(x)=-1a·a2x+5ax-8,令ax=u(u>0), 则y=-1au2+5u-8=-1au-5a22+25a4-8(u>0). ∴y=-1au2+5u-8在0,5a2上单调递增,在5a2,+∞上单调递减. ①当0<a<1时,u=ax是减函数, ∵x≥2,∴0<u≤a2<5a2, 此时y=-1au2+5u-8是增函数, 从而f(x)是减函数,符合题意. ②当a>1时,u=ax是增函数, ∵x≥2,∴u≥a2, 由f(x)在[2,+∞)上单调递减,得a2≥5a2, 又a>0,∴a≥52, 即当a≥52时,f(x)是减函数. 综上所述,实数a的取值范围是(0,1)∪52,+∞, 故选A. 易错警示　解决与指数函数有关的复合函数的单调性问题时,一要注意底数的取值对单调性的影响,必要时进行分类讨论;二要注意中间变量的取值范围. 6.答案　[-1,0] 解析　依题意得2x2+2ax-a-1≥0恒成立,即x2+2ax-a≥0恒成立. ∴Δ=4a2+4a≤0,解得-1≤a≤0, 故实数a的取值范围是[-1,0]. 7.答案　76 解析　由已知可得ba=6,ba2=18,解得a=3,b=2, 则不等式23x+12x-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,设g(x)=23x+12x-m, 显然函数g(x)=23x+12x-m在(-∞,1]上单调递减, ∴g(x)≥g(1)=23+12-m=76-m, 故76-m≥0,即m≤76, ∴实数m的最大值为76. 8.解析　(1)由题意得f(1)=2+a2=52, ∴a=1. (2)证明:由(1)知a=1,∴f(x)=2x+12x,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=2x1+12x1-2x2+12x2=(2x1-2x2)+2x2-2x12x1·2x2=(2x1-2x2)·(2x1+x2-1)2x1+x2. ∵0<x1<x2,∴1<2x1<2x2,2x1+x2>1, ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)易得f(0)=2, f(2)=174, f(-1)=52, f(x)在[-1,0]上为减函数,在[0,2]上为增函数, ∴f(x)的值域为2,174. 9.B　函数f(x)的值域为[1,+∞),①错误;函数f(x)在区间[0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,②错误;函数f(x)的图象关于直线x=1对称,③正确;因为y=-a2≤0,所以函数f(x)的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点,④正确.正确结论的个数为2,故选B. 解题模板　研究指数型复合函数的性质,借助图象是常见的手段,画出简图很多问题可迎刃而解. 10.B　f(x)=2 019x+1+2 019-2 0162 019x+1=2 019-2 0161+2 019x, ∴f(-x)=2 019-2 0161+2 019-x=2 019-2 016×2 019x2 019x+1. 因此f(x)+f(-x) =4 038-2 01611+2 019x+2 019x2 019x+1 =4 038-2 016=2 022. 又f(x)在[-a,a]上是增函数, ∴M+N=f(a)+f(-a)=2 022,故选B. 11.解析　(1)定义域为R的函数f(x)=3xa+a3x是偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,即3-xa+a3-x=3xa+a3x,故1a-a(3x-3-x)=0恒成立. 因为3x-3-x不可能恒为0,所以当1a-a=0时,f(-x)=f(x)恒成立,而a>0,所以a=1. (2)函数f(x)=3x+13x在(0,+∞)上单调递增,证明如下: 设任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=3x1+13x1-3x2+13x2=(3x1-3x2)+13x1-13x2=(3x1-3x2)+3x2-3x13x1·3x2 =(3x1-3x2)(3x1·3x2-1)3x1·3x2. 因为0<x1<x2,所以3x1<3x2,3x1>1,3x2>1, 所以(3x1-3x2)(3x1·3x2-1)3x1·3x2<0, 即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)=3x+13x在(0,+∞)上单调递增. (3)不存在.理由如下:由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,而函数f(x)是偶函数,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.若存在实数m,使得对任意的t∈R,不等式f(t-2)<f(2t-m)恒成立,则|t-2|<|2t-m|恒成立,即(t-2)2<(2t-m)2,即3t2-(4m-4)t+m2-4>0对任意的t∈R恒成立,则Δ=[-(4m-4)]2-12(m2-4)<0,得到(m-4)2<0,故m∈⌀,所以不存在. 25 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！