1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）.doc

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 【考点梳理】 考点一　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 考点二　空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 考点三　空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 考点四　空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 考点五　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 知识点三　空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 【题型归纳】 题型一：空间直接坐标对称问题 1．点关于平面的对称点为（ ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则、间的距离为（ ） A． B．6 C．4 D． 3．在空间直角坐标系中，已知点，那么下列说法正确的是（ ） ①点关于轴对称的点的坐标是；②点关于平面对称的点的坐标是；③点关于平面对称点的坐标是；④点关于原点对称点的坐标是. A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 题型二：空间图像上的点坐标 4．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置中放一个单位正方体礼盒，现以点D为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则正确的是（ ） A．的坐标为 B．的坐标为 C．的长为 D．的长为 5．在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（ ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则 A． B． C． D． 题型三：空间中点坐标公式的应用 7．如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为，，则点的空间直角坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知△ABC的三个顶点A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为 A．2 B．3 C． D． 9．在空间直角坐标系中，给出以下结论：①点关于轴的对称点的坐标为；②点关于平面对称的点的坐标是；③已知点与点，则的中点坐标是；④两点间的距离为.其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型四：空间两点间的距离公式应用 10．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则、两点间的距离为（ ） A． B．2 C．4 D． 11．正方体的棱长为，且，，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．已知点，，则，两点的距离的最小值为 A． B． C． D． 题型五：空间坐标的运算及其模的求法 13．若向量，满足条件，则x的值为（ ） A． B．2 C．0 D．1 14．平行六面体中，，，，则对角线的长为（ ） A． B．12 C． D．13 15．设，向量，，，且，，则（ ） A． B．3 C． D．4 题型六：空间向量的平行的坐标表示问题 16．已知向量，则与共线的一个单位向量（ ） A． B． C． D． 17．已知点，.点为坐标原点，若，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 18．已知，，若与共线，则实数（ ） A．-2 B． C． D．2 题型七：空间向量的垂直的坐标表示问题 19．下列各组向量互相垂直的是（ ） A．2，， B．4，，0， C．2，， D．4，， 20．已知，，且与互相垂直，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 21．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）. A． B． C． D． 题型八：空间向量的夹角余弦的坐标问题 22．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（　　） A． B． C．或 D．2 23．已知空间向量，，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 24．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，与的夹角为120°，则λ的值为(　　) A．± B． C．－ D．± 【双基达标】 一、单选题 25．已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A．1 B． C． D． 26．设，，向量，，，且，，则（ ） A． B．3 C．4 D． 27．已知空间四点，，，，则（ ） A． B． C． D． 28．一束光线自点P（1，1，1）出发，被xOy平面反射到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光线所经过的距离是（ ） A． B． C． D． 29．已知向量，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 30．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ） A．1 B．2 C． D． 31．空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ） A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直 32．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 33．若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．已知，，则向量与的夹角是（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 35．已知，，当取最小值时，的值为 A．19 B． C． D． 【高分突破】 一：单选题 36．已知向量，，且与互相垂直，则的值是 A．-1 B． C． D． 37．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为 A． B． C． D． 38．已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 39．正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为(　　) A． B． C． D． 40．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A． B． C． D． 41．已知空间向量，，则的最小值为 A． B． C．2 D．4 42．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ） A． B． C． D．3 二、多选题 43．已知向量，，， 下列等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 44．已知空间三点，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 45．已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 46．如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 47．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题 48．已知向量，若，则实数的值为______. 49．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______． 50．已知向量，，则在方向上的投影为________． 51．如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________． 四、解答题 52．已知，，，. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值. 53．直三棱柱中，，棱，是的中点． (1)求的长； (2)求的值． 54．如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，． （1）求向量的坐标． （2）求与的夹角的余弦值． 55．已知空间三点. （1）若点在直线上，且，求点的坐标； （2）求以为邻边的平行四边形的面积. 56．已知，． （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）求确定、的值使得与轴垂直，且． 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案详解】 1．A 【详解】 因为点关于平面的对称点为， 所以点关于平面的对称点为 故选：A 2．B 因为关于平面的对称点为，所以， 又因为关于轴的对称点为，所以， 所以， 故选：B. 3．D 【详解】 空间直角坐标系中，点. 对于①，点关于轴对称的点的坐标是，①错误； 对于②，点关于平面对称的点的坐标是，②错误； 对于③，点关于平面对称点的坐标是，③正确； 对于④，点关于原点对称点的坐标是，④正确； 综上知，正确的命题序号是③④. 故选：D. 4．D 【详解】 由所建坐标系可得：，，， . 故选：D. 5．B 点在平面内的正投影为点，则． 故选：B. 6．C 【详解】 解：三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角三角形，其面积为； 三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为； 三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为； 所以得，故选C． 7．D 【详解】 因为，故为中点，又，故，即 故选：D 8．B 【详解】 由题意的中点为，∴． 故选：B． 9．C 【详解】 ①点关于轴的对称点的坐标为，故①错误； ②点关于平面对称的点的坐标是，故②正确； ③已知点与点，则的中点坐标是，故③正确； ④两点间的距离为，故④错误. 故选：C. 10．B 【详解】 由题意，∴． 故选：B． 11．A 【详解】 以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系， ，又，，， 同理可得：，， ，，，，，， ， 的轨迹为（平面），即平面； 点关于平面对称点在上且满足，； （当且仅当三点共线时取等号）， ，，， 的最小值为. 故选：A. 12．C 【详解】 因为点， 所以 有二次函数易知，当时，取得最小值为 的最小值为 故选：C. 13．B 【详解】 由，即， 则， ∴1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2. 故选：B 14．D 【详解】 因为，所以 故选：D 15．C 【详解】 解：，，得， 又，则，得， ， ， . 故选：C. 16．B 设，由已知可得，解得. 因此，或. 故选：B. 17．A 【详解】 设点的坐标为，， 因为点，，， 由，可得， 解得:， 所以点的坐标为 故选：A. 18．B 【详解】 ∵，， ∴，. ∵与共线， ∴，即. 故选：B. 19．C 【详解】 解：对于，，、不垂直； 对于，由得、是共线向量，不垂直； 对于，，； 对于，，、不垂直． 故选：． 20．D 【详解】 解：根据题意，向量 .，，则， ，，，2，， 若向量.与.互相垂直，则有， 解可得：； 故选：D. 21．A 【详解】 因为在直线上，故存在实数使得， .若，则，所以，解得， 因此点的坐标为. 故选：A. 22．A 【详解】 解：∵向量， ∴， 解得． 故选：A． 23．B 【详解】 ， 因为，解得，即. 所以. 故选：B 24．C 【详解】 因为，， 所以，，，，， ， ， ， 所以 ， 所以， 且 解得，故选C． 25．B ， 由于与互相垂直， 所以. 故选：B 26．B 【详解】 因为，所以，解得，所以， 因为，所以，解得，所以， 所以， 所以. 故选：B 27．A 【详解】 由题意得，， 所以 ， 所以， 故选：A 28．D 【详解】 P关于xOy平面对称的点为P′（1，1，-1），则光线所经过的距离为 |P′Q|=. 故选:D 29．A 【详解】 由题意，，而，， ∴，则，又， ∴. 故选：A 30．B 【详解】 ，，， ， 由题意有 即， 整理得， 解得 故选：B 31．D 【详解】 ，由因为，所以，即，所以， 又因为，所以， 故选：D. 32．B 【详解】 过点作，垂足为， 在中，，，， 得、， 所以， 所以， 所以点的坐标为， 故选：B． 33．A 【详解】 解析：设，则=k，即，即“”可推出“”； 又若＝时，＝(0，0，0)，虽有成立，但条件显然不成立， 所以“”推不出“”，故“”是“”充分不必要条件. 故选：A． 34．A 【详解】 依题意，，， 则，， 所以， 所以，即向量与的夹角是90°． 故选：A. 35．C 【详解】 ，故当时，取得最小值. 36．D 【详解】 ∵向量（1，1，0），（﹣1，0，2）， ∴k（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2）， 2（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2， 2）， ∵k和2互相垂直， ∴（k）•（2）＝ 解得k． 故选D． 37．A 【详解】 取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系， 可得，，故，而 ，设平面的法向量为，根据 ，解得， . 故与平面所成角的大小为，故选A． 38．C 【详解】 设， 由点在直线上，可得存在实数使得， 即，可得, 所以, 则， 根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时. 故选：C. 39．A 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系 则N(a，a，a)，C1（0，a，a），A（a，0，0） 因为 所以 所以 所以 所以 所以选A 40．A 【详解】 解：由空间向量，，若与垂直， 则， 即， 即， 即， 即， 即， 故选：A. 41．C 【详解】 解：∵，， ∴， 则， ∴当时，取最小值为2． 故选：C． 42．D 【详解】 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 设P（a，b，0），则（0，0，2），E（1，2，0），（2，2，2）， ＝（a−2，b−2，−2），＝（1，2，−2）， ∵P⊥E， ， ∴a＋2b−2＝0， ∴点P的轨迹是一条线段， ， 由二次函数的性质可得当时，可取到最大值9， ∴线段P的长度的最大值为3． 故选：D． 43．BCD 【详解】 由题，所以 不相等，所以A选项错误； ，所以，所以B选项正确； ，所以C选项正确； ， 即，，所以D选项正确. 故选：BCD 44．AC 【详解】 ， ， ，故A正确； 不存在实数，使得，故不共线，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 45．AC 【详解】 对于A中，由，可得，解得，故A选项正确； 对于B中，由，可得，解得，故B选项错误； 对于C中，若存在实数，使得，则，显然无解，即不存在实数，使得，故C选项正确； 对于D中，若，则，解得，于是，故D选项错误. 故选：AC. 46．ACD 【详解】 以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，，，， ， ，，，，A正确； ，，B错； ，，C正确； ，D正确． 故选：ACD． 47．CD 【详解】 如图，连接AC和BD交于O，连接SO，由题可知OA，OB，OS两两垂直，则以OA，OB，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ， 底面是边长为的正方形，， ，， 则, , , ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ， ， 即，故D正确. 故选：CD. 48．2 【详解】 由题意知，向量，所以， 又由， 解得． 49． 【详解】 ， ， ， 故答案为：． 50． 依题意在方向上的投影为. 51． 【详解】 当弦的长度最大时，弦过球心， 如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心， 则，， ，，， 则 ， 而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是. 故答案为： 52．（1）2；（2）. 【详解】 （1）. ∵ ， ∴ 设， ∴ ， ∴ 即 ∴ 的值为2. （2）， . ∵ ， ∴ ， ∴ . 53．（1）；（2） 以为原点，以为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系． (1)依题意，得. (2)依题意，得． ∴， ∴. 54．（1）；（2）. （1）过作于， 则，， 所以的坐标为， 又因为，所以． （2）依题设有点坐标为，所以，， 则与的夹角的余弦值为． 55．（1）；（2）. 解：（1），点在直线上， 设， ， ， ， ，，. （2）， ， ，， ， 所以以为邻边得平行四边形的面积为. 56．（1）；（2）；（3），． 【详解】 （1）因为，， 所以. （2）∵，， ∴， ∴与夹角的余弦值为， （3）取轴上的单位向量，， 依题意， 即， 故， 解得，． 35 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！