3.2.1 双曲线及其标准方程-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇人教A版2019选择性必修第一册）.docx

3.2.1 双曲线及其标准方程 知识储备 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. 2．双曲线的标准方程 标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 图形 典例剖析 1．(2020·绵阳联考)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　) A. 　　　　　　　 B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为. 2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　) A. －y2＝1 B. －y2＝1 C. －＝1 D．x2－＝1 【答案】B 【解析】法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)． 设双曲线标准方程为 (a＞0，b＞0)， 因为双曲线过点P(2,1)， 所以，又a2＋b2＝3， 解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1. 法二：设所求双曲线标准方程为 (1＜λ＜4)， 将点P(2,1)的坐标代入可得， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线标准方程为－y2＝1. 3．过双曲线C： (a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为. 4．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________． 【答案】 【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为. 5．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________． 【答案】 【解析】设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ＞0)，即，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为. [名师微点] 求双曲线标准方程的2种方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值． [提醒]　求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．(如第4题) [典例精析] (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________． (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________. (3)已知F是双曲线的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 【解析】(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6. 这表明动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． (2)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2， |PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， 则cos∠F1PF2 ＝ ＝. (3)因为F是双曲线的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9. [解题技法] 双曲线定义的应用策略 (1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线． (2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． (3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置． 能力检测 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 1．（2020·河南高二月考（文））若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知：，， 解得或.故选：B 2．（2020·淮安市阳光学校高二月考）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得故选：A 3．（2020·淮安市阳光学校高二月考）已知点P为双曲线右支上一点，分别为双曲线左右焦点，若，则（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由得，所以， 因为点P为双曲线右支上一点， 所以， 所以.故选：D 4．（2020·全国高三专题练习）如图，从双曲线的左焦点引圆的切线交双曲线右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 因为O为，M为PF的中点， 所以MO为的中位线，可得|MO|=. 又， ， ， .故选：A 5．（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））在平面直角坐标系中，已知顶点和，点在双曲线的右支上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在双曲线的右支上，且和为双曲线的两个焦点，所以； 又因为，所以由正弦定理得， 故选：D. 6．（2020·江西东湖区·南昌十中高二期中（文））已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解析】∵F是双曲线的下焦点， ∴，c＝4，F（0，−4）， 上焦点为（0，4）， 由双曲线的定义可得 ， 当A，P，H三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 7．（2020·黑龙江高二学业考试（文））无论为何值，方程所表示的曲线不可能为（ ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】B 【解析】因为， 所以当，即，时，方程化为，表示两条直线； 当时，方程化为表示焦点在轴上的椭圆； 当时，方程化为表示圆； 当时，方程化为表示焦点在轴上的椭圆； 当时，方程化为表示焦点在轴上的双曲线.故选：B 8．（2020·全国高三专题练习（文））与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线 D．一个圆上 【答案】B 【解析】设动圆的圆心为P，半径为r，而圆的圆心为 ，半径为1； 圆,即的圆心为，半径为2. 依题意得， ，则 所以点P的轨迹是双曲线的一支.故选：B 二、多选题 9．（2020·湖北高二期中）已知曲线，下列说法正确的是（ ） A．若，则为双曲线 B．若且，则为焦点在轴的椭圆 C．若，则不可能表示圆 D．若，则为两条直线 【答案】ABD 【解析】若，则为焦点在横轴或纵轴上的双曲线，所以正确； 若且，可得，，所以为焦点在轴上的椭圆，所以正确； 若，，是单位圆，所以不正确； 若，则化为，表示两条直线，所以正确；故选：． 10．（2020·全国高三专题练习（文））下列判断正确的是（ ） A．抛物线与直线仅有一个公共点 B．双曲线与直线仅有一个公共点 C．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则 D．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 【答案】BD 【解析】对于A，抛物线与直线方程，联立方程，消去，可得，，所以抛物线与直线有两个个公共点，故A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，直线与渐近线平行，故双曲线与直线仅有一个公共点，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误； 对于D，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．故选：BD． 11．（2020·武汉外国语学校高二期中）若方程，所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（ ） A．曲线C可以表示圆 B．若曲线C是椭圆，则 C．曲线C不可能表示直线 D．若，则C为双曲线 【答案】ACD 【解析】当时，方程，化为，表示圆，所以正确； 曲线是椭圆，则，解得，所以不正确； 由，，，所以曲线不可能表示直线，所以正确； 若，则，为双曲线，所以正确；故选：ACD 12．（2020·江苏盐城市·）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A．椭圆上一点到右焦点的距离的最小值为2； B．若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线； C．方程表示的曲线是双曲线的右支； D．若椭圆的离心率为，则实数. 【答案】ABC 【解析对于，椭圆的长半轴长，半焦距， 椭圆的右顶点到右焦点的距离最小为，故正确； 对于，若动圆过点且与直线相切，则圆心到的距离等于到直线的距离，则圆心的轨迹是抛物线，故正确； 对于，方程的几何意义是平面内动点到两个定点，距离差等于6的点的轨迹，表示以，为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故正确； 对于，椭圆的离心率为，当焦点在轴上时，，，则， 则，解得，故错误．故选：． 三、填空题 13．（2020·南昌县莲塘第二中学高二期中（理））已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】对于双曲线，则，，，如下图所示： 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的定义可得，则， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立. 因此，的最小值为.故答案为：. 14．（2020·广东中山市·小榄中学高二月考）已知点F1(，0)和F2(4，0)，一曲线上的动点P到F1，F2的距离的差的绝对值是6，该曲线方程是_____. 【答案】 【解析】∵，， ∴点轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线， ，，又，∴， ∴曲线方程是．故答案为：． 15．（2020·安徽相山区·淮北一中高二期中）已知，，在中，，则顶点的轨迹方程为__________________. 【答案】， 【解析】因为，，所以， 设顶点， 由，根据正弦定理可得， 即， 由双曲线的定义，可得点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的双曲线的右支，且点不在轴上， 所以，，则， 因此顶点的轨迹方程为，. 故答案为：，. 16．（2020·全国高二课时练习）双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________. 【答案】 【解析】设直线l的斜率为k，则，所以， 因为点在圆上， ，即， 设点，，则，. 两式相减，得 则，即， 所以双曲线C的方程为. 故答案为： 四、解答题 17．（2020·江苏海陵区·泰州中学高二期中）已知集合，集合{方程表示圆锥曲线C} （1）若圆锥曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，求实数a的取值范围； （2）若圆锥曲线C表示双曲线，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）由方程表示的曲线是表示焦点在x轴上的椭圆 ∴， ∴ 解不等式可得 方程表示的曲线是双曲线 ∴， ∴或 因为A是B的充分不必要条件 所以是的真子集 所以或 解得或 所以a的取值范围是或． 18．（2020·宁夏长庆高级中学高二期中（文））已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线：与双曲线的左支交于､两点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设双曲线方程为(，).由已知得：，， 再由，∴，∴双曲线方程为. （2）设，，将代入， 得，由题意知解得. 所以当时，l与双曲线左支有两个交点. 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！