1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）.doc

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册) 1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 【考点梳理】 考点一：空间向量中的距离问题 1.点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 2.点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为． 考点二：空间向量中的夹角问题 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 【题型归纳】 题型一：点到平面的距离的向量求法 1．如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为？ 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． （1）求点M到直线AC1的距离； （2）求点N到平面MA1C1的距离． 题型二：平行平面的距离的向量求法 3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， （1）证明：平面AMN∥平面EFBD； （2）求平面AMN与平面EFBD间的距离． 4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离. 题型三：异面直线夹角的向量求法 5．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点. （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值. 6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD. （1）求证：EF⊥B1C； （2）求EF与C1G所成角的余弦值. 题型四：线面角的向量求法 7．如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，，． （1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值. 8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，. （1）求证：； （2）若为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 题型五：面面角的向量 9．如图1，在平面四边形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB.沿着AC将△ACD折起来，使得平面ACD⊥平面ABC，如图2. （1）求证∶BC⊥AD； （2）求二面角A-DM-E的余弦值. 10．如图，在四棱柱中，平面，，，，，若与交于点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【双基达标】 11．在正四棱柱中，AB=2，过、、B三点的平面截去正四棱柱的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为，点P，Q分别是和AC的中点. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求直线C1D与平面所成角的大小.（用反三角函数表示） 12．如图，在矩形中，，E为边上的点，，以为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 13．直角梯形绕直角边旋转一周的旋转的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，且二面角为，，分别在线段，上． （Ⅰ）若，分别为，中点，求与所成角的余弦值； （Ⅱ）若为上的动点、为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值． 14．如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 15．已知四棱锥，底面为平行四边形，，，，，． （Ⅰ）若平面平面，证明：； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 16．如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求点到直线的距离； （4）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值. 【高分突破】 17．如图，四边形ABCD是矩形，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD； （1）求证：AF⊥平面BEG； （2）若，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值. 18．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2． （1）求证：平面CC1D1D⊥底面ABCD； （2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段ED1的长度． 19．如图，在中，．O为的外心，平面，且． （1）求证： 平面； （2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与平面所成角取最大值时，求的值 20．如图，在三棱台中，，、分别为、中点. （1）求证：平面； （2）若，且平面，令二面角的平面角为，求. 21．在四棱锥中，底面为梯形，，，侧棱底面，E为侧棱上一点，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值． 22．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点． （1）求与所成角的余弦值． （2）求证：平面． （3）求平面与平面的夹角的正弦值． 23．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； 24．如图，在三棱锥中，平面平面，，，． （1）证明：． （2）若为的中点，为上一点，，求直线与平面所成角的正弦值． 25．如图，已知为圆锥底面的直径，点在圆锥底面的圆周上，，，平分，是上一点，且平面平面. （1）求证：； （2）求二面角的平面角的余弦值. 26．如图，在三棱柱中，平面，，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）点在线段上，且，试问在线段上是否存在一点，满足平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由？ 【答案详解】 1． 解：如图以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，设＝λ，λ∈[0，1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)． 又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)， 设为平面AED的法向量，则⇒ 取x＝1，则y＝，z＝2，即， 由于d＝＝， ∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝， 所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为. 2． 由题意，分别以为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)， （1）直线AC1的一个单位方向向量为，， 故点M到直线AC1的距离. （2）设平面MA1C1的法向量为， 则,即 不妨取x＝1，得z＝2，故为平面MA1C1的一个法向量， 因为N(1，1，0)，所以, 故N到平面MA1C1的距离 . 3． （1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)， E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)． 从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)， 所以，，所以EF∥MN，AM∥BF． 又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD， 平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD， 因为MN∩AM＝M， 所以平面AMN∥平面EFBD； （2）解：因为平面AMN∥平面EFBD， 所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离． 设是平面AMN的法向量， 则有即，可取， 由于＝(0，4，0)， 所以点B到平面AMN的距离为， 所以平面AMN与平面EFBD间的距离为． 4．. 如图，连接OO1，则，且 所以四边形为平行四边形，所以AO1OC1， 平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O， 又OBO1B1， 平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O， 又AO1O1B1＝O1，所以平面AB1O1平面BC1O. ∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离. 根据题意，OO1⊥底面ABC，，两两垂直. 则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ∵O(0,0,0)，，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)， 设为平面BC1O的法向量，则 即取可得 点O1到平面BC1O的距离记为d， 则d＝＝＝. ∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为. 5． 如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. （1）依题意得、，因此，， 因此，线段的长为； （2）依题意得、、、， ，， 所以，， 故与所成角的余弦值为. 6． 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz. 则E（），， （1）∵，， ∵， （2）由（1）知， ∴， ， ， 设EF与C1G所成角为，则 故EF与C1G所成角的余弦值为 7． （1）证明：如图，取的中点，连接，． ， ，且， 就是点到平面的距离，即平面 平面， ， 又，四边形是平行四边形， 是正三角形， ， ． （2）解：由（1）得平面， 以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，， ，， 则由得，令，得． 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值． 8． （1）∵，，为的中点，∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面平面，∴. （2）∵，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，分别以，，所在的直线为，，轴， 建立直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则，， 即，令，则， ∴直线与平面所成角的正弦值. 9． （1）∵平面ACD⊥平面ABC.平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACD，∵AD平面ACD，∴BC⊥AD. （2）根据题意，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立如图的空间直角坐标系， ∵BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4， ∴BC=2，AC=，CD=，CM=AC-AM=. ∴， ∴，， 设平面MDE的法向量为，则，即，令，得y=3，z=-1，∴， 由（1）知，平面MAD的一个法向量为=（0，2，0）， ∴. ∴二面角A-DM-E的余弦值为. 10 （1）由可得，， 又，即， ，又平面，平面， 平面. （2）如图，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，由，可得 ，取，可得， 设平面的法向量为，由， 可得，取，可得， 由图可知两平面所成的角为锐角，余弦值为 . 11． （1）设正四棱柱的高为， 因为几何体的体积为，所以， 解得，即， 所以正四棱柱为正方体. 所以连接与，则交点为，连接与，则交点为， 在正方体中，，所以为异面直线与所成的角或所成角的补角. 因为,所以面, 又因为面,所以， 在中，，所以， 因为，所以， 即异面直线与所成角为. （2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，, 设面的法向量为， 则 ，即 ，取，所以， 设直线C1D与平面所成角为， 则， 所以，即直线C1D与平面所成角为. 12． （1）由，设的中点为O，连接，则， 又二面角为直二面角，故平面，设，则， 又，得三棱锥的体积， 即，得， 于是由，所以，所以， 又平面平面，得平面，则， 又，且，所以平面， 又平面， 故平面平面. （2）以的中点O为坐标原点，以的方向为z轴正方向，过点O分别作和的平行线，分别为x轴和y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，， 设为平面的法向量，则有， 即，可取， 设为平面的法向量，则有，即，可取， 所以，由图形知二面角为钝角，其余弦值为. 13． （Ⅰ）设圆台上、下底面半径分别为，． ∵，∴；∵，∴． ∵，∴． 过点作于点，则， ，∴圆台的高为． ∵二面角是直二面角， ∴建立空间直角坐标系如图所示， 点，，，，， ∴， ∴与所成角的余弦值为． （Ⅱ）取的中点，连接，，， ∴，则． ∵平面，∴平面， ∴为直线与平面所成角，， 当时，最小，最大． 在中，，，，， ，即与平面所成最大角的正切值为． 又点，，，， 设点，平面的法向量，，，即，∴， 则，，，即， 解得，． 即令得． 易知平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则． 由图易得二面角为锐二面角， ∴二面角的余弦值为． 14． （1）在中，因为，，， 所以，故. 又平面平面，平面平面，面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）以所在直线为轴，所在直线为y轴，过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，， 设平面的法向量， 由可得，令，则，， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 15． （Ⅰ）证明：因为底面为平行四边形，所以． 又平面，平面， 所以平面． 又因为平面平面， 根据线面平行的性质定理，， 所以． （Ⅱ）由题意得，，， 所以，，． 又，所以平面． 因为，所以平面． 又，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，则一个法向量． 设平面的法向量为， 则 令，则，，则一个法向量， 则． 由图易得二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为． 16． （1）证明：取的中点，连接，， 因为四边形为矩形， 则且， 因为，分别是，的中点， 则且， 又是正方形的中心， 则， 所以且， 则四边形是平行四边形， 故， 又平面，平面， 故平面； （2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，所以，， 设平面的法向量为， 则，即，不妨令，则， 因为平面， 则平面的一个法向量为， 所以， 则二面角的正弦值为； （3）解：因为，，， 则，， 所以， 所以点到直线的距离为； （4）解：因为， 则， 设， 则， 解得， 故， 所以， 故直线和平面所成角的正弦值为. 17． （1）因为且， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，所以平面； （2）据题意，建立空间直角坐标系如下图所示： 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 设平面的一个法向量为，， 由可得，取，所以， 设直线与平面所成角大小为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18． （1）证明：因为底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形， 所以AD⊥CD，AD⊥DD1， 又CD∩DD1＝D，CD，DD1⊂平面CDD1C1， 所以AD⊥平面CDD1C1，又D1E⊂平面CDD1C1， 所以AD⊥D1E，又CD⊥D1E，且CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ABCD， 故D1E⊥平面ABCD，又D1E⊂平面CC1D1D， 则平面CC1D1D⊥平面ABCD； （2）解：取AB得中点F，连结EF，则四边形EFBC为正方形， 所以EF⊥CD，故以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设D1E＝a，则E（0，0，0），F（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a）， 所以， 设平面BCC1B1的法向量为， 则有，即， 令z＝1，则， 因为FC⊥BE，又FC⊥D1E，BE∩D1E＝E，BE，D1E⊂平面BED1， 所以FC⊥平面BED1， 故为平面BD1E的一个法向量， 所以， 因为平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为， ，解得a＝1， 所以D1E＝1． 19． （1）如图，连接，交于点D，O为的外心， ，所以， 所以 故和都为等边三角形， 即四边形为菱形，所以 又平面，平面，所以平面． （2）由（1）同理可知因为平面，平面， 平面平面，所以． 如图所示：以点D为原点，和垂直平面的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则． 设所以 设平面的法向量为． ， 得， 令得． 所以直线l与平面所成角的正弦值为： ， 即当即点M是线段的中点时，直线l与平面所成角取最大值． 20． （1）连接，设，连接， 由三棱台知，，，，，且. 为的中点，故且，故四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，故， 因为平面，平面，故平面； （2）因为平面，平面，故， 因为，，平面， 因为，故平面， ，为的中点，故， 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，，则， ，， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，，， 所以，所以，. 21． 解：（Ⅰ）证明：连结相交于点O，连结． 在梯形中，∵，可得， ∴，又已知，则在中，， ∴． 又底面，∴底面， 则平面平面； （Ⅱ）由题知，底面，，四边形为等腰梯形，以点A为坐标原点，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， ，，设平面的法向量为， 由可得，取，则，又． ∴， 即直线与平面所成角的正弦值为． 22 （1）在正三棱柱中，为正三角形，取中点为，连接，则, 又面，,则面,建立如图空间直角坐标系， 由,.可得，, 所以与所成角的余弦值. （2）由（1）知，，， 及, 且，平面． （3）由（2）平面的法向量为， ,,,设平面的一个法向量为，则，令，， 平面与平面的夹角的正弦值为 23． 解：过作于点，则，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，0，，，，，，1，，，0，， 为的中点，，，． （1），，，，，，，0，． 设平面的法向量为，，，则， 令，则，，，1，， ，即， 又平面，平面． （2）由（1）知，，0，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 令，则，，，，， ，． 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 24． 设，则. （1）证明：∵，，∴，. 在中，，即， ∴. ∵平面平面，平面平面， ∴平面， 又平面，∴. （2）以为原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则 令，得，，∴. ∵， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 25． （1）因为，且平分，所以,又因为平面平面，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以； （2） 取的中点,连接，则两两垂直，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立如图空间直角坐标系， 则, 由（1）知平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为，,,则，取，则， 因此, 由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为. 26． （1）证明：在三棱柱中，平面，，． ，，， ，平面， 平面，， ，平面． （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，0，，，0，，，2，，，0，， ，0，，，，， 设异面直线与所成角为， 则，又，． 异面直线与所成角的大小为． （3）解：，，，，，， ，， 设平面的法向量，，， 则，取，得， 点在线段上，且，点在线段上， 设，，，，，，，则，，， 即， 解得， 平面，， 解得． 的值为． 46 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司