[32373419]解密12 不等式(讲义)-【高频考点解密】2022年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练（全国通用）.docx

解密12 不等式 考点热度 ★★☆☆☆ 内容索引 核心考点1 不等式的性质与一元二次不等式 核心考点2 线性规划 核心考点3 基本不等式 高考考点 三年高考探源 预测 不等式的性质与一元二次不等式 2021全国甲卷文1 2021全国乙卷理3 2020课标全国Ⅱ 11 2019课标全国Ⅰ 1 2019课标全国Ⅱ 6 2019课标全国Ⅲ 1 本节是高考的热点，主要命题点有：(1)不等式的性质及应用，常以不等式为载体与函数相结合考查，注意不等式的等价变形；(2)不等式的解法，常与集合的基本运算相结合考查；(3)一元二次不等式的恒成立问题，常与函数结合考查．一般以选择题和填空题的形式出现，难度不大． 线性规划 2020课标全国Ⅰ 13 2020课标全国Ⅲ 13 2018课标全国Ⅰ13 2018课标全国Ⅱ14 从近三年的命题情况来看，本节是高考的重点，命题稳定，难度适中．主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值（范围）以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，主要以选择题和填空题的形式出现． 基本不等式 主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件． 核心考点一 不等式的性质与一元二次不等式 考法 不等式的性质与一元二次不等式 变式一 不等式的性质 1、（山东省菏泽市2021-2022学年高一上学期期中数学试题）若实数，，满足，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用不等式的性质，进一步利用作差法和赋值法的应用判断、、、的结论． 【详解】解：实数，，满足， 所以对于：当，，时，不成立，故错误； 对于：当，，时，，故错误； 对于：由于，所以，故，故正确； 对于：当，，时，无意义，故错误． 故选：． 2、（2022·全国·高三专题练习）下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质或举例子逐一判断即可. 【详解】对A.当时，此时不能推出，不满足必要性； 对B.由，可得；反之不成立，满足必要不充分； 对C. 当时，此时不能推出，不满足必要性； 对D.由，可得，反之也可推出，是充要条件. 故选：B. ☆技巧点拨☆ 不等式的一些常用性质： (1)有关倒数的性质 ①a>b，ab>0Þ<.②a<0<bÞ<.③a>b>0，0<c<dÞ>.④0<a<x<b或a<x<b<0Þ<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则①<，>(b－m>0)；②>，<(b－m>0)． 变式二 一元二次不等式 1、（2021·山东·安丘市普通教育教学研究室高一期中）关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（ ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由且不等于1， 由题意得，，解得. 故选：D. 2、（2021·西藏·拉萨中学高二阶段练习）关于的不等式的解集为，则实数的范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论. 【详解】当时，该不等式为，解集为，不成立； 当时，由不等式的解集为，得， 解得，故选：B. ☆技巧点拨☆ 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间． 2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解． 3．解含参数不等式要正确分类讨论． 核心考点二 线性规划 考法 线性规划 变式一 线性目标函数的最值及范围问题 1、（2022·浙江慈溪·高三期末）若实数x，y满足约束条件则的最小值为（ ） A．5 B．4 C．-5 D．-6 【答案】C 【分析】根据题意作出可行域，进而根据z的几何意义求出最小值. 【详解】如图所示，可行域为： 由z的几何意义可知，当直线过点B时取得最小值，联立，所以z的最小值为：.故选：C. 2、（2022·浙江·高三学业考试）不等式组表示的平面区域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出直线与，再代入点判断不等式是否成立，从而判断出与的平面区域. 【详解】画出直线，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入可得成立，所以表示的区域为直线及直线右下方；画出直线，经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入可得不成立，所以表示的区域为直线及直线左下方，所以对应的平面区域为B. 故选：B ☆技巧点拨☆ 求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数. 变式二 非线性目标函数的最值及范围问题 1、（2021·浙江·台州一中高三期中）若实数满足，则的最大值是（ ） A．1 B．9 C． D．27 【答案】B 【分析】求的最小值只需求的最大值即可，进而作出可行域，数形结合即可求出结果. 【详解】令，求的最大值只需求的最大值即可， 由可得，根据线性约束条件作出可行域如图： 作直线，沿可行域方向平移可知：过点时，取得最大值， 由可得， 所以取得最大值.所以，所以的最大值是. 故选：B. 2、（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））已知，满足，则的最大值为（ ） A．2 B．5 C．25 D．29 【答案】D 【分析】作出不等式组表示的平面区域，再借助几何意义计算即可作答. 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影，其中，，， 目标函数表示及内部的动点P与定点M的距离平方， 观察图象知，当动点P与点A重合时，线段PM长最大，则， 所以的最大值为29. 故选：D 3、（2022·四川达州·高一期末）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在函数的图象上可求出当时的两端点坐标，将看作函数的图象上的点与点（-1，-2）连线的斜率，即可求得答案. 【详解】因为点在函数的图象上， 所以时， ；当时，； 故设 而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率， 故时，, 而 ,所以 故选：B. ☆技巧点拨☆ 常见的非线性目标函数的几何意义 (1) 表示点(x，y)与原点(0，0)的距离； (2) 表示点(x，y)与点(a，b)的距离； (3) 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率； (4) 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率． 变式三 线性规划的实际应用 1、（2021·全国·高二阶段练习（理））某厂生产厨余垃圾桶与有害垃圾桶，均需要与两种原料，已知库存原料吨，原料吨，每生产一个厨余垃圾桶或有害垃圾桶所需的原料如下表: 厨余垃圾桶 有害垃圾桶 5kg 10kg 5kg 5kg 已知每个厨余垃圾桶售价元，每个有害垃圾桶售价元，设该厂利用库存原料可生产千个厨余垃圾桶，千个有害垃圾桶，若生产的垃圾桶能全部售完，则销售额的最大值为（ ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】C 【分析】根据题意列出约束条件，以及目标函数，利用数形结合法求解. 【详解】解：由题意可知，即, 设销售额为(单位:万元)，则，作出可行域，如图所示， 当过点时，销售额最大， 由，解得,所以， 故选：C 2、（2020·全国·高三专题练习（理））当前疫情阶段，口罩成为热门商品，为了赚钱，小明决定在家制作两种口罩：N95口罩和N90口罩.已知制作一只N95口罩需要2张熔喷布和2张针刺棉，制作一只N90口罩需要3张熔喷布和1张针刺棉，现小明手上有35张熔喷布和19张针刺棉，且一只N95口罩有4元利润，一只N90口罩有3元利润，为了获得最大利润，那么小明应该制作（ ） A．5只N95口罩，8只N90口罩 B．6只N95口罩，6只N90口罩 C．7只N95口罩，6只N90口罩 D．6只N95口罩，7只N90口罩 【答案】D 【分析】根据题意，设出变量，列出约束条件，画出可行域，求得最优解，注意变量需要取整数. 【详解】设制作x只N95口罩，y只N90口罩，根据题意有 ，可行域如图所示： 利润， 目标函数看作斜率为的直线，当目标函数表示的直线经过可行域内的点， 且在y轴上的截距最大时，最大， 由，求得最优解， 因为需要取整数，在可行域内与点B最接近的整点为， 所以当时，z的值最大， 所以小明应该制作6只N95口罩，7只N90口罩， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关线性规划的应用问题，在求解的过程中，注意认真分析题意，正确找出约束条件，并且正确画出可行域，根据目标函数的形式，分析最优解的位置，得到结果. ☆技巧点拨☆ 对于线性规划的实际问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法．利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误． 变式四 线性规划与其他知识的交汇 1、（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，且，的夹角为钝角，则在平面上，满足上述条件及的点所在的区域面积满足（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件求出a，b所满足的关系，结合，再画出点所在的区域，然后根据区域面积大小即可判断. 【详解】因，的夹角为钝角，则，且，不共线， 若，共线，即，整理为，解得，此时，均为零向量，矛盾， 从而有：，即，于是得或， 点满足不等式组：或，画出这两个不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域， 显然直线与的夹角为锐角，而图中阴影区域是两个全等的扇形，其圆心角为钝角，则， 所以点所在的区域面积满足. 故选：C 2、（2021·广西·南宁三中高二阶段练习（文））已知函数的定义域为，且．为的导函数，的图象如图所示．若正数、满足 ，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得出函数的单调性，结合已知条件可得出关于、的不等式组，作出不等式组所表示的可行域，利用的几何意义，数形结合可得出的取值范围. 【详解】由导函数的图象可知在上为减函数，在上为增函数， 由可得， 又、为正数，故将此不等式组看作关于、的约束条件，画出可行域如图所示， 结合图形，表示连接点和可行域内一点的直线的斜率， 其中，， 结合图形可知，的取值范围是． 故选：A. ☆技巧点拨☆ 线性规划是代数与几何的桥梁，是数形结合思想的集中体现．传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点．但是，近年来这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向，即将它与函数、方程、数列、平面向量、解析几何等知识交汇在一起考查． 核心考点三 基本不等式 考法 基本不等式 变式一 利用基本不等式求最值线性目标函数的最值及范围问题 1、（2022·新疆·高二期末）已知，且直线始终平分圆的周长，则的最小值是（ ） A．2 B． C．6 D．16 【答案】B 【分析】由已知直线过圆心得，再用均值不等式即可. 【详解】由已知直线过圆心得：， ， 当且仅当时取等. 故选:B. 2、（2022·河南南阳·高二期末（理））设，，且恒成立，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式等价于，根据均值不等式求得左侧最小值，进而估算出结果. 【详解】解：等价于， 故得到则的最大值是4. 故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. ☆技巧点拨☆ 基本不等式的常用变形 (1)a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)＋≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立． (4)a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立． 变式二 基本不等式的综合应用 1、（2022·云南官渡·高一期末）南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以三角形面积的最大值为. 故选:B 2、（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用对勾函数的值域得到的范围，然后由求解. 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即，所以四边形AFBF'为矩形，， 设，，在直角中，，， 得，所以，令，得， 又，得，所以， 所以 ，即，所以 所以椭圆的离心率的取值范围为， 故选：B 16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司