4.5.1 函数的零点与方程的解-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）.docx

4.5.1 函数的零点与方程的解 【学习目标】 课程标准 学科素养 1．结合二次函数的图象，了解二次函数与一元二次方程间的关系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2．了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数； 3．能够利用零点的存在解决含参问题． 1.数形结合 2.数学运算 3.逻辑推理 【自主学习】 1.函数的零点 (1)函数f(x)的零点是使f(x)＝0的__ __. (2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系． 思考1：(1)函数的零点是点吗？ (2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？ 2.函数的零点存在定理 (1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__ __，f(a)f(b)<0； (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根． 思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？ (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0? 【小试牛刀】 (1)函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点.(　　) (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)<0.(　　) (3)函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上只有一个零点. (　　) 【经典例题】 题型一　求函数的零点(方程的根) 例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝－x2－4x－4； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝4x＋5； (4)f(x)＝log3(x＋1)． 总结: 函数零点的求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [跟踪训练]1 (1)求下列函数的零点： ①f(x)＝x2－2x－3零点为__ _； ②g(x)＝lgx＋2零点为__ __. (2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝__ __. 题型二　判断零点所在的区间 例2 f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　 　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) [跟踪训练]2 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　 　) A．(－2，－1)　　 B．(－1,0) C．(0,1)　　 D．(1,2) 题型三　函数零点个数的判断 例3 函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1<x2，则(　 　) A．x1<2,2<x2<5 B．x1>2且x2>5 C．x1<2，x2>5 D．2<x1<5，x2>5 [跟踪训练]3 若x0是方程()x＝x的根，则x0属于区间( 　) A．(，1) B．(，) C．(，) D．(0，) 题型四　一元二次方程根的分布问题 例4 已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4. (1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值； (2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围． [跟踪训练]4 函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围． 【当堂达标】 1．函数f(x)＝4x－6的零点是(　 　) A．　　 B．(，0) C．　　 D．－ 2． 函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为(　 　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　 　) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 4．已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下x，f(x)的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 15 10 －7 6 －4 －5 则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 6. 方程2|x|＋x＝2的实根的个数为 . 7. 已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，求实数a的取值范围． 【参考答案】 【自主学习】 实数x 思考1 (1)不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根． 连续不断的曲线 思考2 (1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数． (2)不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0. 【小试牛刀】 ××× 【经典例题】 例1 [解析]　(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2， 所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2. (2)令＝0，解得x＝1， 所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1. (3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点． (4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0. [跟踪训练]1 [解析]　(1)①f(x)＝(x－3)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1， ②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝.故g(x)的零点为. (2)由条件知，∴，∴， ∴f(1)＝a＋b－4＝－6. 例2 C [解析]　f(1)＝1－9＝－8<0， f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0， f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0， ∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)． [跟踪训练]2 [解析]　f(－2)＝e－2－2－2＝e－2－4＝－4<0，f(－1)＝e－1－1－2＝－3<0， f(0)＝e0－2＝1－2<0，f(1)＝e－1>0， ∴f(0)·f(1)<0，∴函数f(x)的零点所在的一个区间为(0,1)． 例3 C [解析]　作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C． [跟踪训练]3　C [解析]　构造函数f(x)＝()x－x，则函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，又f(0)＝()0－0＝1>0，f()＝()－()>0，f()＝()－()<0，f()＝()－()<0，f(1)＝－1＝－<0，结合选项，因为f()·f()<0， 故函数f(x)的零点所在的区间为(，)， 即方程()x＝x的根x0属于区间(，)． 例4 [解析]　(1)由题意可知方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0， ∴m＝－1或m＝4. (2)由题意得， 解得－5<m<－1. ∴实数m的取值范围是(－5，－1)． 总结：解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解． [跟踪训练]4 解　由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2， 因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点， 所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点， 画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示， 观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2. 【当堂达标】 1. C [解析]　令4x－6＝0，得x＝，∴函数f(x)＝4x－6的零点是. 2. B [解析]　f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，∴f(1)·f(2)<0，故选B． 3. B [解析]　函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1. 4. B 解析：由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点． 5. B 解析：由f(x)＝2x＋x3－2得f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0， ∴f(0)f(1)<0. 又∵y1＝2x，y2＝x3在(0,1)上单调递增， ∴f(x)在(0,1)上单调递增， ∴函数f(x)在(0,1)内有唯一的零点，故选B. 6. 2 解析：由2|x|＋x＝2得2|x|＝2－x. 所以方程2|x|＋x＝2的实根的个数就是函数f(x)＝2|x|与g(x)＝2－x图象交点的个数．在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象(略)，由图知，两个函数的图象有两个交点，即原方程有两个实数解． 7.解：(1)当m＝0时，由f(x)＝x－a＝0，得x＝a，此时a∈R. (2)当m≠0时，令f(x)＝0，即mx2＋x－m－a＝0恒有解， 即Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立， 即4m2＋4am＋1≥0恒成立， 则Δ2＝(4a)2－4×4×1≤0，即－1≤a≤1. 所以对m∈R，函数f(x)恒有零点时，实数a的取值范围是[－1,1]． 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！