2.2双曲线的简单几何性质课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册.pptx

双曲线的简单几何性质,1.预习教材的内容,类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2=1 a0,b0 的哪些几何性质？,答案 x，y 的范围，轴长，焦点，焦距,对称性,顶点坐标和离心率.,2.你知道双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2=1 a0,b0 的顶点坐标、实轴长、虚轴长分别是什么吗？,答案 顶点坐标是 a,0，a,0，实轴长为 2a，虚轴长为 2b.,3.双曲线的渐近线的定义是什么?你能写出渐近线方程吗？,答案 一般地，双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2=1 a0,b0 的两支向外延伸时，与两条直线 y=b a x 逐渐接近，这两条直线叫作双曲线的渐近线.双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2=1 a0,b0 的渐近线方程为 y=b a x；双曲线 y 2 a 2 x 2 b 2=1 a0,b0 的渐近线方程为 y=a b x.,4.双曲线离心率的表达形式与椭圆一样，那么它们的范围相同吗？,答案 它们的范围不同，双曲线离心率的范围是 1,+，椭圆离心率的范围是 0,1.,5.什么是等轴双曲线?它的离心率是多少？,答案 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率 e=2.,1.判断下列结论是否正确.（正确的打“”，错误的打“”）,（1）共渐近线的双曲线的离心率相同.(),（2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率 e=2.(),（3）椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.(),（4）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.(),2.已知双曲线 C:y 2 x 2 2=1，则该双曲线的实轴长为(10).A.1 B.2 C.2 D.2 2,B,解析 因为双曲线 C:y 2 x 2 2=1 的实半轴长 a=1，所以该双曲线的实轴长为2.,3.已知双曲线 C:x 2 m y 2 4=1 的离心率为3，则 m=(12).A.3 B.1 2 C.2 D.1,B,解析 由题意得 a 2=m，b 2=4，因为 C 的离心率为3，所以 m+4 m=9，解得 m=1 2.,4.若双曲线 x 2 y 2 m=1 的渐近线方程为 y=2x，则实数 m=_.,4,解析 双曲线 x 2 y 2 m=1 的焦点在 x 轴上，渐近线方程为 y=m x，m=2,即 m=4.,探究1 双曲线的范围、对称性和顶点,问题1：观察平面直角坐标系中的双曲线 C:x 2 a 2 y 2 b 2=1 a0,b0,它有怎样的范围？你能利用它的方程给出证明吗？,答案 发现双曲线上点的横坐标的范围是 xa 或 xa，纵坐标的范围是 y.证明如下：x 2 a 2 y 2 b 2=1，x 2 a 2=y 2 b 2+11，即 x 2 a 2，解得 xa 或 xa.同理可得 y.,问题2：观察双曲线的形状，它有怎样的对称性？在平面直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？你能利用双曲线的方程证明它的对称性吗？,答案 双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形.要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就要证明在标准方程中，把 x 换成 x，或把 y 换成 y，或把 x，y 同时换成 x，y 时，方程都不变，所以图形关于 y 轴、x 轴和原点都是对称的.根据上述方法可以证明，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.,问题3：观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？你能通过方程给出证明吗？,答案 双曲线与坐标轴的交点比较特殊.在标准方程 x 2 a 2 y 2 b 2=1 a0,b0 中，令 y=0,得 x=a；令 x=0，则 y 无解.这说明双曲线有两个顶点分别为 A 1 a,0，A 2 a,0.如图，对称轴上位于两顶点间的线段 A 1 A 2 叫作双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2=1 的实轴，其长度为 2a，尽管此双曲线与 y 轴无公共点，但 y 轴上有两个特殊的点 B 1 0,b，B 2 0,b.我们称线段 B 1 B 2 为双曲线的虚轴，其长度为 2b.,新知生成,双曲线的简单几何性质,续表,新知运用,例1 求双曲线 9 y 2 4 x 2=36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长，并作出草图.,解析 将 9 y 2 4 x 2=36 化为标准方程，得 x 2 9 y 2 4=1，即 x 2 3 2 y 2 2 2=1，所以 a=3，b=2，c=13.故顶点坐标为 3,0，3,0，焦点坐标为 13,0，13,0，实轴长为 2a=6，虚轴长为 2b=4.作出草图，如图所示：,方法总结 由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤,（1）把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.,（2）由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值.,（3）由 c 2=a 2+b 2 求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质.,双曲线 2 x 2 y 2=8 的实轴长是(20).A.2 B.2 2 C.4 D.4 2,C,解析 因为双曲线方程可变形为 x 2 4 y 2 8=1，所以 a 2=4，即 a=2，从而 2a=4.故选C.,探究2 双曲线的离心率,我们知道椭圆的离心率 e=c a，刻画了的椭圆的扁圆程度，那么双曲线的开口大小是由什么刻画的呢？,问题1：双曲线的离心率是什么？与椭圆的离心率范围相同吗？,答案 双曲线的离心率 e=c a，与椭圆的离心率范围不同.,问题2：双曲线的离心率能否刻画双曲线的开口大小？,答案 能，因为 b a=c 2 a 2 a=c 2 a 2 1=e 2 1，所以 e 越大，b a 也越大，即渐近线 y=b a x 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率 e 可以用来表示双曲线开口的大小.,新知生成,双曲线的离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 c a,叫作双曲线的离心率.,e 的性质：（1）e=c a 1；（2）e 可以用来表示双曲线开口的程度，e 越大双曲线的开口就越大.,新知运用,例2,（1）若双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2=1 的一条渐近线经过点 3,4，则此双曲线的离心率为(24).A.7 3 B.5 4 C.4 3 D.5 3,D,解析 由题意知 b a=4 3，则 e 2=1+b 2 a 2=25 9，所以 e=5 3.,（2）已知点 A，B 分别为双曲线 E 的左、右顶点，点 M 在双曲线 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则双曲线 E 的离心率为(26).A.5 B.2 C.3 D.2,D,解析 设双曲线方程为 x 2 a 2 y 2 b 2=1 a0,b0，不妨设点 M 在双曲线的右支上，如图，AB=BM=2a，MBA=120，作 MHx 轴于点 H，则 MBH=60，BH=a，MH=3 a，所以点 M 2a,3 a.将点 M 的坐标代入双曲线方程 x 2 a 2 y 2 b 2=1，得 a=b，所以 e=2.故选D.,方法总结 求双曲线离心率的两种方法,（1）直接法：若已知 a，c，则可直接利用 e=c a 求解，若已知 a，b，则可利用 e=1+b a 2 求解.,（2）方程法：若无法求出 a，b，c 的具体值，但根据条件可确定 a，b，c 之间的关系，则可通过 b 2=c 2 a 2，将关系式转化为关于 a，c 的齐次方程，借助于 e=c a，转化为关于 e 的 n 次方程求解.,双曲线 C:x 2 a 2 y 2 b 2=1 a0,b0 的左顶点为 A，右焦点为 F，动点 B 在 C 上，当 BFAF 时，AF=BF，则 C 的离心率为(28).A.5 B.2 C.3 D.1 2,B,解析 由动点 B 在 C 上,当 BFAF 时，AF=BF，可得点 B 在右支上，令 x=c，可得 c 2 a 2 y 2 b 2=1，解得 y=b c 2 a 2 1=b 2 a，即有 BF=b 2 a，则 a+c=b 2 a，即 a a+c=b 2=c 2 a 2=ca a+c，可得 a=ca，即 c=2a，所以 e=c a=2.,探究3 双曲线的渐近线,小明利用几何画板画双曲线 y 2 2 x 2 6=1 时，发现双曲线向图中虚线无限靠近，无论怎样改变数据，都没有交点.,问题1：上图中，虚线的方程是什么？,答案 由 y 2 2 x 2 6=1，得虚线的方程 y=3 3 x.,问题2：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？,答案 渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同.,问题3：如果两条渐近线的方程为 AxBy=0，那么如何设双曲线方程？,答案 双曲线的方程可设为 A 2 x 2 B 2 y 2=m m0,A0,B0.,新知生成,一般地，直线 y=b a x 和 y=b a x 称为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2=1 a0,b0 的渐近线.特别提醒:与双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2=1 或 y 2 a 2 x 2 b 2=1 a0,b0 共渐近线的双曲线方程可设为 x 2 a 2 y 2 b 2=或 y 2 a 2 x 2 b 2=0.,新知运用,例3,（1）已知双曲线 C:x 2 m y 2 2m+3=1 与双曲线 x 2 y 2=6 有相同的焦点，则 C 的渐近线方程为(33).A.2 xy=0 B.x 2 y=0 C.3 xy=0 D.x 3 y=0,C,解析 由 x 2 y 2=6，得 x 2 6 y 2 6=1，由题意得 m+2m+3=12，解得 m=3，所以 C 的标准方程为 x 2 3 y 2 9=1，所以 C 的渐近线方程为 y=3 x，故选C.,（2）已知焦点在 x 轴上的双曲线，其渐近线方程为 y=1 2 x，焦距为 2 5，则该双曲线的标准方程为_ _.,x 2 4 y 2=1,解析 由题设，可知 b a=1 2，c=5，所以由 a 2+b 2=c 2=5，可得 a 2=4，b 2=1，又焦点在 x 轴上，所以双曲线的标准方程为 x 2 4 y 2=1.,1.已知双曲线 x 2 y 2 b 2=1 b0 的焦距为 2 3，则其渐近线方程为(37).A.y=2 x B.y=2 2 x C.y=3 x D.y=3 2 x,A,解析 由焦距 2c=2 3，a 2=1,得 3=b 2+1，解得 b=2，b a=2，渐近线方程为 y=2 x.,2.若双曲线 C:x 2 m y 2=1 的一条渐近线与直线 y=2x+1 平行，则 m 的值为(39).A.4 B.1 4 C.2 D.1 2,B,解析 因为双曲线 C:x 2 m y 2=1，所以 m0，则双曲线的渐近线方程为 y=1 m x，又双曲线的一条渐近线与直线 y=2x+1 平行，所以 1 m=2，所以 m=1 4.,1.双曲线 x 2 16 y 2=1 的顶点坐标是(41).A.4,0，0,1 B.4,0，4,0 C.0,1，0,1 D.4,0，0,1,B,解析 由题意知，双曲线的焦点在 x 轴上，且 a=4，因此双曲线的顶点坐标是 4,0，4,0.,2.双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2=1 a0,b0 的一条渐近线方程为 y=3 4 x，则双曲线的离心率为(43).A.5 4 B.4 3 C.5 3 D.4 5,A,解析 由渐近线方程，可得 b a=3 4，即 c 2 a 2 a 2=9 16，即 c 2 a 2=25 16，得 c a=5 4，所以该双曲线的离心率为 5 4.,3.双曲线 y 2 x 2 3=1 0 的渐近线方程为_ _.,y=3 3 x,解析 在双曲线 y 2 x 2 3=1 0 中，a=，b=3，因此，该双曲线的渐近线方程为 y=a b x=3 3 x.,4.求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点 3,2，且一条渐近线的倾斜角为 6 的双曲线的方程.,解析 渐近线方程为 y=3 3 x，设双曲线的方程为 x 2 3 y 2=.将点 3,2 代入，求得=3，所以双曲线的方程为 y 2 x 2 3=1.,