2023学年高考数学一轮复习第9章解析几何第5节椭圆课时跟踪检测文新人教A版.doc

第五节　椭　圆 A级·基础过关|固根基| 1.已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　) A．(±，0) B．(0，±) C．(±，0)或(±，0) D．(0，±)或(±，0) 解析：选B　因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1即x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)，故选B. 2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<144)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析：选D　因为曲线＋＝1中c2＝169－144＝25，所以c＝5，又因为曲线＋＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以两曲线的焦距相等． 3．(2023年届郑州市第二次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选D　由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D. 4．已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝2，所以椭圆C的离心率的最大值为＝.故选A. 5．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是(　　) A. B．2 C．2 D. 解析：选A　由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，所以S△PF1F2＝|F1F2|·|PF2|＝×2×1＝.故选A. 6．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为________． 解析：由题意可得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，则a＝c，故椭圆的离心率e＝＝. 答案： 7．(2023年届贵阳模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________． 解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，又a2＝b2＋c2，所以b＝2，a＝4，c＝2， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．(2023年届昆明模拟)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是____________． 解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0)． 答案：(－3，0)或(3，0) 9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程． 解：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)． ∵F1A⊥F2A，∴·＝0， 而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)， ∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0， ∴c2＝25，即c＝5. ∴F1(－5，0)，F2(5，0)． ∴2a＝|AF1|＋|AF2| ＝ ＋ ＝＋＝4. ∴a＝2， ∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若＝2，·＝，求椭圆的方程． 解：(1)若∠F1AB＝90°，则有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝＝. (2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，设B(x，y)． 由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)， 解得x＝，y＝－，即B. 将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1， 即＋＝1，解得a2＝3c2.① 又由·＝(－c，－b)·＝， 得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.② 由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2. 所以椭圆的方程为＋＝1. B级·素养提升|练能力| 11.(2023年届湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选C　由题意知，c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理得|PF′|＝＝8，又|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，所以a＝7，所以b2＝a2－c2＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选C. 12．(2023年届唐山市高三年级摸底)已知直线x－y＋＝0过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于点C，若＝2，则该椭圆的离心率是________． 解析：因为直线x－y＋＝0过椭圆＋＝1的左焦点F，所以F(－，0)，则右焦点F′(，0)，即c＝，直线x－y＋＝0与y轴交于点C(0，1)，由＝2，知C为AF的中点，故A(，2)，因为点A在椭圆上，所以由椭圆的定义得2a＝|AF|＋|AF′|＝6，即a＝3，所以e＝＝. 答案： 13．(2023年届兰州市诊断考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(，1)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为－.若动点P满足＝＋2，求点P的轨迹方程． 解：(1)因为e＝，所以＝.① 又椭圆C经过点(，1)，所以＋＝1，② 联立①②解得a2＝4，b2＝2， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则由＝＋2，得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2， 因为点M，N在椭圆＋＝1上， 所以x＋2y＝4，x＋2y＝4， 故x2＋2y2＝(x＋4x1x2＋4x)＋2(y＋4y1y2＋4y) ＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2) ＝20＋4(x1x2＋2y1y2)． 设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知， kOM·kON＝＝－， 因此x1x2＋2y1y2＝0， 所以x2＋2y2＝20， 故点P的轨迹方程为＋＝1. 14．(2023年年全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点． (1)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率； (2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|F1F2|＝2c，则|PF2|＝c，|PF1|＝c， 于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c， 故C的离心率e＝＝－1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在．当且仅当 |y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1， 即c|y|＝16，　① x2＋y2＝c2，　② ＋＝1.　③ 由②③及a2＝b2＋c2，得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③得x2＝(c2－b2)， 所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32， 故a≥4. 当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)． - 6 -