[32452779]2、微专题：任意角的正弦 余弦 正切 余切-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化 【学生版】 微专题：任意角的正弦 余弦 正切 余切 1、任意角α的正弦、余弦、正切、余切 对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，， 称为角α的正弦，记作sin α；称为角α的余弦，记作cos α， 因此sin α＝，cos α＝; 当角α的终边不在y轴上时， 称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝，称为角α的正切，记作cot α，即cot＝； 角α的正弦、余弦、正切、余切都称为α的三角函数； 还有正割（）、余割（α）； 【注意】（1），其中，，；其中， （2）正弦、余弦、正切、余切在各象限的符号 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”； 2、单位圆与三角函数线 （1）一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆； （2）正弦线、余弦线与正切线 如果角的终边与单位圆的交点为，则的坐标为. 正弦线与余弦线：过角α终边与单位圆的交点作x轴的垂线，垂足为M， 当的方向与x轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝， 当的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－， 称为角α的余弦线，类似地，可以直观的表示sin α，称为角α的正弦线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 【典例】 考点1、三角比数的定义 例1、已知角的终边经过点，求：的值。 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 考点2、三角比的符号 例2、已知，，判断的符号 考点3、单位圆 例3、已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于(　　) A．－ B．± C．－ D．± 【提示】 【答案】 【解析】方法1、方法2、 【说明】 考点4、用三角函数线证明三角不等式 例4、若，证明：（1）；（2）； 考点5、用三角函数线解三角不等式 例5、满足的角的集合为 【归纳】 1、任意角的正弦、余弦、正切与余切 （1）一般地，设角的终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为， 则； （2）在任意角的三角比的定义中，应该明确：是一个任意角，其范围是使比值有意义的实数集（弧度制）； （3）三角比是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在中边上的位置无关，而由角的终边位置决定； （4）要明确是一个整体，不是与的乘积，它是“正弦比”的一个记号，就如表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“”、“”、“”、 “”比值没有意义的； 2、对任意角的正弦、余弦、正切与余切的理解 （1）正弦、余弦、正切与余切的限制条件 三角函数 定义域 R R （2）正弦、余弦、正切与余切的符号规则 根据三角比的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限）可得正弦、余弦、正切、余切在各个象限内的符号的符号规律概括为下面口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负； （3）单位圆与三角函数线 定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)． 设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 三角函数线可以看作是三角比的几何表示： 正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线； 【即时练习】 1、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 2、(2018·北京)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan α<cos α<sin α，则P所在的圆弧是(　　) A. B. C. D. 3、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋等于 4、设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是第 象限角； 5、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A， 点A的纵坐标为，则cos α＝________. 6、已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 7、已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为 8、利用单位圆中的三角函数线确定满足的角的取值范围为 9、若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)． （1）求sin θ＋cos θ的值；（2）试判断cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号． 10、将图（1）中所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设P到底面的高OT为（m），点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为r（m）记以OP为终边的角为，点P离底面的高度为h（m），试用表示 【教师版】 微专题：任意角的正弦 余弦 正切 余切 1、任意角α的正弦、余弦、正切、余切 对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，， 称为角α的正弦，记作sin α；称为角α的余弦，记作cos α， 因此sin α＝，cos α＝; 当角α的终边不在y轴上时， 称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝，称为角α的正切，记作cot α，即cot＝； 角α的正弦、余弦、正切、余切都称为α的三角函数； 还有正割（）、余割（α）； 【注意】（1），其中，，；其中， （2）正弦、余弦、正切、余切在各象限的符号 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”； 2、单位圆与三角函数线 （1）一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆； （2）正弦线、余弦线与正切线 如果角的终边与单位圆的交点为，则的坐标为. 正弦线与余弦线：过角α终边与单位圆的交点作x轴的垂线，垂足为M， 当的方向与x轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝， 当的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－， 称为角α的余弦线，类似地，可以直观的表示sin α，称为角α的正弦线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 【典例】 考点1、三角比数的定义 例1、已知角的终边经过点，求：的值。 【提示】由三角比的定义求得：、； 【答案】或； 【解析】若，，，点在第四象限；； 所以，,，则； 若，，，点在第二象限；. 所以， ，，则； 【说明】本题主要为了利用三角比，得先求；由此，“遇到问题，引出讨论”， 因的符号不确定，所以要对字母进行讨论；分：当，点在第四象限，当，点在第二象限； 属“依据三角比定义求解”的必须步骤； 【注意问题】①对于不同象限的角，求其三角函数值时，要分象限进行讨论；②终边在坐标轴上的角不属于任何象限； 考点2、三角比的符号 例2、已知，，判断的符号 【提示】注意：三角比的符号与终边相同角的表示之间的沟通； 【解析】因为，，，所以，是第二象限角，； 则； 当，，是第一象限角，； 当，，是第三象限角，， 所以，必为正数； 【说明】本题说明三角比的符号与象限角以及象限角的研究过程、方法有密切联系；往往与分类讨论、数形结合进行交汇； 考点3、单位圆 例3、已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于(　　) A．－ B．± C．－ D．± 【提示】注意：三角比只与终边有关以及题设中的“单位圆”； 【答案】C； 【解析】设O为坐标原点，由OP2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±. 方法1、当y＝时，sin α＝，tan α＝－，此时，sin α·tan α＝－； 当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，此时，sin α·tan α＝－； 所以，sin α·tan α＝－； 方法2、由三角函数定义知，cos α＝－，sin α＝y，所以sin αtan α＝sin α＝＝＝＝－； 【说明】本题考查了利用单位圆，挖掘隐含条件“OP2＝＋y2＝1”；同时，说明：对于三角若干种三角比的求值、化简题，有时“先化简后求值”、“用好三角比的定义”，可以更简洁明了； 考点4、用三角函数线证明三角不等式 例4、若，证明：（1）；（2）； 【提示】注意：结合三角函数线的几何意义； 【证明】如图，设角α的终边与单位圆相交于点P， 单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T， 过P作PM⊥OA于M，连接AP，则 （1）在Rt△POM中，sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1， 因为，在Rt△POM中，MP+ OM＞OP，所以，sin α+cos α＞1； （2）在Rt△AOT中，tan α＝AT，又根据弧度制的定义，有＝α·OP＝α. 根据图形，得S△POA<S扇形POA<S△AOT，即OA·MP<·OA<OA·AT， 所以MP<<AT，即0<sin α<α<tan α； 【说明】通过本题说明：对于涉及多种三角比或单位为弧度的角之间关系时；用好三角函数线既可将解决的问题统一与等价转化； 考点5、用三角函数线解三角不等式 例5、满足的角的集合为 【提示】注意：在单位圆中用三角函数线直观表示； 【答案】； 【解析】作直线交单位圆于C，D两点，连接OC，OD， 则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围， 故满足条件的角α的集合为； 【说明】通过本例说明：用好三角函数线可以通过数形结合“直观”解三角方程与三角不等式； 特别注意：利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围； 【归纳】 1、任意角的正弦、余弦、正切与余切 （1）一般地，设角的终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为， 则； （2）在任意角的三角比的定义中，应该明确：是一个任意角，其范围是使比值有意义的实数集（弧度制）； （3）三角比是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在中边上的位置无关，而由角的终边位置决定； （4）要明确是一个整体，不是与的乘积，它是“正弦比”的一个记号，就如表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“”、“”、“”、 “”比值没有意义的； 2、对任意角的正弦、余弦、正切与余切的理解 （1）正弦、余弦、正切与余切的限制条件 三角函数 定义域 R R （2）正弦、余弦、正切与余切的符号规则 根据三角比的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限）可得正弦、余弦、正切、余切在各个象限内的符号的符号规律概括为下面口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负； （3）单位圆与三角函数线 定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)． 设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 三角函数线可以看作是三角比的几何表示： 正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线； 【即时练习】 1、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 【答案】C； 【解析】由题意得点P(－8m，－3)，r＝，所以cos α＝＝－，所以m＝. 2、(2018·北京)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan α<cos α<sin α，则P所在的圆弧是(　　) A. B. C. D. 【答案】C； 【解析】方法1、由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在上，tan α>sin α，不满足； 在上，tan α>sin α，不满足；在上，sin α>0，cos α<0，tan α<0，且cos α>tan α，满足； 在上，tan α>0，sin α<0，cos α<0，不满足，故选C； 方法2、设点P的坐标为(x，y)，因为，tan α<cos α<sin α，利用三角函数的定义可得<x<y， 所以－1<x<0，0<y<1，所以P所在的圆弧是，故选C. 3、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋等于 【答案】； 【解析】因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sin α＝－，cos α＝，所以sin α＋＝－＋＝；. 4、设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是第 象限角； 【答案】二； 【解析】由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，因为＝－cos ，所以cos <0， 综上可知，为第二象限角． 5、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A， 点A的纵坐标为，则cos α＝________. 【答案】－； 【解析】因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－， 由三角函数的定义可得cos α＝－； 6、已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 【答案】(－2， 3] 【解析】因为cos α≤0，sin α>0　，所以，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上． 所以，∴； 7、已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为 【答案】(－2cos θ，－2sin θ) 【解析】由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cos θ，2sin θ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cos θ，－2sin θ)． 8、利用单位圆中的三角函数线确定满足的角的取值范围为 【答案】 或 9、若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)． （1）求sin θ＋cos θ的值；（2）试判断cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号． 【解析】因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|， 当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－； 当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝； 综上，sin θ＋cos θ＝±. （2）当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0； 当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin >0. 综上，当a>0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a<0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正； 【说明】1、已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解． 2、已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值． 10、将图（1）中所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设P到底面的高OT为（m），点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为r（m）记以OP为终边的角为，点P离底面的高度为h（m），试用表示 【解析】过点P作x轴的垂线，垂足为M，则： 当的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，，此时 ； 当的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上时，因为，所以，此时 ； 所以不管的终边在何处，都有. 第14页