2023学年高考数学一轮复习第9章解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程课时跟踪检测文新人教A版.doc

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 A级·基础过关|固根基| 1.若直线过点(1，1)，(2，1＋)，则此直线的倾斜角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选C　设此直线的倾斜角为α，则k＝tan α＝＝.又α∈[0，π)，所以α＝60°.故选C. 2．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　) A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) 解析：选D　因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．故选D. 3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 解析：选B　∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是.故选B. 4．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤ C.≤k≤4 D．－≤k≤4 解析：选A　如图所示， ∵kPN＝＝， kPM＝＝－4， ∴要使直线l与线段MN相交． 当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN； 当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM， ∴k≥或k≤－4.故选A. 5．两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是(　　) 解析：选B　直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．故选B. 6．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________． 解析：∵BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0. 答案：x＋13y＋5＝0 7．若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y的值为 ________. 解析：因为直线4x－3y＋2 019＝0的斜率为， 所以由倾斜角的定义可知直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角α满足tan α＝.因为α∈[0，π)，所以∈，所以＝，解得tan ＝，由已知及倾斜角与斜率的关系得＝，所以y＝－. 答案：－ 8．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________． 解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－， 则－3<1－<3，解得k>或k<－1. 答案：(－∞，－1)∪ 9．已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b，则直线l的方程为________． 解析：①若a＝3b＝0，则直线过原点(0，0)， 此时直线斜率k＝－，则直线方程为x＋2y＝0. ②若a＝3b≠0，设直线方程为＋＝1，即＋＝1. 由于点P(2，－1)在直线上，所以－＝1，所以b＝－. 从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0. 答案：x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0 10．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边的垂直平分线DE的方程． 解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，所以BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0. (2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2. 因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)， 所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0. 11．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为. 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－. 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6， 所以b＝±1. 所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. B级·素养提升|练能力| 12.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． 解析：由直线x＋my＝0求得定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，所以得定点B(1，3)．当m＝0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为m＝－1，所以两条动直线也垂直．因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5. 答案：5 13.如图，直线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程为______________． 解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－， 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 则可设A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中点C， 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，)． 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0. 答案：(3＋)x－2y－3－＝0 14．已知直线l：＋＝1. (1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值； (2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程． 解：(1)根据直线l的方程：＋＝1可得直线l过点(m，0)，(0，4－m)，所以k＝＝2，解得m＝－4. (2)由(1)知，直线l过点(m，0)，(0，4－m)，由m>0，4－m>0得0<m<4，则S△AOB＝＝，当m＝2时，S△AOB有最大值2，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 15．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？ 解：如图所示，建立平面直角坐标系xOy，则E(30，0)，F(0，20)，所以直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)． 易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值， 在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S， 则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)． 又＋＝1(0≤m≤30)， 所以n＝20－m. 所以S＝(100－m) ＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)． 所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1. 所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大． - 6 -