综合测试题同步习题2020-2021学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册.doc

综合测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，a2＋a5＝4，S7＝21，则a7的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知等比数列{an}满足a1＝2，且a1，a2,6成等差数列，则a4＝(　　) A．6 B．8 C．16 D．32 3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 (　　) A.f B.f C.f D.f 4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　) A．－e B．－1 C．1 D．e 5．已知数列{an}, 则“{an}为等差数列”是“a1＋a3＝2a2”的(　　) A．充要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则(　　) A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点 B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点 C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点 7．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A.e2 B．2e2 C．e2 D. 8．已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是(　　) A．(2,4) B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(4，＋∞) 9．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　) A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤ 10．在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于(　　) A．66 B．132 C．－66 D．－132 11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋＋＋…＋增加的项数是(　　) A．1 B．2k＋1 C．2k－1 D．2k 12．在数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn.若点在直线y＝2x－1上，则a9等于(　　) A．1 290 B．1 280 C．1 281 D．1 821 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝______；数列{an}的前n项和的最小值为______． 14．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________. 15．已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 16．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________ . 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性； (2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围． 19．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N＋. (1)证明：数列是等差数列； (2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn. 20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－kln x，k>0. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex. (1)若曲线y＝ f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a； (2)若f(x )在x＝2处取得极小值，求a的取值范围． 22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝. (1)求a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 1．解析：本题要抓住等差数列基本量a1和d，由已知列方程组，即，，a7＝a1＋6d＝－3＋6×2＝9. 答案：D 2．解析：抓住等比数列基本量a1和q，由已知2,2q,6成等差，4q＝8，q＝2，a4＝2×23＝16. 答案：C 3．解析：本题主要考查等比数列． 由题知，＝(n≥2)， 故{an}是首项为f，公比为的等比数列， 所以a8＝a1·q7＝f()7＝f. 故本题正确答案为D. 答案：D 4．解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1. 答案：B 5．解析：充分性易证，反之当数列{an}为1,1,1,2时，显然不是等差数列． 答案：C 6．解析：根据极值的定义及判断方法，检查f′(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点． 答案：A 7．解析：∵f′(x)＝ex，∴曲线在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0)，B(0，－e2)，则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为×1×e2＝. 答案：D 8．解析：由已知a1＋a10＝4得2a1＋9d＝4，a1＝2－d，a8＝a1＋7d＝2＋d，由单调递增得d>0，a8＝2＋d>2. 答案：C 9．解析：由题意可知f′(x)＝3ax2－1≤0在R上恒成立，则a≤0. 答案：A 10．解析：因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24， 又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12， S11＝＝＝－132，故选D. 答案：D 11．解析：∵f(k)＝1＋＋＋…＋， 又f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋. 从f(k)到f(k＋1)是增加了(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项． 答案：D 12．解析：由已知可得－1＝2， 又－1＝a1－1＝1， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以－1＝2n－1，得Sn＝n(1＋2n－1)， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2n－2＋1， 故 a9＝10×128＋1＝1 281. 答案：C 13．解析：由已知a1，a1＋4，a1＋6成等比，(a1＋4)2＝a1×(a1＋6)，解得a1＝－8，an＝2n－10，所以a2＝－6.由an≤0, n≤5，当n＝4或n＝5时(Sn)min＝－20. 答案：－6　－20 14．解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn， ∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn， 又由a1＝－1，知Sn≠0， ∴－＝1， ∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1， ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n， ∴Sn＝－. 答案：－ 15．解析：因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以公差d＝2， 所以an＝a3＋2(n－3)＝2n＋1. 所以bn＝＝＝＝.所以S100＝b1＋b2＋…＋b100 ＝＝. 答案： 16．解析：∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n， ∴由已知可得 ∴或 当时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立与x＝－1是极值点矛盾， 当时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)， 显然x＝－1是极值点，符合题意，∴m＋n＝11. 答案：11 17．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)， 即(2d－2)2＝d(3d－4)，解得d＝2，所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12. (2)由(1)知an＝2n－12， 所以Sn＝×n＝n2－11n＝2－； 当n＝5或者n＝6时，Sn取到最小值－30. 18．解析：(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1， f′(x)＝3x2－6x＋3. 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1. 当x∈(－∞， －1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数； 当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1, ＋1)上是减函数； 当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f(2)≥0，得a≥－. 当a≥－，x∈(2，＋∞)时， f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3 ＝3(x－2)＞0， 所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0. 综上，a的取值范围是. 19．解析：(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1. 所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2. 从而bn＝n·3n. Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，① 3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.② ①－②得，－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1 ＝－n·3n＋1＝， 所以Sn＝. 20．解析：(1)由f(x)＝－kln x，(k>0)得 f′(x)＝x－＝.(x＞0) 由f′(x)＝0解得x＝. f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下： 所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)； f(x)在x＝处取得极小值f()＝. (2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝. 因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0， 所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点． 当k>e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0， 所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 21．解析：(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex， 所以f ′(x)＝[2ax－(4a＋1)]ex＋[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex ＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex. f ′(1)＝(1－a)e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1. 此时f (1)＝3e≠0. 所以a的值为1. (2)由(1)得f ′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex. 若a>，则当x∈时，f ′(x)<0； 当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0. 所以f (x)在x＝2处取得极小值． 若a≤，则当x∈(0,2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0， 所以f ′(x)>0. 所以2不是f (x)的极小值点． 综上可知，a的取值范围是. 22．解析：(1)由S1＝a1＝，得a＝1， 因为an>0，所以a1＝1. 由S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，所以a2＝－1，由S3＝a1＋a2＋a3＝， 得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－. (2)猜想an＝－(n∈N＋)． 证明：①当n＝1时，a1＝－0＝1，命题成立； ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，ak＝－成立， 则n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝－， 即ak＋1 ＝－ ＝－， 所以a＋2 ak＋1－1＝0. 所以ak＋1＝－， 则n＝k＋1时，命题成立． 由①②知，n∈N＋，an＝－.