1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！专题53两招玩转多面体的外接球【方法点拨】解决多面体的外接球问题的关键是“定心”，常用方法有两种：（1）“补体法”：对于符合特殊条件的四面体补形为长方体解决，常见的有下列两种类型.类型一：墙角模型（三条线两个垂直，补形为长方体，其体对角线的中点即球心）cab图1CPABabcCBPA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2=a2+b2+c2，即2R=√a2+b2+c2，求出R.类型二：对棱相等模型（补形为长方体）如下图，三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；abcPCBAabc图4PCO2BAyxabczzyxDCAB2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组，{a2+b2=x2¿{b2+c2=y2¿¿¿¿⇒(2R)2=a2+b2+c2=x2+y2+z22，补充：VA−BCD=abc−16abc×4=13abc第三步：根据墙角模型，2R=√a2+b2+c2=√x2+y2+z22，R2=x2+y2+z28，R=√x2+y2+z28，求出R.（2）“窜心法”：多面体的外接球心问题，可转化为其某两个侧面三角形外接圆的垂线来解决，即球心就是分别过两个侧面三角形外接圆的圆心且垂直于该平面的直线的交点（即将三角形外接圆的圆心，垂直上蹿下跳）.第一步：先画出如图所示的图形，将ΔBCD画在小圆上，找出ΔBCD和ΔA'BD的外心H1和H2；第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面A'BD的垂线，两垂线的交点即为球心O，H1EACOBDA'H23原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！连接OE,OC；第三步：解ΔOEH1，算出OH1，在RtΔOCH1中，勾股定理：OH12+CH12=OC2.说明：解法二是通法，具体解题过程中，常常涉及复杂的线面位置关系的论证、多次解三角形等，有一定的难度.4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【典型题示例】例1（2021·江苏南师附中期末·12）在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为120°，这时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为____________.【答案】【解析】设和的外心和，过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心（两垂线共面的证明，此处从略），连接即为所求球的半径易知二面角的平面角为（证明从略），故，因为是的外心，所以，，在，，，所以，在，∴四面体的外接球的表面积为.例2在三棱锥A−BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三棱锥A−BCD外接球的表面积为。CBDAEO2O1O5原创精品...
