专题26 有关三角形中的范围问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）.docx

专题26 有关三角形中的范围问题 【方法点拨】 1.正弦平方差公式sin2a－sin2b＝sin(a－b) sin(a＋b). 2.化边、化角、作高三个方向如何选择是难点，但一般来说，涉及两内角正切间的等量关系时作高更简单些. 【典型题示例】 例1 在锐角中，，则的取值范围为______________. 【答案】 【解析】∵，利用正弦定理可得：， 由正弦平方差公式得， 即， 易知，故 又为锐角三角形，∴，即， ∴，∴， ∵ 又，∴，令，则， 由对勾函数性质知，在上单调递增， 又，， ∴. 例2 若的内角满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】将已知和所求都“化边”，然后使用基本不等式即可.所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可 【解析】　∵sin A＋sin B＝2sin C. 由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝， cos C＝＝＝≥＝， 当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立. ∴cos C的最小值为. 例3 在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为　　　　． 【答案】 【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得：， 如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h， 因为，所以，，化简，得： ，解得：x＝3y ，，， ＝＝ ＝＝. 【解析二】（边化角） 由正弦定理，得：，即， 由余弦定理得：，即， 由正弦定理，得：，即，化简得， 以主元，化简得. 例4 在中，角所对的边分别为，若，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【解析一】（余弦定理+二次函数） 看到式子的结构特征，联想余弦定理得： 所以 当时，，的面积的最大值为． 【解析二】（三角形中线长定理+基本不等式） 设BC边上的中线为AM，则 ∵ ∴ 代人得：，即 根据基本不等式得： 又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高 所以 所以，，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此时的面积的最大值为． 【解法三】（隐圆） 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设A，B，C(x，y)，则由a2＋b2＋2c2＝8，得2＋y2＋2＋y2＋2c2＝8，即x2＋y2＝4－c2，所以点C在以原点(0,0)为圆心，为半径的圆上，所以S≤＝≤. 【巩固训练】 1. （多选题）在中，角的对边分别为，若，则角可为（ ） A． B． C． D． 2.在△ABC中，若，则cosB的最小值是 . 3. 已知中， ，则的最大值是 ( ) A． B． C． D． 4.若的内角满足，则角的最大值是 . 5.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，当A，B则变化时，存在最大值，则正数的取值范围为______________. A. B. C. D. 7. 在ΔABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a，b，c成等差数列，则 3sinA+2sinC的最小值为________． 【答案与提示】 1. 【答案】BC 【解析】∵，利用正弦定理可得：， 由正弦平方差公式得， 即， 易知，故 ∴，即 ∵， ∴，∴，故选：BC. 2.【答案】 【提示】已知可化为 ，弦化切得 ∴ ∴，，∴. 3. 【答案】A 【提示】化边、化角、作高三个方向均可解决. 4.【答案】 【解析】由可得：， ∵在递减，∴ 5. 【答案】C 【解析】由得：，即 即， 而，所以 又为锐角三角形，∴，即， ∴，∴ 6. 【答案】A 【解析】由，得： 根据正弦定理得：，即 又为锐角三角形，∴，即， ∴，∴ ， （） ∵ ∴欲使存在最大值，必有 ∴，故，即. 7.【答案】23+1 【解析】由题得2b=2a+c，∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-(22a+c2)22ac， 所以cosB=12a2+34c2-22ac2ac≥212a2⋅34c2-22ac2ac=6-24，所以0<B≤750，∴0<sinB≤6+24， 因为2sinB=2sinA+sinC，∴2sinA+sinC≤6+22，∴2sinA+sinC6+22≤1． 所以3sinA+2sinC ≥(3sinA+2sinC)⋅2sinA+sinC6+22=42+2sinAsinC+3sinCsinA6+22≥42+22sinAsinC⋅3sinCsinA6+22=42+266+22=2(3+1)．故答案为：23+1． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！