四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：2函数的基本性质（含解析）.docx

A2.函数的基本性质 一、基础知识 1.设是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作 2.单调性：设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有那么就说函数在区间上是增函数,区间称为的单增区间.减函数类似定义. 3.最值：设函数的定义域为如果存在实数满足①②则称是函数的最大值.类似定义最小值. 4.奇偶性：如果对于函数的定义域内的任意一个数都有那么函数为偶函数, 如果对于函数的定义域内的任意一个数都有那么函数为奇函数. 5.周期性：如果对于函数的定义域内的任意一个数存在非零常数使得那么函数叫做周期函数.非零常数称为函数的周期. 二、典型例题与基本方法 1.已知函数且则实数的值为 2.已知函数的定义域为值域为则满足条件的整数对共有 个. 3.设是定义在上的以5为周期的奇函数,若则实数的取值范围是 4.已知定义在上的函数,对任意的实数,均有且 5.函数的值域为 6.已知函数则 7.已知函数是定义在上的单调递增函数,且满足对任意的实数都有 则 8.已知关于的方程恰好有两个不同的实数根,则实数的取值范围为 9.已知函数是定义在上的偶函数,且,当时,若在区间上方 程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是 10.已知函数由下表给出 其中等于中出现的次数,则 11.定义在上的函数,对任意的有且 (1)判断函数的奇偶性. (2)若存在非零常数使得试问函数是否是周期函数？ 12.设函数其中求实数的取值范围,使得函数在区间上是单调函数. 13.已知是定义在上的严格递增函数,且当时, 求的值. B2.练习 姓名： 1.已知函数是定义在上的偶函数,是定义在上的奇函数,且 则 2.已知定义在上的奇函数满足且当时,则 3.函数是上的奇函数,是上周期为4的周期函数,已知且 则 4.设函数满足且对任意都有 则 5.奇函数在定义域内是单调递增的,已知则实数的取值范围是 6.设是连续的偶函数,且当时,是单调递减的,则满足的所有的和为 7.设是上的不减函数,且满足①②③求的值. 8.设是定义在区间上的函数,满足且对任意的都有 其中常数满足求实数的值. A2.函数的基本性质 一、基础知识 1.设是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作 2.单调性：设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有那么就说函数在区间上是增函数,区间称为的单增区间.减函数类似定义. 3.最值：设函数的定义域为如果存在实数满足①②则称是函数的最大值.类似定义最小值. 4.奇偶性：如果对于函数的定义域内的任意一个数都有那么函数为偶函数, 如果对于函数的定义域内的任意一个数都有那么函数为奇函数. 5.周期性：如果对于函数的定义域内的任意一个数存在非零常数使得那么函数叫做周期函数.非零常数称为函数的周期. 二、典型例题与基本方法 1.已知函数且则实数的值为 解：令则于是所以所以 2.已知函数的定义域为值域为则满足条件的整数对共有 个. 解：是上的偶函数,是上的减函数,且 所以定义域可能是,所以满足条件的整数对共有7个. 3.设是定义在上的以5为周期的奇函数,若则实数的取值范围是 解：所以所以或 所以实数的取值范围是 4.已知定义在上的函数,对任意的实数,均有且 解：即 于是即所以 即所以 5.函数的值域为 解：定义域为或 当时,在上单调递增,所以 当时, 在单调递增, 所以函数的值域为 6.已知函数则 解：则 因为 所以即也就是 令则即 所以 7.已知函数是定义在上的单调递增函数,且满足对任意的实数都有 则 解：令则因为是定义在上的单调递增函数,所以有唯一解.即所以于是令则因为所以因为是定义在上的单调递增函数,所以于是 注意到是奇函数,于是,所以 8.已知关于的方程恰好有两个不同的实数根,则实数的取值范围为 解：方法1 显然根不为0,于是令,则是定义域上的偶函数, 如图,数形结合知道实数的取值范围为或 方法2 令显然是上的偶函数, 所以的恰好有两个不同的实数根也就是有且只有1个正实数根. 当 若则在单调递增,所以有且只有1个正实数根. 若,有且只有1个正实数根. 若,在上单调递减,在上单调递增.且.所以 所以 所以实数的取值范围为或 9.已知函数是定义在上的偶函数,且,当时,若在区间上方 程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是 解：令则于是所以是周期为2的周期函数. 因为是偶函数,所以当时, 方程可化为所以与的图象 在区间上恰有四个不同的交点. 所以实数的取值范围是 10.已知函数由下表给出 其中等于中出现的次数,则 解：因为总共5个,从次数的角度看可得 因为表示中所有出现的的和,所以从数值和的角度看 于是其中 若存在某个不妨设即出现5次,于是于是矛盾. 所以因为所以或1. 若,则中出现1次,又所以在中恰好有1个的值为4. 因为,所以 于是若则矛盾. 若则出现4次,又,即出现1次,所以矛盾. 于是所以 还表明4出现的次数为0,0至少出现1次,即显然或1. 若则且出现1次. 于是只能是所以解得即矛盾. 所以则 因为所以于是若不然矛盾. 所以此时 11.定义在上的函数,对任意的有且 (1)判断函数的奇偶性. (2)若存在非零常数使得试问函数是否是周期函数？ 解：(1)令 令则所以 又的定义域为所以是偶函数. (2)令则即 又所以即 所以函数是否是周期函数,且是它的一个周期. 12.设函数其中求实数的取值范围,使得函数在区间上是单调函数. 解：若函数在区间上是单调函数.设则恒为正数或恒为负数. . 因为所以 所以若,则于是此时在区间上是单调递减. 若,显然当的解为于是, 所以在区间上不单调.所以实数的取值范围为 13.已知是定义在上的严格递增函数,且当时, 求的值. 解：若则矛盾,若则不矛盾. 若则于是矛盾.所以 因为注意到 又是定义在上的严格递增函数,所以 B2.练习 1.已知函数是定义在上的偶函数,是定义在上的奇函数,且 则 解： 所以 2.已知定义在上的奇函数满足且当时,则 解：的周期为又是奇函数,所以 3.函数是上的奇函数,是上周期为4的周期函数,已知且 则 解：因为是上的奇函数,所以因为是上周期为4的周期函数,所以 4.设函数满足且对任意都有 则 解： 于是即 令则所以 5.奇函数在定义域内是单调递增的,已知则实数的取值范围是 解：解得所以实数的取值范围是 6.设是连续的偶函数,且当时,是单调递减的,则满足的所有的和为 解：所以于是 即也就是因为均存在两个实数根,所以则满足的所有的和为 7.设是上的不减函数,且满足①②③求的值. 解：解 因为是上的不减函数,所以 因为所以 注意到所以 于是 8.设是定义在区间上的函数,满足且对任意的都有 其中常数满足求实数的值. 解：令则 令则 令则 令则 于是因为所以解得于是