函数方程是“近亲”以形助数传“佳话” 讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解.docx

第25题 函数方程是“近亲”，以形助数传“佳话” 已知是定义在区间上以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时． （1）求在上的解析表达式； （2）对自然数k，求集合． 本例第（1）小题根据周期函数的概念及已知条件，易于得出上的函数解析式；之后与联立，得方程，即，此方程在上有两个不相等的实根即为第（2）小题，若用纯代数方法，原问题等价于 解此不等式组求得a的取值范围，运算量太大，根据数形结合思想法．从不同视角．构造各异，以形助数可有3种解法．其中思路一是，把问题转化为求，，与有两个交点时的a，即直线斜率a的取值范围，以图“说话”，数式图形相映成辉 （1）∵2是的周期，当时，2k也是的周期， 又∵当时，，∴， 即对，当时，． （2）（转化为求直线斜率a的取值范围） 方程，即有两个不等实根，，． 令，，，，如图24—1所示，在同一坐标系中分别作出、的图像，的图像是过原点，斜率为a的直线，方程有两个不等实根的充要条件是两图像有两个不同交点，由图25-1可知，当时两图像有两个不同交点． 从而，原方程有两个不等实根时，． （2019·江苏·高考真题） 1．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 . 本例第（1）小题根据周期函数的概念及已知条件，易于得出上的函数解析式；之后与联立，得方程，即，此方程在上有两个不相等的实根即为第（2）小题，若用纯代数方法，原问题等价于 解此不等式组求得a的取值范围，运算量太大，根据数形结合思想法．从不同视角．构造各异，以形助数可有3种解法．其中思路二是，利用，实现变量分离，将方程转化为一个新函数模型，借助函数图像求解． （1）∵2是的周期，当时，2k也是的周期， 又∵当时，，∴， 即对，当时，． （2）（分离变量，将方程转化为函数模型．寻求问题的几何意义） ，令，，，作这两个函数的图像如图25-2所示，图像有两个不同交点的充要条件是，即．∴． （2018·天津·高考真题） 2．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 . 本例第（1）小题根据周期函数的概念及已知条件，易于得出上的函数解析式；之后与联立，得方程，即，此方程在上有两个不相等的实根即为第（2）小题，若用纯代数方法，原问题等价于 解此不等式组求得a的取值范围，运算量太大，根据数形结合思想法．从不同视角．构造各异，以形助数可有3种解法．其中思路三是，设，讨论根的分布，以形助数，列式容易，解之不难. （1）∵2是的周期，当时，2k也是的周期， 又∵当时，，∴， 即对，当时，． （2）（用根的分布理论求解） 令，则问题转化为的图像在区间上与x轴有两个不同的交点（如图25-3所示）．其充要条件是 解得，∴． （2023·全国·高三专题练习） 3．已知函数,若关于x的函数有6个不同的零点,则实数b的取值范围是 【点评】 本例在求出上的函数解析式之后与联立，得方程，即，此方程在上有两个不相等的实根，若用纯代数方法，则原问题等价于 解此不等式组求得a的取值范围，但是运算量实在太大，且易于出错.本例第（2）小题从数形结合思想出发，按不同视角，构造各异，以形助数，简化了解题过程. 4．已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是 A． B． C． D． （2022上·河南·高三统考） 5．已知函数若方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________． （2021·北京·高考真题） 7．已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． （2024·天津·二模） 8．设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 9．已知函数，，用表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数． 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．. 【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可. 【详解】当时，即 又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.    当时，函数与的图象有个交点； 当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得. 综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围. 2． 【详解】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当时，方程即， 整理可得：， 很明显不是方程的实数解，则， 当时，方程即， 整理可得：， 很明显不是方程的实数解，则， 令， 其中， 原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象， 同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件， 结合观察可得，实数的取值范围是.    点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 3． 【分析】根据解析式画出函数图象,对进行换元,根据图象可知需要有两个零点,且,需各对应三个根,根据根的分布列出不等式,解出即可. 【详解】解:由题意画图像如下: 因为关于x的函数有6个不同的零点, 令, 则, 则关于t的二次函数需要有两个零点, 根据上图可知,,需各对应三个根, 即,均需在范围内, 因为二次函数开口向上, 所以有, 即, 解得. 故答案为: 4．C 【详解】分析：由两个函数均有两个零点可得对应方程的判别式大于，且的对称轴在的对称轴左边，初步得到的范围，再列不等式求解即可. 详解：二次函数均有两个零点， 所以，解得， 因为， 所以对称轴位于对称轴左边， 即，解得， 由求根公式可得，， 由，得 ， 化为，① ，②    解①得，且， 两边平方得，， 由②得， 平方得，显然成立，综上，，故选C. 点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数零点函数与轴的交点横坐标方程的根函数与交点横坐标. 5．A 【分析】首先画出函数的图象，再通过换元，得，结合函数的图象，利用根的个数，确定方程根的分布，即可求解的取值范围. 【详解】函数的大致图象如图所示， 令，则可化为，因为方程有5个不同的实数解，所以在上各有一个实数解或的一个解为，另一个解在内或的一个解为，另一个解在内. 当在上各有一个实数解时， 设，则解得； 当的一个解为时，，此时方程的另一个解为，不在内，不满足题意； 当的一个解为时，，此时方程有两个相等的根，不满足题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：A 6．． 【详解】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为 与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或． （方法二）显然，∴．令，则 ∵，∴．结合图象可得或． 考点：方程的根与函数的零点． 7．①②④ 【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 8．或 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况的的函数图象，函数恰有4个零点，说明的图象与的图象有四个交点，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围. 【详解】因为函数恰有4个零点， 所以的图象与的图象有四个交点， 当时，如图所示， 的图象与的图象仅有两个交点，与题意不符； 当时，如图所示， 在上，当与相切时， 联立，得， 则，得（舍去）， 由图可知，当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符， 所以当时，与在无交点，在有两个交点，与题意不符， 当时，与在无交点，在有三个交点，与题意不符， 当时，与在无交点，在有四个交点，符合题意； 当时，如图所示， 在上，当与相切时， 联立，得， 则，得（舍去）， 由图可知，当 时，与在有两个交点，在有四个交点，与题意不符， 当时，与在有两个交点，在有三个交点，与题意不符， 当时，与在有两个交点，在有两个交点，符合题意， 当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符. 综上所述， 或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的应用，关键在于数形结合与分类讨论的思想，需要通过讨论取值范围的不同，结合范围的限制，判断交点个数，然后推出的范围即可. 9．答案见解析 【分析】解法一利用分类讨论得到确定的零点，再利用分离参数法讨论其它零点，解法二直接确定固定零点，再利用分类讨论法求解零点即可. 【详解】解法一，显然的定义域为． 当时，． 从而，故在上没有零点． 当时，，． ∴时，，从而，故是的零点； 时，，从而，故不是的零点． 当时，． 故只要考虑在上的零点个数． 由分离参数得：， 当且仅当时等号成立． 令，计算得，，当时，，当时，单调递增，当时，单调递减．结合图象可知： 当时，在上没有零点， 当或时，在上有一个零点， 当时，在上有两个零点， 综上可知，当或时，有1个零点，当或时， 有2个零点，当时，有3个零点．    解法二，当时，，则函数， 故在时无零点， 当时，若，则，则，故是函数的一个零点； 若，则，则， 故不是函数的零点， 当时，，因此只考虑在内的零点个数即可． 当或时，在内无零点， 因此在区间内单调，而，， 故当时，函数在区间内有一个零点，当时，函数在区间内没有零点． 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得最小值， 若，即，则在内无零点； 若，即，则在内有唯一零点； 若，即，由于，， 故当时，在内有两个零点，当时，在内有一个零点． 综上可得，当或时，有1个零点，当或时，有2个零点；当时，有3个零点． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数判断零点，解题关键是先确定固定零点，然后利用分离参数法求解剩余零点，得到零点情况即可． 答案第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司