第五章三角函数综合练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

三角函数 综合练习 （共22题，150分） 一、单项选择题（每道题5分，共40分） 1.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-3,1),则sin(π-α)=(　　). A.-12 B.12 C.-32 D.32 2.已知扇形的半径为2 cm,扇形圆心角θ的弧度数是2,则扇形的弧长为(　　). A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 3.cos 295°sin 70°-sin 115°cos 110°的值为(　　). A.22 B.-22 C.32 D.-32 4.已知a=sin π5,b=sin π7,c=sin 5π6,则a,b,c的大小关系是(　　). A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 5.已知sinα+π3=1213,则cosπ6-α=(　　). A.512 B.1213 C.-513 D.-1213 6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(　　). A.f(x)=2sin12x+π4 B.f(x)=2sin12x+3π4 C.f(x)=2sin12x-π4 D.f(x)=2sin12x-3π4 7.设α,β均为锐角,且cos(α+β)+cos(α-β)=sinαsinβ,则tanα2+sin2β的最大值是(　　). A.16 B.66 C.6 D.63 8.已知ω>0,函数f(x)=cosωx+π4在π2,π上单调递增,则ω的取值范围是(　　). A.12,54 B.12,74 C.34,94 D.32,74 二、多项选择题（每道题5分，共20分） 9.已知α∈(0,π),且sin α+cos α=15,则(　　). A.sin αcos α=1225 B.sin αcos α=-1225 C.cos α-sin α=75 D.cos α-sin α=-75 10.已知函数f(x)=sin2ωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象(　　). A.关于直线x=13π12对称 B.关于点-π12,0对称 C.关于直线x=-17π12对称 D.关于点5π6,0对称 11.已知函数f(x)=(asin x+cos x)cos x-12图象的一条对称轴为直线x=π6,则下列结论中正确的是(　　). A.f(x)是最小正周期为π的奇函数 B.-7π12,0是f(x)图象的一个对称中心 C.f(x)在-π3,π3上单调递增 D.先将函数y=2sin 2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图象再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f(x)的图象 12.如图,摩天轮的半径为40米,点O距地面的高度为50米,摩天轮按逆时针方向做匀速转动,每30分钟转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最低点处,下列有关结论正确的是(　　). A.经过15分钟,点P首次到达最高点 B.从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高 C.若摩天轮转速减半,则其旋转一圈所需要的时间变为原来的12 D.在摩天轮转动的一圈内,有10分钟的时间点P距离地面超过70 m 三、填空题（每道题5分，共20分） 13.已知sin α=-35,3π<α<7π2,则cosα2=　　　　.  14.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=　　　　.  15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(0)=　　　　.  16.函数y=sinπ6-2x+cos 2x的单调递增区间为　　　　,最大值为　　　　.  四、解答题（17题10分，18-22题12分，共70分） 17.给出三个条件:①α,β都是锐角,且sin α=55,cos β=31010;②α,β都是钝角,且tan α=-14,cos β=-53434;③α是锐角,β是钝角,且tan 2α=512,tan β=-32.从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答. 已知　　　　　　　　　　　　,求α+β的值.                18.设函数f(x)=3sinωx+π6,ω>0,x∈R的最小正周期为π2. (1)求f(x)的解析式; (2)画出f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (3)已知fα4+π12=95,求sin α的值.                     19.已知函数f(x)=sin ωx+3cos ωx(ω>0)图象的相邻两个零点差的绝对值为π4. (1)若f(x)=Asin(ωx+φ),求A,ω; (2)将f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍,再将所得图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间.                 20.已知函数f(x)=sin 2xcos φ+cos 2xsin φ(x∈R,0<φ<π),fπ4=32. (1)求f(x)的解析式; (2)若fα2-π3=513,α∈π2,π,求sinα+π4的值.                     21.据市场调查,某种商品一年内每月的价格满足函数关系式:f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2,x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高,为9万元,7月份该商品的价格首次达到最低,为5万元. (1)求f(x)的解析式; (2)求此商品的价格超过8万元的月份.                   22.函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)若∀x∈-π4,π4,[f(x)]2-mf(x)-1≤0,求实数m的取值范围. 参考答案 1.B　【解析】∵角α的终边过点P(-3,1), ∴r=|OP|=(-3)2+12=2, ∴sin α=yr=12,故sin(π-α)=sin α=12. 2.B　【解析】∵扇形的半径为2 cm,扇形圆心角θ的弧度数是2,∴扇形的弧长=2×2=4 cm.故选B. 3.A　【解析】原式=-cos 115°cos 20°+sin 115°sin 20°=cos 65°·cos 20°+sin 65°sin 20°=cos(65°-20°)=cos 45°=22. 4.C　【解析】∵c=sin5π6=sinπ6,0<π7<π6<π5<π2,且y=sin x在0,π2上单调递增, ∴sinπ7<sinπ6<sinπ5,即b<c<a. 5.B　【解析】因为sinα+π3=1213,所以cosπ6-α=sinπ2-π6-α=sinα+π3=1213,故选B. 6.B　【解析】由图象知A=2,T=23π2+π2=4π, ∴ω=2π4π=12.∵函数在x=-π2处取到最大值, ∴12×-π2+φ=π2+2kπ,k∈Z,∴φ=3π4+2kπ,k∈Z.又-π<φ<π,∴φ=3π4,∴f(x)=2sin12x+3π4. 7.B　【解析】由cos(α+β)+cos(α-β)=sinαsinβ,得2cos αcos β=sinαsinβ,即tan α=2sin βcos β. 由β为锐角,得tanα2+sin2β=2sinβcosβ3sin2β+2cos2β=23sinβcosβ+2cosβsinβ≤223sinβcosβ·2cosβsinβ=66, 当且仅当3sinβcosβ=2cosβsinβ,即tan β=63时,等号成立. 故tanα2+sin2β的最大值是66. 8.D　【解析】函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z, 则ωπ2+π4≥-π+2kπ,ωπ+π4≤2kπ,k∈Z,解得4k-52≤ω≤2k-14,k∈Z, 又由4k-52-2k-14≤0,k∈Z且2k-14>0,k∈Z,得k=1,所以ω∈32,74. 9.BD　【解析】由sin α+cos α=15两边平方后,得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=125,解得sin αcos α=-1225,故B正确,A错误; ∵α∈(0,π),sin αcos α=-1225<0,∴α∈π2,π, ∴cos α-sin α<0,且(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×-1225=4925,解得cos α-sin α=-75,故D正确,C错误. 10.ACD　【解析】∵函数f(x)=sin2ωx+π3(ω>0)的最小正周期为π, ∴2π2ω=π,解得ω=1,∴f(x)=sin2x+π3. 由2x+π3=kπ+π2,k∈Z,可得x=kπ2+π12,k∈Z, 结合选项可知,当k=2时,函数图象的一条对称轴为直线x=13π12,故A正确;当k=-3时,函数图象的一条对称轴为直线x=-17π12,故C正确. 由2x+π3=kπ,k∈Z,可得x=kπ2-π6,k∈Z,当k=2时,函数图象的一个对称中心为5π6,0,故D正确. 11.BD　【解析】因为f(x)=(asin x+cos x)cos x-12=asin xcos x+cos2x-12=12asin 2x+1+cos2x2-12=a2+12sin(2x+φ), 当x=π6时,f(x)取到最值,即asinπ6cosπ6+cos2π6-12=±a2+12,解得a=3, 所以f(x)=32sin 2x+1+cos2x2-12=sin2x+π6. 又f(0)=sinπ6≠0,故f(x)不是奇函数,故A错误; f-7π12=sin-7π6+π6=sin(-π)=0,则-7π12,0是f(x)图象的一个对称中心,故B正确; 当-π3≤x≤π3时,-π2≤2x+π6≤5π6,又y=sin x在-π2,5π6上先增后减,则f(x)=sin2x+π6在-π3,π3上先增后减,故C错误; 先将函数y=2sin 2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图象再向左平移π12个单位长度,得y=12×2sin 2x+π12=sin2x+π6的图象,故D正确. 12.AD　【解析】建立如图所示的平面直角坐标系: 则P-π2,10,A=40,T=30,得ω=π15, 所以点P距离地面的高度h=40sinπ15t-π2+50, 当t=15时,h=40sinπ-π2+50=90,所以经过15分钟,点P首次到达最高点,故A正确;令 -π2+2kπ≤π15t-π2≤π2+2kπ,k∈Z,解得30k≤t≤15+30k,k∈Z,所以从第10分钟到第15分钟,点P距离地面的高度一直在升高,从第15分钟到第20分钟,点P距离地面的高度在降低,故B错误;若摩天轮转速减半,则其旋转一圈所需要的时间变为原来的2倍,故C错误;令h=40sinπ15t-π2+50>70,即sinπ15t-π2>12,解得π6<π15t-π2<5π6,所以10<t<20,则有10分钟的时间点P距离地面超过70 m,故D正确. 13.1010　【解析】因为3π<α<7π2, 所以3π2<α2<7π4,所以cos α<0,cosα2>0. 因为sin α=-35,所以cos α=-45, 又cos α=2cos2α2-1=-45, 解得cosα2=1010. 14.sin πx(答案不唯一)　【解析】由最小正周期为2,可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)=Asin ωx(A≠0),满足f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数,根据最小正周期T=2πω=2,可得ω=π. 故函数可以是f(x)=Asin πx(A≠0)中任意一个,可取f(x)=sin πx. 15.22　【解析】由题意知,54-14=T2,可得T=2,则T=2πω=2,解得ω=π,故f(x)=sin(πx+φ). 由f14=sinπ4+φ=0,得π4+φ=2kπ+π,k∈Z, 则φ=2kπ+3π4,k∈Z, 所以f(x)=sinπx+2kπ+3π4=sinπx+3π4, 所以f(0)=sin3π4=22. 16.kπ-7π12,kπ-π12(k∈Z)　3　【解析】y=sinπ6-2x+cos 2x=12cos 2x-32sin 2x+cos 2x=32cos 2x-32sin 2x=3cos2x+π6. 由2kπ-π≤2x+π6≤2kπ,k∈Z,得kπ-7π12≤x≤kπ-π12,k∈Z, 所以函数的单调递增区间为kπ-7π12,kπ-π12(k∈Z),最大值为3. 17.【解析】若选择①,由α,β都是锐角,且sin α=55,cos β=31010,可得cos α=1-sin2α=1-552=255, sin β=1-cos2β=1-310102=1010, cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=255×31010-55×1010=22. 因为α,β都是锐角,所以0<α+β<π,所以α+β=π4. 若选择②,因为β是钝角,cos β=-53434, 所以sin β=1-cos2β=1--534342=33434, 所以tan β=sinβcosβ=33434-53434=-35. 因为α是钝角,tan α=-14, 所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-14-351--14×-35=-1. 因为π2<α<π,π2<β<π,所以π<α+β<2π,所以α+β=7π4. 若选择③,由tan 2α=2tanα1-tan2α=512,整理可得5tan2α+24tan α-5=0,即(5tan α-1)(tan α+5)=0,解得tan α=15或tan α=-5(舍去), 所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=15-321-15×-32=-1. 因为0<α<π2,π2<β<π,所以π2<α+β<3π2, 所以α+β=3π4. 18.【解析】(1)∵T=2πω=π2,∴ω=4,∴f(x)=3sin4x+π6. (2)列表: 4x+π6 0 π2 π 3π2 2π x -π24 π12 5π24 π3 11π24 f(x) 0 3 0 -3 0 图象如图所示: (3)fα4+π12=3sin4α4+π12+π6=3sinα+π2=95,则cos α=35. ∴sin α=±1-cos2α=±45. 19.【解析】(1)因为f(x)=2sinωx+π3,所以A=2. 因为f(x)图象的相邻两个零点差的绝对值为π4,则T2=π4,即T=π2, 所以2πω=π4,解得ω=4. (2)由(1)得,f(x)=2sin4x+π3, 所以g(x)=2sinx+π6. 令2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2(k∈Z), 则2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3, 所以函数g(x)的单调递增区间为2kπ-2π3,2kπ+π3(k∈Z). 20.【解析】(1)由fπ4=32,可得sinπ2cos φ+cosπ2sin φ=32,所以cos φ=32. 又0<φ<π,所以φ=π6, 所以f(x)=sin 2xcosπ6+cos 2xsinπ6=sin2x+π6. (2)由fα2-π3=513,可得sin2α2-π3+π6=513,即sinα-π2=513,所以cos α=-513. 又α∈π2,π,所以sin α=1-cos2α=1--5132=1213,所以sinα+π4=sin αcosπ4+cos αsinπ4=1213×22-513×22=7226. 21.【解析】(1)由题可知T2=7-3=4,∴T=8, ∴ω=2πT=π4. 又A+B=9,-A+B=5,解得A=2,B=7, ∴f(x)=2sinπ4x+φ+7. 又f(x)的图象过点(3,9),∴2sin3π4+φ+7=9, ∴sin3π4+φ=1, ∴3π4+φ=π2+2kπ,k∈Z. 又|φ|<π2,∴φ=-π4, ∴f(x)=2sinπ4x-π4+7(1≤x≤12,x∈N*). (2)令f(x)=2sinπ4x-π4+7>8, 则sinπ4x-π4>12, ∴π6+2kπ<π4x-π4<5π6+2kπ,k∈Z, 可得53+8k<x<133+8k,k∈Z. 又1≤x≤12,x∈N*, ∴x=2,3,4,10,11,12, 即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元. 22.【解析】(1)由题图知,34T=5π6-π12=3π4,即T=2πω=π,解得ω=2. 由题图知,函数f(x)=cos(2x+φ)过点π12,1, ∴cos2×π12+φ=1,即cosπ6+φ=1, ∴π6+φ=2kπ,解得φ=-π6+2kπ. 又|φ|<π2,∴φ=-π6, ∴f(x)=cos2x-π6. (2)∵x∈-π4,π4,∴2x-π6∈-2π3,π3. 利用余弦函数的图象与性质知,cos2x-π6∈-12,1,即f(x)∈-12,1. 令t=f(x)∈-12,1, 则由题意可知,t2-mt-1≤0恒成立. 令g(t)=t2-mt-1,t∈-12,1, 则g(t)图象的对称轴为直线t=m2,开口向上. ①当m≤-1时,二次函数g(t)在-12,1上单调递增,g(t)max=g(1)=-m≤0,解得m≥0,此时无解; ②当-1<m<2时,二次函数g(t)在-12,m2上单调递减,在m2,1上单调递增,g(t)max=maxg(1),g-12=max-m,m2-34≤0,解得0≤m≤32; ③当m≥2时,二次函数g(t)在-12,1上单调递减,g(t)max=g-12=m2-34≤0,解得m≤32,此时无解. 综上可知,实数m的取值范围是0≤m≤32. 学科网（北京）股份有限公司