期中复习专项训练（九）立体几何专练（三）—外接球（2）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册.doc

期中复习立体几何专练（三）—外接球（2） 1．已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是　　 A． B． C． D． 2．阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥．已知在阳马中，平面，，且阳马的体积为9，则阳马外接球表面积的最小值是　　 A． B． C． D． 3．已知中，，，平面外一点满足，则三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 4．已知四面体中，和都是边长为的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 5．如图，半径为的半球内有一个正六棱锥，此正六棱锥的体积为，则球的半径为　　 A．1 B．3 C．4 D．2 6．正三棱锥中，，，点在棱上，且，正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面积的最小值为　　 A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，，则该三棱锥的内切球的表面积为　　 A． B． C． D． 8．已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，平面，则球的体积为　　 A． B． C． D． 9．在直三棱柱中，，，，，则其外接球的体积是　　 A． B． C． D． 10．四面体的四个顶点都在球上，且，，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 11．正方体棱长为2，为中点，则四面体外接球的体积为　　． 12．已知在正四面体中，点在棱上，为棱的中点．若的最小值为，则该四面体外接球的表面积是　　． 13．设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于，，若，三棱锥的外接球表面积为，则该圆锥的体积为　　． 14．由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　． 期中复习立体几何专练（三）—外接球（2）答案 1．解：一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小， 所以球的表面积为：， 设球的半径为，，所以球的半径为1． 所以球的体积为：． 故选：． 2．解：由题意可知阳马的体积为：，设阳马的外接球的半径为， 则，当且仅当时等号成立， 所以阳马的外接球的表面积． 故选：． 3．解：如图所示，中，，， 斜边的中点为的外心，． ，连接，则平面． ． 设三棱锥的外接球的球心为点，则点在线段上． 设球的半径为，则，解得． 三棱锥的外接球的表面积． 故选：． 4．解：当四面体的体积最大时，平面平面， 取，中点分别为，，连接，，， 由题意知，，， 易知三棱锥的外接球球心，也在底面三角形的外心的垂线上， 平面，是三角形的外心，平面， ，， 连接，，有， 三棱锥的外接球的表面积为． 故选：． 5．解：半径为的半球内有一个正六棱锥，此正六棱锥的体积为，正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，设底面边长为，高为， 可得，解得， 故选：． 6．解：，， ，，同理可得， 故可把正三棱锥补成正方体，其外接球即为球，直径为正方体的对角线， 故，设的中点为，连接， 则，且，， 当平面时，平面截球的截面面积最小， 此时截面为圆面，其半径为， 故截面面积为． 故选：． 7．解：如图，在长方体中，设，，， 则，，． ，， 故四面体的体积． 四面体的表面积， 根据等体积可得，． 该三棱锥的内切球的表面积为． 故选：． 8．解：取中点，则易得， 故为梯形外接圆圆心，过作平面，且使得，则四边形为矩形， 故球心在的中点，设球的半径， 根据球的性质得，， 故， ． 故选：． 9．解：直三棱柱中， 如图所示： 已知，，， 所以利用余弦定理：， 整理得， 解得， 所以，故为直角三角形； 所以点为的外接圆的圆心， 直三棱柱的外接球的球心在平面的中心位置， 由于， 所以， 故． 故选：． 10．解：如图，取，的中点，，连结，，， 因为， 所以，又， 故，则， 所以为等腰直角三角形， 所以， 取上一点，连结，，，， 因为，，只需使得，则点为三棱锥外接球的球心， 设，则， 所以，解得， 所以， 故球的表面积为． 故选：． 11．解：如图，连接，，，取 的中点，连接，， 可得，，，所以是四面体外接球的球心，外接球的半径为， 所以外接球的体积为：． 故答案为：． 12．解：将三角形与三角形展成平面，的最小值，即为两点之间连线的距离， 则， 设，则，由余弦定理，解得， 则正四面体棱长为，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍， （正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1； 对角线长为：，面对角线长度为， 棱长为的正四面体的外接球半径为． 所以，设外接球半径为，则， 则表面积． 故答案为：． 13．解：圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于，，若，三棱锥的外接球表面积为， 所以圆锥的外接球与三棱锥的外接球相同，外接球的内角为，， 解得，即，，所以， 所以圆锥的高为：， 所以该圆锥的体积为：． 故答案为：． 14．解：设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆心为， 则，为所在正三角形的中心，故三棱台的外接球的球心在上， 因为是边长为6的等边三角形，故，所以， 同理可得， 设三棱台的外接球的半径为， 在△中，， 在中，， 又三棱台的高为， 因为，所以， 故球心在的延长线上， 则， 解得， 所以球的表面积为． 故答案为：．