第八章 立体几何专题训练（三）—异面直线所成的角--【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练.doc

第八章 立体几何专题训练（三）—异面直线所成的角 一．单选题 1．已知正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形．底面，，．为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，为线段上不含端点的动点，则直线与所成的角的余弦值不可能是　　 A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的大小为　　 A． B．或 C． D．或 5．在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 6．在四棱锥中，平面，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 7．已知正三棱锥的底面是边长为6的正三角形，其外接球球的表面积为，且点到平面的距离小于球的半径，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 8．矩形中，，，点为中点，沿把折起，点到达点，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 二．多选题 9．如图，棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是　　 A． B．三棱锥的体积不变，为 C．平面 D．与所成角的范围是 10．在直三棱柱中，各棱长均为2，，分别为线段，的中点，则　　 A．平面平面 B． C．直线和所成角的余弦值为 D．该棱柱外接球的表面积为 11．如图，正方形的边长为1，、分别为、的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是　　 A．异面直线与所成的角为定值 B．存在某个位置，使得直线与直线垂直 C．三棱锥与体积之比值为定值 D．四面体的外接球体积为 12．如图，在边长为4的正三角形中，，，分别为各边的中点，，分别为，的中点，将沿，，折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是　　 A．与所成的角的正弦值为 B．与成角 C．与所成的角为 D．与所成角余弦值为 三．填空题 13．已知正三棱锥中，是的中点，若三个侧面是直角三角形，则直线与直线所成的角的大小为　　． 14．在四面体中，，，，则、所成的角的余弦值为　　． 15．已知长方体中，，是的中点，且异面直线与所成的角是．则在此长方体的表面上从到的路径中，最短路径的长度为　　． 16．如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，给出下列结论： ①异面直线与所成的角范围为； ②平面平面； ③点到平面的距离为定值； ④存在一点，使得直线与平面所成的角为． 其中正确的结论是　　． 四．解答题 17．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． （1）求圆柱的表面积； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18．正三棱柱中，是的中点，，． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）求异面直线、所成的角的正弦值． 19．如图直三棱柱，在底面中，，，棱，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线、所成角的余弦值． 20．如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． （1）证明：平面； （2）若是的中点，求与所成的角的正切值； （3）在（2）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值． 第八章 立体几何专题训练（三）—异面直线所成的角 答案 1．解：为中点，取中点，连结，， 设正四面体的棱长为2， 则，，且， 是异面直线与所成角（或所成角的补角）， 故异面直线与所成角的余弦值为： ． 故选：． 2解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，4，，，0，，，4，，，2，， ，4，，，2，， ，， 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 3．解：建立空间直角坐标系，如图所示； 设正方体的棱长为1，则，0，， 设，，， 所以，，，，0，， ，； 令，， 则； 所以在单调递减， 易知， 所以， 则直线与所成的角的余弦值的范围为． 故选：． 4．解：以为坐标原点，，为轴，轴建立空间直角坐标系， 因为，，，， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则， 又， 所以， 故异面直线与所成角的大小为． 故选：． 5．解：如图所示，不妨设． ，． ． 设异面直线与所成的角为， 则． 故异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 6．解：以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，3，，，1，， ，0，，，，， ，， 异面直线夹角的取值范围为，， 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 7．解：因为外接球球的表面积为， 设其半径为，则有，解得， 设点到平面的距离为， 则有，解得或（舍， 取的中点，则， 所以异面直线与所成角为或它的补角， ，即， 所以，而， 故， 所以， 所以， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 8．解：如右图，因为，异面直线与所成角就是或其补角， 在中，，， 在左图中作，垂足为，则，， 所以， 所以． 故选：． 9．解：棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动， 对于，，，，、平面， 平面，平面，， 同理，，，、平面，平面， 平面，，故正确； 对于，在线段（含端点）上运动，，平面，平面， 平面，到的距离是定值， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，0，，，0，，，2，，，2，， ，0，，，2，，，2，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，1，， 到平面的距离， 三棱锥的体积为： ，故错误； 对于，，，，， 平面平面，平面，平面，故正确； 对于，在线段（含端点）上运动， 当与重合时，与所成角为0， 当与重合时，与所成角为，故错误． 故选：． 10．解：在直三棱柱中，各棱长均为2，，分别为线段，的中点， 对于，，，，， 平面平面，故正确； 对于，，，，，平面， 平面，平面，，故正确； 对于，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，0，，，0，，，，，，0，， ，0，，，，， 设直线和所成角为， 则， 直线和所成角的余弦值为，故错误； 对于，过的重心作平面的垂线，在上取， 则是该棱柱外接球的球心，连接， ，球半径， 该棱柱外接球的表面积为，故正确． 故选：． 11．解：对于，取中点，连接，，则，且， 平面，，异面直线与所成的角为， 又，异面直线与所成的角为定值，故正确； 对于，若直线与直线垂直， 直线与直线也垂直，则直线平面， 直线直线，又，平面，， 而是以和为腰长的等腰三角形，与题意不符，故错误； 对于，，分别为正方形的边、的中点， 与面积比为， 到面的距离与到面的距离之比为， 三棱锥与体积之比值为定值，故正确； 对于，外接球球心在中点，由题意解得外接球半径， 四面体的外接球体积为，故正确． 故选：． 12．解：对于，的边长为4，折成正四面体后，如图， ，，分别为各边的中点，，分别为，的中点， ，， 连结，取中点，则， 异面直线与所成角为， ，，连结，得，， ， 与所成的角的正弦值为：，故错误； 对于，正四面体中，取中点，连结，， 则，，平面， ，与成角，故正确； 对于，连结，，则， 异面直线与所成的角为， ，， ，， 与所成的角为，故正确； 对于，异面直线与所成角为， ，故正确． 故选：． 13．解：取中点，连接、， 设，则， ，且， 是直线与直线所成的角（或所成角的补角）， ，， ， 是等边三角形， ． 直线与直线所成的角的大小为． 故答案为：． 14．解：作出四面体的外接长方体，如图所示， 设长，宽，高， 则由勾股定理可得，，解得， 连结交于点，则异面直线、所成的角为（或补角）， 在△中，由余弦定理可得， ， 所以、所成的角的余弦值为． 故答案为：． 15．解：如图， 取中点，连接，可得， 异面直线与所成的角是，， 设，，，则，且， 又，，求得． 可得长方体中，， 则在此长方体的表面上，从到的路径中，最短路径是沿剪开， 绕把平面翻折至与所在面重合，连接所得线段长度， 大小为（另外两种情况长度相等为，不是最小值）． 故答案为：． 16．解：对于①，当在点时，， 异面直线与所成的角最大为， 当在点时，异面直线与所成的角最小为， 异面直线与所成的角的范围为，故①错误； 对于②，因为平面，所以平面平面，故②正确； 对于③，平面，所以点到平面的距离为定值，且等于的， 即，故③正确； 对于④，直线与平面所成的角为，， 当时，最小，最大，最大值为，故④不正确， 故答案为：②③． 17．解：（1）由题意，在中，，，所以， 在中，，，所以， 因为三棱锥的体积为． 所以，解得， 故圆柱的表面积为． （2）取中点，连接，，则， 得或它的补角为异面直线与所成的角， 又，，得，， 由余弦定理得， 异面直线与所成角的余弦值为． 18．解：（1）正三棱柱中，是的中点，，． 三棱锥的体积为： ． （2）证明：连接，交于点，连接， 是矩形，是的中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面． （3），是异面直线、所成的角， ，， ， ， 异面直线、所成的角的正弦值为：． 19．（1）证明：在直三棱柱中，为的中点，， ，平面，平面， ， ，，，为的中点， 易得， 连接，得， ， 则，即． 平面，平面，， 平面．（6分） （2）连接交于点，作，的中点分别为，， 连接，，，则即为异面直线、所成的角， 易求得， 则在中，．（12分） 20．解：（1）在四棱锥中，面，平面， 所以， 因为，设， 则是的垂直平分线，故是的中点，且， 又，，平面， 所以平面； （2）因为是的中点，是的中点， 则且， 因为面，所以面，又面， 所以， 故平面，故即为与所成的角， 在中，由余弦定理得， 所以，又， 所以， 故与所成的角的正切值为； （3）取中点，连接，， 易得为异面直线与所成角（或其补角）， 因为面，所以，所以， 则， 因为面，所以，， 所以， 所以， 所以，， 所以，所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为．