考点40 曲线与方程-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点帮.docx

考点40 曲线与方程 曲线与方程主要考查方程的求解，通过了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，列出关系式可以得解，常出现在高考解答题的第一问，有时也会单独命制小题. 一、曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤 求曲线的方程，一般有下面几个步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件p的点M的集合； （3）用坐标表示条件p(M)，列出方程； （4）化方程为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程． 三、两曲线的交点 （1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． （2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 考向一 考查曲线与方程的概念 判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系： （1）曲线上的每个点都符合某种条件； （2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程. 典例1 方程(x＋y－2)x2+y2-9＝0表示的曲线是 A．一个圆和一条直线 B．半个圆和一条直线 C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段 【答案】C 【解析】(x＋y－2)x2+y2-9＝0可变形为x2+y2-9＝0或x+y-2=0x2+y2-9≥0， 故表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x2＋y2－9＝0外面的两条射线. 典例2 方程y=-4-x2对应的曲线是 【答案】A　 【解析】将y=-4-x2平方得x2+y2=4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A. 1．方程所表示的曲线的长度是 （ ） A． B． C． D． 2．方程所表示曲线的大致形状为（ ） A． B． C． D． 考向二 直接法求轨迹方程 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性． 典例3 已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P(x，y)的轨迹方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设P（x，y），M（﹣2，0），N（2，0），， 则， 由，得， 化简整理得． 故选A． 典例4 已知坐标平面上一点与两个定点，，且． （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程． 【解析】（1）由，得， 化简得， 所以点的轨迹方程是， 该轨迹是以为圆心，以为半径的圆． （2）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段的长为， 所以符合题意． 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 圆心到的距离， 由题意，得，解得． 所以直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 3．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是________. 4．若平面内两定点，，动点满足. （1）求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 考向三 定义法求轨迹方程 求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键． 利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制． 典例5 已知圆A：(x+2)2+y2=254，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切. （1）求动圆P的圆心的轨迹C的方程； （2）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求｜MN｜的最小值. 【解析】（1）设动圆P的半径为r，则│PA│＝，│PB│=， ∴│PA│－│PB│=2. 故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 其方程为. （2）设MN的方程为x=my+2， 代入双曲线方程，得(3m2-1)y2+12my+9=0. 由，解得 -33<m<33. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则， 当m2=0时, |MN|min=6. 故｜MN｜的最小值为6. 5．已知圆的圆心为，设为圆上任一点，且点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为___________________. 6．在平面直角坐标系中，平面上的动点到点的距离与它到直线的距离相等. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与点的轨迹交于两个不同点、.若点，且，求直线的方程. 考向四 相关点法求轨迹方程 动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将，表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程整理化简即得动点P的轨迹方程． 典例6 已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ=OM+ON，求动点Q的轨迹方程. 【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0). 因为OQ＝OM＋ON，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝. 又点M在圆C上，所以x02＋y02＝4，即x2＋y24=4(y≠0)， 所以动点Q的轨迹方程为. 典例7 在直角坐标系中，，不在轴上的动点满足于点为的中点. （1）求点的轨迹的方程； （2）设曲线与轴正半轴的交点为，斜率为的直线交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【解析】（1）解法一：设点， 因为轴，为的中点，所以， 因为，所以，即，化简得， 所以，点的轨迹的方程为. 解法二：依题意可知点的轨迹方程为， 设点，因为轴，为的中点，所以， 所以，即， 所以，点的轨迹的方程为. （2）依题意可知，设直线的方程为， 、， 由，得， 所以，，， 所以 ， 所以，为定值0. 7．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是（ ） A． x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0) C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0) 8．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且． （1）求的值； （2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程． 考向五 参数法求轨迹方程 若动点坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法. 参数法求轨迹方程的步骤： （1）选取参数k，用k表示动点M的坐标． （2）得出动点M的参数方程. （3）消去参数k，得m的轨迹方程． （4）由k的范围确定x，y的范围． 典例8 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9). （1）求证:点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程; （2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若与的面积比为4∶1,求直线l的方程. 【解析】解法一：（1）依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i, Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=i10x. 设Pi的坐标为(x,y),由得y=110x2,即x2=10y. 所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y. （2）依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10. 由得, 此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N. 设,则， 因为S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|. 又x1·x2<0,所以x1=-4x2, 分别代入①和②,得，解得k=±32. 所以直线l的方程为y=±32x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0. 解法二：（1）点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E：x2=10y上. 证明如下：过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i, Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=i10x. 由解得Pi的坐标为(i,i210). 因为点Pi的坐标都满足方程x2=10y，所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2=10y. （2）同解法一. 9．如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若＝λ. （1）求点N的轨迹方程； （2）当点N的轨迹为圆时，求λ的值． 考向六 圆锥曲线中的对称问题 圆锥曲线上两点关于直线对称的问题是高考命题的一个热点问题，该问题集垂直、中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，但难度适中,对数学知识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能.圆锥曲线上两点关于直线对称的问题主要有联立方程和点差法两种解法. 典例9 若在抛物线y2=2x上存在相异的两点关于直线l:y=m(x-2)对称,求m的取值范围. 【解析】解法一：如图, 当m=0时,直线l:y=0恰好是抛物线的对称轴,满足题设条件. 当m≠0时,设P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上关于直线l对称的两点,则PQ的中点是M(,). 设直线PQ的方程是y=x+b. 由消去x,得y2+2my-2mb=0　(*). ∵方程(*)有两个不相等的实数根,∴Δ=4m2+8mb>0,即m2+2mb>0　①. 又y1+y2=-2m,x1+x2=2mb-m(y1+y2)=2mb+2m2,∴M(mb+m2,-m). 由点M在直线l上,得-m=m(mb+m2-2),即b=　②. 把②代入①,得m2<2,即-2<m<2,且m≠0. 综上可知,所求m的取值范围为(-2,2). 解法二(点差法)：当m=0时,同解法一. 当m≠0时,设P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线y2=2x上关于直线l对称的两点,线段PQ的中点M的坐标为(x0,y0). ∵点P,Q在抛物线上,∴y12=2x1,y22=2x2, 两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2),即2y0(y1-y2)=2(x1-x2),∴(x1≠x2). ∵直线PQ⊥l,∴kPQ·kl=-1,∴·m=-1,即m+y0=0　①. 又点M在直线l上,∴y0=m(x0-2)　②. 由①②,得点M的坐标为(1,-m). ∵P,Q为抛物线上的两点,∴点M在抛物线的内部, ∴m2<2,解得-2<m<2,且m≠0. 综上可知,所求m的取值范围是(-2,2). 10．已知椭圆：与抛物线有公共的焦点，且公共弦长为， （1）求，的值. （2）过的直线交于，两点，交于，两点，且，求. 1．方程所表示的曲线（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 2．方程的图形大致形状为（ ） A． B． C． D． 3．已知的顶点A(－5，0)，B(5，0)，内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是（ ） A． B． C．－＝1 D．－=1 4．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线 D．一个圆上 5．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．以上都不对 6．已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是（ ） A． B． C． D． 7．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（ ） A． B． C． D． 8．设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.关于曲线有如下四个结论： ①图像关于轴对称； ②图像关于轴对称； ③图像上任意一点到原点的距离不超过4； ④当时，是的函数. 其中所有正确的编号是（ ） A．① B．①④ C．②③ D．①③④ 11．设椭圆 的右焦点为，椭圆上的两点关于原点对称，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知点的坐标分别是，经过点的直线相交于点，且它们的斜率分别为，下列命题是真命题的有（ ） A．若，则的轨迹是椭圆(除去两个点) B．若，则的轨迹是抛物线(除去两个点) C．若，则的轨迹是双曲线(除去两个点) D．若，则的轨迹是一条直线(除去一点) 13．如图，已知△ABC的两顶点坐标，，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=2，动点C的轨迹方程为___________. 14．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_________ ． 15．已知直线与双曲线)相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，(为坐标原点)，则双曲线的离心率为__________. 16．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，. （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆相交于两点，求使的动点的轨迹方程. 17．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P. （1）求椭圆C的离心率； （2）设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程. 18．已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于､两点，直线，的斜率分别是，，若，求面积的最大值. 19．已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程. (2)已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 20．在平面直角坐标系中，已知动圆经过定点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，、的斜率分别为，，且满足，的面积为8，求直线的方程． 1．（2020·全国高考真题（文））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 2．（2015·浙江高考真题（文））如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 3．（2009·上海高考真题（文））点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 4．（2013·全国高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2. (1)求圆心P的轨迹方程; (2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程. 5．（2014·全国高考真题（文））已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点. (1)求的轨迹方程； (2)当时，求的方程及的面积 变式拓展 1．【答案】B 【分析】 根据题意,求得函数的值域,分析出曲线为两个半圆,根据半径即可求得曲线的长度. 【详解】 因为方程 所以,所以或 将原式变形可得 所以曲线为两个半圆,半径为 所以曲线的长度为 故选:B 【点睛】 本题考查了曲线与方程的关系,根据方程判断曲线的形状,注意函数值域,属于基础题. 2．【答案】A 【分析】 取，解得，令，解得，故排除C、D选项，又函数图象不是圆，从而得出答案. 【详解】 解：令，解得，令，解得，故排除C、D选项； 易知该函数图象不是圆，排除B选项，又因为点满足条件， 故选：A. 【点睛】 本题考查根据曲线方程选择曲线的图形，属于基础题. 3．【答案】 【分析】 根据列式化简，即可得出结果. 【详解】 因为，，， 所以，， 又，所以， 整理得. 故答案为： 【点睛】 求轨迹方程的一般步骤： （1）设所求轨迹上任意一点的坐标为； （2）根据题中条件列出等量关系； （3）化简整理，即可得出所求轨迹方程. 4．【答案】（1）；（2）45. 【分析】 （1）设，由结合两点间的距离公式代入计算可得点的轨迹方程； （2）由（1）得：，将其代入化简，利用的范围求出最值． 【详解】 （1）设，由题意可知 ， 整理得，即为点的轨迹方程 （2） 由（1）得：，将其代入上式得 当时，最大，最大值为45 故答案为45 【点睛】 方法点睛：本题考查轨迹方程的求法，考查最值的应用，求轨迹方程的一般步骤是： 1.建立合适的坐标系，设出动点的坐标； 2.列出动点满足的关系式； 3.依条件特点，选择距离公式或斜率公式等写出关于的方程并化简； 4.检验或证明所求方程即为符合条件的方程． 5．【答案】. 【分析】 先由圆的方程，得到圆心为，半径为，设点，根据题中条件，由对称性，得到，所以点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的椭圆，进而可求出结果. 【详解】 因为圆的圆心为，半径为 设点， 因为线段的垂直平分线交于点， 所以，因此， 因此点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的椭圆， 即， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为：. 【点睛】 思路点睛： 求动点轨迹方程时，一般设动点坐标，根据题中条件，列出等量关系，再化简整理，即可得出结果；有时也根据动点所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义求解. 6．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由抛物线的定义可求得动点的轨迹的方程； （2）设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可求得的值，由此可得出直线的方程. 【详解】 （1）依据题意动点到的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义知点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹的方程为；- （2）由于过点的直线与点的轨迹交于两个不同点、，则直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、， 联立，整理得，则， 由韦达定理得，， ，则，解得. 所以，直线的方程为，即. 【点睛】 在处理圆锥曲线中的垂直问题时，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系设而不求简化运算. 7．【答案】A 【分析】 设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，由,得a＝x＞0，b＝3y＞0，再由，ax＋by＝1，两式联立求解即可. 【详解】 设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0. 由, 得(x，y－b)＝2(a－x，－y)， 即a＝x＞0，b＝3y＞0. 又点Q与点P关于y轴对称，则点Q(－x，y)， 由， 得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1. 将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1， 得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)． 故选：A. 8．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解； （2），设，，根据点M为线段的中点，可得： ，由点Q为抛物线C上，代入即可得解， 【详解】 （1）由抛物线经过点可得：， 又，可得， 解得，； （2）由（1）知，则， 设，， 根据点M为线段的中点，可得： ，即， 由点Q为抛物线C上，所以， 整理可得点M的轨迹方程为. 9．【答案】（1）；（2）或 【分析】 （1）设，N(x，y)，利用＝λ将的坐标用的坐标表示，再将的坐标代入椭圆方程可得结果； （2）根据方程表示圆列式可解得结果. 【详解】 （1）设，N(x，y)，则M的坐标为，且， ∴， ， 由＝λ得． ∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y. ∵P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上， 则，∴， 故所求的点N的轨迹方程为． （2）要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝， 解得λ＝－或λ＝－. 所以当λ＝－或λ＝－时，点N的轨迹是圆． 【点睛】 关键点点睛：根据向量共线将的坐标用的坐标表示是解题关键. 10．【答案】（1），；（2）. 【分析】 (1)由椭圆以及抛物线的对称性可得到交点的纵坐标，代入，可得到交点的横坐标，再由有公共的焦点，即可得到，的值； (2)先设：，再由直线交于，两点，交于，两点，根据根与系数的关系可得横坐标之间的关系，再由已知条件可得，从而可求出. 【详解】 （1）∵，均关于轴对称，∴公共弦也关于轴对称， ∵公共弦长为，将代入，中解得与， ∴，. ∵，有公共的焦点， ∴，解得，. （2），设，，，， ∵， ∴，即，. 当的斜率不存在时，显然不成立，∴设：， 将方程代入整理得，，. 将方程代入整理得，∴，. 代入中解得， ∵， ∴. 【点睛】 本题考查了椭圆以及抛物线的对称性，以及直线与椭圆和抛物线的关系，抛物线定义求弦长，考查了学生的计算能力，属于较难题. 考点冲关 1．【答案】D 【解析】 将方程中的换为，换为方程变为与原方程相同，故曲线关于直线对称，故选D. 2．【答案】A 【分析】 根据方程结合选项的特征，用特殊值法求解. 【详解】 取得，图形在轴上的截距等于； 取得，图形在轴上的截距等于； 取得，则点在图形上，排除B，C，D， 故选：A. 另解：当时，， 将抛物线弧（凹的）上移2个单位得到的图象， 再因的图形关于两条坐标轴对称，排除B，C，D， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查方程的曲线的识别，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题. 3．【答案】A 【分析】 根据内切圆的几何性质可得|CA|－|CB|＝7－3＝4，符合双曲线的定义，根据定义，即可求出点C的轨迹方程. 【详解】 如图， 设与内切圆的切点分别为G，E，F， 由题意得：|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝7－3＝4. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 则方程为． 故选：A 4．【答案】B 【解析】 试题分析：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆的圆心为O（0，0），半径为1；圆的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|-|PO|=（2+r）-（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支． 考点：1．圆相切的位置关系；2．双曲线定义 5．【答案】A 【分析】 把方程变形为，利用抛物线的定义，即可得到答案. 【详解】 由题意，动点的坐标满足方程， 变形为， 可得上式表示动点到定点的距离与到定直线的距离相等，且定点不在定直线上， 结合抛物线的定义可知：动点轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线. 故选A. 【点睛】 本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中把方程变形为，结合抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6．【答案】B 【分析】 由已知，得，所以，又,根据椭圆的定义，点P的轨迹是为焦点，以6为实轴长的椭圆，即可得出结论. 【详解】 由已知，得，所以又,根据椭圆的定义，点P的轨迹是为焦点，以6为实轴长的椭圆， 所以，，所以，所以点P的轨迹方程为：. 故选：B. 【点睛】 本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题. 7．【答案】C 【分析】 由，得，其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4，求出平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取求得值即可． 【详解】 由，得 ， 其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4． 平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹是双曲线， 由题得，解之得. 所以平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程是 ． 联立，解得． 故选：C． 【点睛】 本题主要利用考查双曲线的定义求方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．【答案】A 【分析】 根据椭圆焦点在轴上且长轴长为26，得到，再由椭圆的离心率为，得到，再根据曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，得到双曲线与椭圆共焦点以及实半轴长求解. 【详解】 因为椭圆焦点在轴上且长轴长为26， 所以，又因为椭圆的离心率为， 所以， 因为曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8， 所以， 所以曲线的标准方程为. 故选：A 【点睛】 本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9．【答案】D 【分析】 由于在平面内，而平面，因此有，这样结合抛物线的定义可得结论． 【详解】 在正方体中，一定有，∴点为平面内到直线和到点的距离相等的点，其轨迹为抛物线． 故选D． 【点睛】 本题考查抛物线的定义，考查立体几何中的垂直关系．属于跨章节综合题，难度不大． 10．【答案】C 【分析】 用替换可判断①；用替换可判断②；当时，利用基本不等式可得，结合对称性可判断③；当时，对应两个的值，结合函数定义可判断④. 【详解】 用替换得，即，原方程改变， 所以图像不关于轴对称，故①不正确； 用替换得，即，原方程不变， 所以图像关于轴对称，故②正确； 当时，由得，（当时取等）， 所以，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过4， 根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过4，故③正确； 当时，得，，即对应有两个的值， 不满足函数定义，故④不正确；即正确的为②③， 故选：C. 【点睛】 思路点睛： （1）曲线对称问题的本质：将换为，原方程不变，则关于轴对称；将换为，原方程不变，则关于轴对称；将换为，换为，原方程不变，则关于原点对称； （2）函数的定义：定义域内每给出一个，都有唯一的与之对应. 11．【答案】A 【分析】 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用双勾函数的值域得到的范围，然后由求解. 【详解】 如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即， 所以平行四边形为矩形， 所以， 设，， 在直角中，，，得， 所以， 令，得， 又由，得， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以离心率的取值范围是， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 12．【答案】BCD 【分析】 设，根据条件求出点的轨迹方程，确定轨迹． 【详解】 设， A．，化简得，不是椭圆方程，A错； B．，化简得，是抛物线方程，轨迹是抛物线（去掉的两点），B正确； C．，化简得，双曲线方程，轨迹是双曲线（除去两顶点），C正确； D．，，，化简得，轨迹是直线，去除点，D正确， 故选：BCD． 【点睛】 本题考查求动点的轨迹，解题方法是求出动点的轨迹方程，通过方程确定轨迹． 13．【答案】 【分析】 由切线长定理可得，再由椭圆的定义即可得解. 【详解】 由题意结合切线长定理可得，，， 所以， 所以动点C的轨迹是以，为焦点的椭圆（不在x轴上）， 且该椭圆满足，，所以， 所以该椭圆方程为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系、椭圆定义的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题. 14．【答案】 【解析】 试题分析：因为平面上机器人在进行中始终保持与点的距离和到直线的距离相等，所以机器人运动的轨迹表示以为焦点，以为准线的抛物线，即，要使得机器人接触不到过点且斜率为的直线，此时直线的方程为，联立方程组，整理得，由解得或． 考点：直线与抛物线的位置关系． 【方法点晴】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，其中解答中涉及到抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与抛物线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与转化的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，准确理解抛物线的定义是解答的关键． 15．【答案】 【分析】 设双曲线的右焦点为,连结，则四边形为平行四边形，由双曲线的定义可得，，进而可得，在直角三角形中有勾股定理可得答案. 【详解】 设双曲线的右焦点为,如图连结 由直线与双曲线都关于原点对称，可得四边形为平行四边形 所以, 由双曲线的定义可得：，所以 ,在中， 所以，所以为直角三角形，即 在直角三角形中，，即 所以 故答案为： 【点睛】 本题考查双曲线的定义的应用，考查双曲线的几何性质，考查求双曲线的离心率，属于中档题. 16．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据抛物线方程，先得焦点坐标，得到，推出；再由抛物线的焦半径公式，求出点坐标，代入椭圆方程，得到与的关系式，进而可求出结果； （2）设，，，根据题意，得到，再由，整理得到，分和两种情况，即可求出结果. 【详解】 （1）因为抛物线的焦点为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合， 所以，因此①； 又椭圆与抛物线在第一象限的交点为，， 根据抛物线的定义可得，，则，代入可得， 又点在椭圆上，所以，即②， 由①②可得，即所求椭圆方程为； （2）设，，， 则，，， 又， 所以，即① 因为，在椭圆上， 所以，两式作差可得②， 将①代入②得， 当时，得③ 设的中点为，则的坐标为， 因为、、、四点共线，所以， 即④， 将④代入③得，整理得； 当时，可得点的坐标为， 经检验，点在曲线上， 所以动点的轨迹方程为. 【点睛】 方法点睛： 由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果；有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果. 17．【答案】（1）；（2）10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈. 【分析】 （1）根据椭圆的定义求出，根据焦点坐标求出，根据离心率公式求出心率； （2）由（1）求出椭圆方程，①当直线l与x轴垂直时，求出点Q的坐标为， ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理以及可得点Q的轨迹方程，根据判别式和点在椭圆内求出的范围. 【详解】 （1）由椭圆定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝2， 所以a＝. 又由已知，得c＝1， 所以椭圆C的离心率e＝. （2）由（1）知，，所以椭圆C的方程为. 设点Q的坐标为(x，y). ①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为， ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2. 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)， 则，， 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2. 由，得＝＋， 即.① 将y＝kx＋2代入中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.② 由＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，得k2>. 由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝， 代入①中并化简，得x2＝.③ 因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简， 得10(y－2)2－3x2＝18， 由③及k2>，可知0<x2<，即x∈∪. 又点满足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈. 由题意知Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1. 又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈，且－1≤y≤1，则y∈. 所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈. 【点睛】 关键点点睛：求出点Q的轨迹方程后，利用判别式和点在椭圆内求出的范围是解题关键. 18．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）首先利用线段垂直平分线的性质得，再表示为椭圆定义，得到曲线方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示，求得，再表示的面积求最值. 【详解】 （1）圆：的圆心为，半径为，点 的垂直平分交于点∴ 在圆内，， 所以曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆， 由，，得