考点47 几何概型-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点帮.docx

考点47 几何概型 几何概型常出现在高考中的选择题或填空题中，近几年出现的频率较高，要引起重视. （1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. （2）了解几何概型的意义. 一、几何概型 1．几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2．几何概型的特点 （1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个. （2）每个基本事件发生的可能性相等. 3．几何概型的概率计算公式 . 4．必记结论 （1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关； （2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； （3）与体积有关的几何概型. 二、随机模拟 用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法. 这个方法的基本步骤是： （1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； （2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N； （3）计算频率作为所求概率的近似值. 注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值. 考向一 与长度有关的几何概型 求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等. 注意：在寻找事件发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件的概率. 典例1 某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟．某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得第二节课上课的时间为8:40~9:20, 该同学到达教室的时间总长度为40,其中在8:50~9:10进入教室时,听第二节课的时间不少于10分钟,其时间长度为20, 故所求概率为. 选A． 典例2 在区间上随机抽取一个数,则事件“”发生的概率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】区间的长度为2， 由可得， 所以所求事件的概率为P=. 故选A. 1．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ） A． B． C． D． 2．刘徽是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一.他全面证明了《九章算术》中的方法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题.如下图在圆的直径上任取一点E，过点E的弦和垂直，则的长不超过半径的概率是（ ） A． B． C． D． 考向二 与面积有关的几何概型 求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法. 典例3 已知菱形ABCD的边长为4，，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别以A，B，C，D为圆心，1为半径作圆， 则概率对应的面积为阴影部分， 由四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2π， 可得对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S＝π×12＝π， ∵S菱形ABCD＝AB•BCsin4×48， ∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S＝8﹣π×12＝8﹣π． 因此，该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率P. 故选D． 典例4 如图,已知A(a,0)(a>0),B是函数f(x)=2x2图象上的一点,C(0,2),若在矩形OABC内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为________. 【答案】 【解析】因为OABC是矩形,所以B(a,2), 又B是函数f(x)=2x2图象上的一点,得B(1,2),所以A(1,0).阴影部分的面积S1= dx=(2x-x3)=2×1-×13=, 矩形OABC的面积S=1×2=2. 所以所求事件的概率为P=. 3．已知、满足，则事件“”的概率为（ ） A． B． C． D． 4．一正方形地砖的图案如图所示，其内部花形是以正方形边长的一半为直径作弧而得到的，若一只蚂蚁落在该地砖内，则它恰好在阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 考向三 与体积有关的几何概型的求法 用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解. 典例5 一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A,则它在与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10的区域d内飞行时是安全的, 故区域d为棱长为10的正方体,所以P(A)=. 故选C． 5．在一底面半径和高都是的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____． 6．魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：4.在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为（ ） A． B． C． D． 考向四 随机模拟的应用 利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积，解题的依据是根据随机模拟估计概率，然后根据列等式求解. 典例6 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶,若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为(≈1.732) A．134 B．268 C．402 D．536 【答案】C 【解析】设大正方形的边长为2， 由图中直角三角形的两直角边长之比为1∶， 可得小正方形的边长为-1， 所以小正方形与大正方形的面积比值为=， 所以落在小正方形内的图钉数为()×3000≈(1-×1.732)×3000=402. 故选C. 7．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A．2 B．3 C．10 D．15 8．魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将100粒豆子随机撒入圆盘内，发现只有4粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为( ) A． B． C． D． 1．在区间上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为（ ） A． B． C． D． 2．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 3．在区间上任取一个数k，使直线与圆相交的概率为( ) A． B． C． D． 4．设一直角三角形两直角边均是区间上的随机数，则斜边长小于1的概率为（ ） A． B． C． D． 5．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率（ ） A． B． C． D． 6．在等腰直角三角形中，角为直角．在内部任意作一条射线，与线段交于点，则的概率（ ）． A． B． C． D． 7．在平面区域内随机取一点，在所取的点恰好满足的概率为（ ） A． B． C． D． 8．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（　　） A． B． C． D． 9．在区间内随机取一个数a，则关于x的方程无实根的概率是（ ） A． B． C． D． 10．苏果超市计划在2021年元旦期间举行特大优惠活动，凡购买商品达到88元者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分成6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，且其面积依次成公比为3的等比数列，指针箭头指在最小的1区域内就中“一等奖”，则消费达到88元者没有抽中一等奖的概率是（ ） A． B． C． D． 11．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（ ） A． B． C． D． 12．五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，象征着天地乾坤.如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为2.5厘米.现向该钱币上随机投掷一点，若该点落在方孔内的概率为，则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为（ ） A．0.8厘米 B．1厘米 C．1.1厘米 D．1.2厘米 13．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是（ ） A． B． C． D． 14．灯笼是传统的照明工具，在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆，某庭院挂着一盏表面积为平方尺西瓜灯（看成球），灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2寸高为4寸的圆锥，现向该灯笼内任取一点，则该点取自灯焰内的概率为（注：1尺＝10寸）（ ） A．0.004 B．0.012 C．0.024 D．0.036 15．在矩形中，，，现向该矩形内随机投一点，则的概率为_________. 16．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，为的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是________________. 17．“全国部分大学附中教学协作体”成立于1991年，由湖南师大附中，福建师大附中，陕西师大附中，南开大学附中，辽宁师大附中和云南师大附中在长沙发起年会倡议，九十年代末期首都师大附中和山东师大附中相继加盟．今年10月协作体第二十九届年会在我校举行，在年会联谊会的舞台左右两端分别挂有两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮是相互独立的，且都在通电后4秒内的任一时刻等可能的闪亮．那么在两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率为_________． 18．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______. 19．已知某几何体的三视图如图所示，则在该几何体内随机取一点，则此点到线段AB的中点的距离不大于1的概率是_________． 20．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请160名同学，每人随机写下开一个都小于4的正实数对；再统计两数能与4构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值.假如统计结果是，那么据此估计的值为______. 21．勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记，若，在正方形内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为________. 22．假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上点.记小明离家前不能看到报纸为事件. （1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件的概率； （2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件的概率. 23．一条直线型街道的两端A､B的距离为，为方便群众，增加就业机会，想在中间安排两个报亭C､D，顺序为A､C､D､B. （1）若由甲､乙两人各负责一个，在随机选择的情况下，求甲､乙两人至少一个选择报亭C的概率； （2）求A与C､B与D之间的距离都不小于的概率. 24．为调查某学校胖瘦程度不同（通过体重指数值的计算进行界定）的学生是否喜欢吃高热量的食物，从该校调查了300名偏胖与偏瘦的学生，结果如下： 胖瘦程度是否喜欢 偏胖 偏瘦 喜欢 60 100 不喜欢 30 110 （1）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为该校学生是否喜欢吃高热量的食物与胖瘦程度有关？请说明理由； （2）已知该校的甲、乙两人约定到食堂吃午饭，两人都在11：30至12：30的任意时刻到达，求甲比乙早到至少20分钟的概率. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 25．黄河故道是商丘市著名景点，景区内有多个水库，风景优美．为了解水库内鱼类的有关情况，从多个不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布方图（如图所示）． （1）求直方图中的值； （2）请根据上图估计黄河故道水库内鱼的平均重量（精确到0.01）； （3）为充分挖掘旅游资源，故道管理部门推出游船垂钓项目，若游船从8：00-17：00（早上八点整发第一班船）整点时发船，某游客在上午七点之后随机到达码头乘船，问该游客等待不超过10分钟的概率为多大？ 1．（2017新课标全国Ⅰ文科）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 2．（2016新课标全国Ⅱ文科）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 A． B． C． D． 3．（2017江苏）记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ▲ ． 变式拓展 1．【答案】B 【分析】 根据几何概型的概率公式计算对应的时间比即可 【详解】 解：由于观光车发车时段为60分种，某人等待时段为， 则等待时间不多于10分种的概率为， 故选：B 【点睛】 此题考查几何概型的概率计算公式，属于基础题 2．【答案】A 【分析】 设圆的半径为1，由得的范围，从而确定点满足的条件，再由几何概型公式算出概率. 【详解】 设圆的半径为1，则有，解得：， 又在直径上，所以所求的概率为. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了几何概率的计算，考查了圆的弦长的计算，考查了学生的运算求解能力. 3．【答案】B 【分析】 作出区域与区域，并计算出两个区域的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】 区域是由、、、为四个顶点的正方形及其内部， 区域是以原点为圆心，半径为的圆及其内部，如下图所示： 区域是边长为的正方形及其内部，区域的面积为， 区域的面积为， 因此，所求概率为. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用几何概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题. 4．【答案】C 【分析】 先原图形分割为相同的四部分，研究第一部分，计算出一个小阴影的面积，再利用这部分总面积，计算比值即得结果. 【详解】 如图，把原图形分割为相同的四部分，只需取其中一部分分析， 设最小正方形的边长为1，则由小图知，一个小阴影的一半的面积为圆的面积的减掉一个小三角形的面积，即一个小阴影的面积为． 则蚂蚁落在该地砖内，恰好在阴影部分的概率为． 故选：C． 【点睛】 本题解题关键是将图像分割成四块相同的部分，计算出一个小阴影的面积，进而利用面积比求得该几何概型的概率即可. 5．【答案】 【分析】 求解占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可. 【详解】 解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题. 6．【答案】C 【分析】 根据题意，可求出正方体的体积和正方体的内切球的体积，再由已知体积比即可求“牟合方盖”的体积，最后根据体积型几何概型的求法，即可求得正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率. 【详解】 解：正方体的棱长为2，则其内切球的半径为1， 设正方体的体积为，正方体的内切球的体积为，“牟合方盖”的体积为， 正方体的体积为：， 正方体的内切球的体积为：， 由题意得， 则“牟合方盖”的体积为：， 所以在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为： . 故选：C. 【点睛】 本题考查数学文化及正方体内切球、球的体积公式的应用，以及体积型几何概型的求法，考查运算求解能力. 7．【答案】C 【分析】 根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】 设阴影部分的面积是s，由题意得，选C. 【点睛】 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 8．【答案】D 【分析】 根据题意，利用均匀随机数的产生和几何概型即可求出结果. 【详解】 因为，所以. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了几何概型的应用，属于基础题. 考点冲关 1．【答案】C 【分析】 根据，求出的范围，结合几何概型，即可求出结果. 【详解】 由时， 由， 得或， 由几何概型得. 故选：C. 2．【答案】C 【分析】 设小圆的半径为，则大圆的半径为，计算出阴影部分区域的面积和大圆的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】 设小圆的半径为，则大圆的半径为， 则空白区域可看作是边长为的正方形与半径为的四个半圆组合而成， 所以，空白区域的面积为， 所以，阴影部分区域的面积为， 因此，所求概率为. 故选：C. 【点睛】 本题考查利用几何概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题. 3．【答案】D 【分析】 求出直线与圆相交的的取值范围，求出区间的长度后可得概率． 【详解】 直线与圆相交，则，解得， ∴所求概率为． 故选：D． 4．【答案】C 【分析】 由题可得，以直角边长组成的点在边长为1的正方形内部，满足斜边长小于1的点在的圆内部，利用几何概型概率公式即可求解． 【详解】 设直角边长分别为，，则，，建立直角坐标系， 对应的点在边长为1的正方形内部，如图 由斜边长小于1得：，即， 所以满足斜边长小于1的点在图中的圆内部， 所以斜边长小于1的概率为： 故选C 【点睛】 本题主要考查了几何概型概率计算及转化思想，属于基础题 5．【答案】C 【分析】 设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率． 【详解】 设甲到达的时刻为，乙到达的时刻为则所有的基本事件构成的区域 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为： （A）． 故选：C 【点睛】 方法点睛：几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代入几何概型的概率公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式. 6．【答案】C 【分析】 求出满足时所扫过的角度，利用角度比可得概率． 【详解】 当时，，， ∴所求概率为． 故选：C． 7．【答案】C 【解析】 试题分析：由题意可知所取的点应在图中阴影部分.从而其概率为.故本题正确答案为C． 考点：古典概型． 8．【答案】B 【分析】 先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：，得解． 【详解】 由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成， 设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件，由几何概型中的面积型可得： ， 故选B． 【点睛】 本题考查了识图能力及几何概型中的面积型，熟记公式即可，属于常考题型． 9．【答案】B 【分析】 由已知条件，得，结合，求出的范围，根据几何概型的概率公式，取值范围区间长度除以长度，即可求解. 【详解】 关于x的方程无实根， 得， 所以所求的概率为. 故选:B. 【点睛】 本题考查几何概型的概率，转化为区间的长度比，属于基础题. 10．【答案】A 【分析】 先求出1区域的面积占比，再根据几何概型，即可得解. 【详解】 设区域1的面积占比为， 有， 所以， 解得：， 根据几何概型的性质可得：抽中一等奖的概率是， 故答案为：A. 11．【答案】C 【分析】 由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程,解方程即可求得最终结果. 【详解】 解：设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：,解得S＝3. 故选:C. 【点睛】 本题考查几何概型及其应用,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于基础题. 12．【答案】B 【分析】 设该五铢钱的穿宽为厘米，根据几何概型的概率公式列式可解得结果. 【详解】 圆的半径为厘米，圆的面积为， 设该五铢钱的穿宽为厘米，则方孔面积为厘米， 根据几何概型可得，解得厘米. 故选：B 【点睛】 本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题. 13．【答案】D 【分析】 分别求出各自对应的面积即可求解结论． 【详解】 解：因为大正方形的面积为：； 而小正方的面积为：； 故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有6个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是：． 故选：． 【点评】 本题主要考查几何概型的求解，属于基础题目． 14．【答案】A 【分析】 分别计算灯笼的体积和灯笼内的灯焰的体积，结合几何概型的求解方法可求结果. 【详解】 设该灯笼的半径为，则，解得，所以该灯笼的体积立方尺立方寸，该灯笼内的灯焰的体积立方寸，所以该点取自灯焰内的概率为， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查几何概型，明确所求事件和事件空间蕴含的几何度量是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 15．【答案】 【分析】 由已知求出矩形的面积，以及使成立的点的对应区域面积，利用几何概型求值. 【详解】 解：由题意，， 矩形的面积为，如图， 使成立的区域为以为直径的半圆，面积为， 由几何概型公式得到向该矩形内随机投一点，则的概率为：. 故答案为：. 【点睛】 本题考查几何概型中的面积型及圆的面积公式，属于中档题. 16．【答案】 【分析】 利用扇形的面积计算公式即可得出. 【详解】 设扇形的圆心角为，大扇形的半径长为，小扇形的半径长为， 则，，. 根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为 . 故选：. 【点睛】 本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 17．【答案】 【分析】 利用几何概型的概率计算公式即可求解. 【详解】 设第一串彩灯闪亮的时刻为秒， 第二串彩灯闪亮的时刻为秒， 基本事件的总区域， 满足闪亮时刻相差不超过2秒的事件 ， 作出事件表示的区域（阴影部分）. 故答案为： 18．【答案】 【分析】 设大圆面积为，小圆面积，求得，，进而求得黑色区域的面积，结合面积比，即可求解. 【详解】 设大圆面积为，小圆面积，则，， 可得黑色区域的面积为， 所以落在黑色区域的概率为. 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 19．【答案】 【分析】 先判断几何体的形状并求体积，再判断满足条件的点构成的几何体形状并求体积，最后根据体积型几何概型求概率即可. 【详解】 解：根据几何体的三视图可知，几何体是底面半径为1，高为2的圆柱，其体积为 线段AB是底面的直径，线段AB的中点是底面圆的圆心， 几何体内到线段AB的中点的距离不大于1的点构成了以底面圆心为球心，半径为1的半球，其体积为， 根据体积型几何概型：点到线段AB的中点的距离不大于1的概率是， 故答案为：. 【点睛】 本题考查根据三视图还原几何体形状、空间的点构成的几何体、圆柱与球的体积公式、体积型几何概型求概率，是中档题. 20．【答案】 【分析】 根据题意，由分析实数对对应的平面区域，进而分析两数能与4构成钝角三角形三边的数对对应的区域面积，由几何概型公式分析可得． 【详解】 解：两数都小于4的正实数对构成的区域是，区域面积为16，其中两数能与4构成钝角三角形三边的数对还需满足，区域面积为，故，即. 故答案为： 【点睛】 本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，涉及几何概率的应用问题，属于基础题． 21．【答案】 【分析】 根据，得到的值，得到和的关系，然后得到大正方形的面积，和阴影小正方形的面积，根据几何概型的公式，求出答案. 【详解】 ∵， ∴， 不妨设，，则， 所以大正方形的面积为， 阴影小正方形的面积为， 所以概率为． 故答案为. 【点睛】 本题考查几何概型中的面积类问题，属于简单题. 22．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）列出满足题意的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. （2）作出满足题意的事件表示的平面区域，再利用几何概型的概率计算公式即可求解. 【详解】 解：（1）设送报人到达的时间为，小王离家去工作的时间为. 基本事件区域内的整点构成的，，，，，，，，，共9个， 事件区域由内的整点共1个，所以. （2）可以看成平面中的点， 试验的全部结果所构成的区域为， 一个正方形区域，面积为，事件表示小王离家前不能看到报纸， 所构成的区域为：， 即图中的阴影部分， 面积为，这是一个几何概型， 所以. 所以小王离家前不能看到报纸的概率是. 【点睛】 本题考查了古典概型的概率求法、几何概型的概率求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 23．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据古典概型概率公式计算； （2）设A与C､B与D之间的距离分别为和，用表示每次试验的结果，由试验结果为，记“A与C､B与D之间的距离都不小于”为事件M，则事件M的可能结果为.作出它们表示的平面区域，求出相应面积后可计算概率． 【详解】 两个报亭由甲､乙随机选择一个，属于古典概型，共有4个基本事件. 记M表示事件“甲､乙两人至少一个选择报亭C”，则M中包含3个基本事件.根据古典概型概率公式，甲､乙两人至少一个选择报亭C的概率. 构设变量.设A与C､B与D之间的距离分别为和. 集合表示.用表示每次试验的结果，则所有可能结果为，记“A与C､B与D之间的距离都不小于”为事件M，则事件M的可能结果为. 作出区域.如图所示，试验的全部结果构成区域为直线与两坐标轴所围成的而事件M所构成区域是三条直线所夹中间的阴影部分. 计算求解.根据几何概型公式，得到 . 所以A与C､B与D之间的距离都不小于的概率为. 【点睛】 本题考查古典概型和几何概型，难点在第（2）小题，解题关键是引入变量：设A与C､B与D之间的距离分别为和，这样可作为平面上的点，根据题意列出满足的关系，对应事件可用平面区域表示，从而由面积型几何概型概率公式可得结论． 24．【答案】（1）能；答案详见解析；（2）. 【分析】 （1）由公式计算出，与已知表中的数据做参考，求得答案； （2）求出图中正方向的面积，再求出图中阴影部分的面积，根据几何概型概率求出答案即可. 【详解】 （1）， 由于，故能在犯错误概率不超过0.010的前提下认为该校学生是否喜欢吃高热量的食物与胖瘦程度有关； （2）设甲、乙到达食堂的时刻分别为x，y，则可有，其表示的区域记为D， 表示的区域记为，作图得： 则甲比乙早到至少钟的概率. 【点睛】 本题考查列联表，要正确运用参考值；考查几何概型用面积求概率. 25．【答案】（1）；（2）千克；（3）. 【分析】 （1）利用频率之和为1计算； （2）由频率分布直方图估计平均值即组中值乘以对应频率之和； （3）该概率模型为几何概型，利用长度关系即可计算. 【详解】 （1）由频率之和为1，可得 ，所以； （2）由频率分布直方图，估计平均值即组中值乘以对应频率之和， ，所以鱼的重量为千克； （3）设游客在上午七点后随机到达码头乘船等待不超过10分钟的概率为 所以. 【点睛】 本题考查根据频率分布直方图计算图中参数以及估计平均值，考查几何概型的概率计算，属于基础题. 直通高考 1．【答案】B 【解析】不妨设正方形边长为，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积的一半． 由几何概型概率的计算公式得，所求概率为，选B． 【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域； 另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关． 2．【答案】B 【解析】因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B． 3．【答案】 【解析】由，即，得， 根据几何概型的概率计算公式得的概率是． 【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型来求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． （3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性． 基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 38 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！