考点40 排列、组合-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）.docx

考点40 排列、组合 【命题趋势】 从近五年的高考来看，本节内容是命题的热点，主要考查排列与组合的综合应用，分组分配问题是命题热点，多为选择题、填空题，难度中等偏下． 【重要考向】 本节内容主要通过排列、组合的应用考查逻辑推理核心素养． 计数原理 1．（1）使用分类加法计数原理遵循的原则： 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则． （2）应用分类加法计数原理要注意的问题： ①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事． ②完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法． ③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏． 2．应用分步乘法计数原理要注意的问题： （1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事． （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成． （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏． 3．（1）利用两个原理解决涂色问题 解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数． 解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题． （2）利用两个原理解决集合问题 解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有的子集有个，真子集有个． 【典例】 1．甲、乙、丙、丁4名同学到3个不同的景点旅游，每人只选择1个景点，则不同的选择种数为（ ）． A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理，考虑4名同学逐个选景点进行计数计算即可 【详解】每人都有3种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的选择． 故选：A 排列问题 解决排列问题的主要方法有： （1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置. （2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列. （3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. （4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. （5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”. 【典例】 2．某班上午有5节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是（ ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】A 【分析】先将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列，再将数学插空，由分步乘法计数原理计算即可. 【详解】将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列有种排法， 数学不排在第一节课，将数学插空有种， 由分步乘法计数原理可得不同的排课法的种数是种， 故选：A. 组合问题 方法指导： 组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏. 【典例】 3．为配合国家的精准扶贫战略，某省示范性高中安排名高级教师到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少安排人，则不同的分配方案有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】先分组，将六名教师分成“222”，“123”，和“114”三种形式，然后在分别讨论各情况的分配方案，最后把所有情况求和. 【详解】分配方式有三种：①如果分成“”的形式，则不同的分配方案有种；②如果分成“”的形式，则不同的分配方案有种；③如果分成“”的形式，则不同的分配方案有种. 共有种不同的分配方案. 故选：. 4．2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的，，三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______. 【答案】 【分析】由排列组合的知识可确定四名医生分配到三个城市，每个城市至少一名医生和城市A恰好只有医生甲去支援的情况种数，由古典概型概率公式可求得结果. 【详解】分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法， 当分成1，1，3时，有种情况，当分成1，2，2时，有种情况； 第二步，把这三组分到三个城市.则共有种情况. 城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市. 则共有（种）， 因此所求概率. 故答案为： 排列与组合的综合问题 【典例】 5．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙都能胜任四项工作，丁、戌不会开车但能从事其他三项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A．152 B．126 C．90 D．54 【答案】B 【分析】根据题意，按丁、戌的分工情况不同分两种情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，（2）丁、戌不同时参加一项工作，分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案 【详解】根据题意，分情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，种， （2）丁、戌不同时参加一项工作，进而又分为2种情况 一是甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作，则先从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给丁、戌有种，再从甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作有种，则有种， 二是丁或戌与甲、乙、丙三人中的一人承担同一份工作，先从甲、乙、丙三人中选一人与丁、戌中选一人承担同一份工作有种，然后从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给含丁或戌的两组有种，所以有， 由分类加法计数原理可得共有 故选：B 1．3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是（ ） A．81 B．64 C．24 D．12 2．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（ ） A．12 B．24 C．64 D．81 3．若把单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ） A．9 B．18 C．19 D．20 4．把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（ ） A．20个 B．62个 C．63个 D．64个 5．从名男生与名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有（ ）种． A．36 B．48 C．54 D．72 7．为贯彻“科学防疫”，学校实行“佩戴口罩、间隔而坐”的方案.若一排有个座位，安排名同学就坐，则共有________种不同的安排方法（用数字作答）. 8．年春，荆楚大疫，染者数万计.举国防，皆闭户.各地医院紧急派遣医护人员支援湖北.现长沙市某医院需要从医院某科室的名男医生、名女医生中分别抽调名男医生、名女医生前往武汉，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有__________种.(用数字作答) 9．在即将来临的五一长假期间，某单位本来安排、、、、共5个人在5天中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日时接到通知、员工必需出差，故调整为每天1人，每人至少值班1天，现在只有、、共3个人在五一长假期间共有______种不同的值班方案（用数字作答）． 1．（2021年全国乙卷（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 2．（2021年全国甲卷（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 3．（2019年全国卷（理科）（新课标Ⅰ））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A． B． C． D． 4．（2018年全卷理数（全国卷II））我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A． B． C． D． 1．已知，则可表示不同的值的个数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．三名防控新冠疫情志愿者分别报名参加甲､乙两个社区服务，每个人限报其中一个服务社区.则不同的报法种数是（ ） A．12种 B．9种 C．8种 D．6种 3．某日，从赣州到南昌的火车共有10个车次，飞机共有2个航班，长途汽车共有12个班次，若该日甲只选择这3种交通工具中的一种，则甲从赣州到南昌共有（ ） A．12种选法 B．24种选法 C．22种选法 D．14种选法 4．5名同学站成一排，若同学A与同学B相邻，且同学A与同学C不相邻，则不同的排法种数为（ ） A．36 B．25 C．16 D．48 5．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A．160 B．200 C．210 D．220 6．在某校举行一次阅读分享活动中，需从4名男生和3名女生中任选4人参加，若这4人必须既有男生又有女生，则不同的选法的种数是（ ） A． B． C． D． 7．高三某班课外演讲小组有4位男生、3位女生，从中选拔出3位男生、2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（ ） A．864种 B．432种 C．288种 D．144种 8．学校准备在周二上午第1、2、3、4节举行化学、生物、政治、地理共4科选考科目讲座，要求生物不能排在第1节，政治不能排在第4节，则不同的安排方案的种数为（ ） A．12 B．14 C．20 D．24 9．用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为______． 10．近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、红、绿四种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法.（用数字作答） 参考答案 跟踪训练 1．【答案】B 【分析】有题意可知每个同学有4种不同的选法，按照分步计数原理相乘即可. 【详解】解：因为每个同学可自由选择一门，所以每个同学有4种不同的选法，所以共有种不同的选择种数. 故选：B 2．【答案】B 【分析】题目考察简单的排列问题，即四本书选三本给三个人，符合的含义 【详解】4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为． 故选：B 3．【答案】C 【分析】先排字母“e”和“o”，在5个位置中任选2个，再排3个“r”， 结合分步计数原理即可求出所有的排法，减去正确的1种顺序即可求出结果. 【详解】单词“error”中有5个字母，其中3个“r”，先排字母“e”和“o”，在5个位置中任选2个，放置字母“e”和“o”，则共有种，再排3个“r”，直接放进剩余的3个位置即可，有1种，结合分步计数原理可得，这5个字母共有种放法，其中正确的有1种，故可能出现的错误写法的种数为种， 故选：C. 4．【答案】B 【分析】该数列恰好先减后增，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，根据7前面的数字的个数多少分类即可． 【详解】该数列恰好先减后增，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当7前有1个数字时，有种， 当7前有2个数字时，有种， 当7前有3个数字时，有种， 当7前有4个数字时，有种， 当7前有5个数字时，有种， 根据分类计数原理，共有种， 故选：B． 5．【答案】B 【分析】可以用直接分类分步方法求解；也可以从反面间接计算. 【详解】解法一：根据题意，选取的２人中，女生人数为１人或２人， 选派的方法数有; 解法二：没有女生的选派方法为所选两人都是男生，有种，从5人中选2人总的选派方法有，故至少有一名女生的选派的方法数有. 故选：B. 6．【答案】D 【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】解：由题意，如图，假设5个区域为分别为1、2、3、4、5， 分2种情况讨论： 当选用3种颜色花卉的时，2、4同色且3、5同色，共有涂色方法种， 当4种不同颜色的花卉全选时，即2、4或3、5用同一种颜色，共有种， 则不同的种植方法共有种； 故选：D. 7．【答案】 【分析】题目考察简单的排列问题，先排空座，一种情况，出现6个空，再将5名学生插空排列 【详解】根据题意，一排有个座位，先排个空座位不坐学生，形成个空位，再在个空位中任选个位置就坐，则有种不同的安排方法. 8．【答案】 【分析】利用组合数求选派方法. 【详解】由题意可知不同的选派方法有种. 故答案为： 9．【答案】150 【分析】由题知，3人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天；1人值1天，其余2人各值2天.分别计算出结果相加即可. 【详解】由题知，3人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天，共有种方案；1人值1天，其余2人各值2天，共有. 因此共有种值班方案. 故答案为：150 真题再现 1．【答案】C 【分析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 2．【答案】C 【分析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 3．【答案】A 【分析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A． 4．【答案】C 【详解】：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C. 模拟检测 1．【答案】B 【分析】对的值一一列举即可得到答案. 【详解】因为， 所以时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 一共有9个不同结果. 故选：B 2．【答案】C 【分析】由题意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2种选择，结合分步计数原理计算即可得到答案. 【详解】由题意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2种选择，即2种情况，则不同的报法种数是种， 故选：C. 3．【答案】B 【分析】根据计数原理的加法法则可得选项. 【详解】由计数原理的加法法则可得，甲从赣州到南昌共有10+2+12=24种选法. 故选：B. 4．【答案】A 【分析】先利用捆绑法求得同学A与同学B相邻的排法，减去其中A与C相邻的情况种数，即得所求. 【详解】将A、B捆绑在一起看成一个元素，与其余3名同学排列，并注意A、B之间的不同顺序排列，同学A与同学B相邻的排法有中排列方法，其中A与C相邻的情况有CAB,BAC两种，每一种看做一个元素，与另外的两名同学全排列，有种排列，故符合题意的不同排法种数为, 故选：A. 5．【答案】C 【分析】根据每级台阶最多站2人，运用分类讨论思想，结合排列、组合的定义进行求解即可. 【详解】当甲、乙、丙3人单独站在一级台阶上，共有种方法； 当甲、乙、丙3人中有两人在同一台阶上，另一人在另一个不同的台阶上， 共有种方法， 所以不同的站法种数是种方法， 故选：C 6．【答案】D 【分析】这4人必须既有男生又有女生分为3类，然后根据分步计数原理以及组合数分别求出结果，再利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】这4人必须既有男生又有女生分为3类， （1）1男生3女生，共有种， （2）2男生2女生，共有种， （3）3男生1女生，共有种， 根据分类计数原理，共有种， 故选：D. 7．【答案】A 【分析】分步完成：第一步选3位男生排列，第二步选2位女生插入男生形成的空档中，由乘法原理可得． 【详解】由题意可分步完成：第一步选3位男生排列，第二步选2位女生插入男生形成的空档中， 方法数为． 故选：A． 8．【答案】B 【分析】根据生物进行分类，根据分类计数原理求解 【详解】解：若生物排在第4节，则其它3节任意排，则有种， 若生物不排在第4节，则生物排在第2节或第3节，然后将政治排在前3节中的剩下的2节，最后化学、地理排在剩下的2节，则有种， 所以根据分类计数原理可知共有种， 故选：B 9．【答案】120 【分析】分红色可以涂2个圆或3个圆讨论；当涂2个圆时，再分涂色的位置逐个分析即可 【详解】根据题意，红色至少要涂2个圆，则红色可以涂2个圆或3个圆，共2种情况讨论：（1）红色涂3个圆，则红色只能涂第1，3，5个圆，此时有种涂法， （2）红色涂2个圆， 若红色涂第1，3个圆，有种涂法， 若红色涂第1，4个圆，有种涂法， 若红色涂第1，5个圆，则有种涂法， 若红色涂第2，4个圆，有种涂法， 若红色涂第2，5个圆，有种涂法， 若红色涂第3，5个圆，有种涂法， 此时有种， 所以共有种， 故答案为：120 【点睛】本题主要考查分类与分步计数原理，需要根据题意先对可能的情况进行分类，再根据特殊位置有限考虑进行分析，属于中档题 10．【答案】 【分析】分用三种颜色或四种颜色涂色该区域，当用四种颜色涂色该区域时，分两种情况讨论，当区域同色时和不同色时两种情况讨论求解即可. 【详解】解：当用三种颜色涂色该区域时，先从四种颜色中选三种颜色，有种方案，再用三种颜色涂色，则有种方案，故有种方案； 当用四种颜色涂色该区域时，分两种情况讨论，当区域同色时，有种不同方案，当区域不同色时，有种不同方案，故有种不同方案. 综上，共有种不同方案. 故答案为： 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司