考点35 椭圆-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）.docx

考点35 椭圆 【命题趋势】 从近五年的考查情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上． 【重要考向】 本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用． 椭圆的定义 方法策略： （1） 椭圆定义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理. （2）注意以下公式的灵活运用： （1）； （2）； （3）. 【典例】 1．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，直接求解. 【详解】设点到另一个焦点的距离为， 由椭圆方程可知，， 则，所以. 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．属于基础题. 椭圆的标准方程 求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）. 第二步，设方程.根据上述判断设方程为或. 第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 【典例】 2．已知定点F1，F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段 【答案】D 【分析】直接利根据动点的轨迹进行判断即可. 【详解】因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1 F2. 故选：D 3．椭圆：的短轴长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】取分母较小的为可得短轴长． 【详解】由已知，，． 故选：C． 椭圆的几何性质 1．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了. 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a,c，代入公式. （2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）. 4．已知椭圆的一个焦点为，则m的值为（ ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点坐标确定参数c及长轴的位置，进而求m的值. 【详解】由题意知：且长轴在轴上， ∴，即. 故选：B 5．椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则m的最大值为_______ 【答案】25 【分析】利用椭圆的定义和基本不等式即可求出m的最大值. 【详解】设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5， 即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25 故答案为：25. 1．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 3．椭圆与关系为（ ） A．有相等的长轴 B．有相等的短轴 C．有相等的焦点 D．有相等的焦距 4．椭圆的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 5．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．如图所示，点F是椭圆的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，若，则椭圆M的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______． 9．若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________． 1．（2021年全国乙卷（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ） A． B． C． D．2 2．（2021年全国乙卷（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 4．（2021年全国甲卷（理））已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 5.（2021年浙江卷） 已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 6.（2019年浙江卷）已知椭圆左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______. 7．（2020年全国卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点. 8．（2020年全国卷（文科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． （1）求C1的离心率； （2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 9．（2020年全国卷（理科）（新课标Ⅱ））已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|. （1）求C1的离心率； （2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程. 10．（2020年全国卷（理科）（新课标Ⅲ））已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 11. （2020年浙江卷）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）． （Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 1．已知椭圆上的一点到焦点的距离为，点是的中点，为坐标原点，则等于（ ） A．2 B．4 C．7 D． 2．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ） A．2 B．6 C．4 D．12 3．“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．点、分别在圆和椭圆上，则、两点间的最大距离是（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为则，椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知､是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（ ） A． B． C． D． 9．关于椭圆：，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：的焦距为6；丁：的焦点在轴上.如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．已知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦，若的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（ ） A． B． C． D． 11．设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________. 12．已知椭圆，若其左焦点到右顶点的距离为2，则a的值为_______． 13．已知点，的周长是，则的顶点的轨迹方程为___. 14．已知椭圆C：的左、右顶点分别为, ，且以线段,为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为_____. 参考答案 跟踪训练 1．【答案】B 【分析】由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解. 【详解】因动点满足关系式， 则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而， 即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有， 所以动点M的轨迹方程为. 故选：B 2．【答案】A 【分析】设经过两点和点的椭圆标准方程为，利用待定系数法能求出椭圆方程． 【详解】设经过两点和点的椭圆标准方程为 ， 代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为． 故选：A． 3．【答案】D 【分析】分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案 【详解】解：椭圆的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为， 椭圆的长轴为，短轴为，焦距为8，焦点分别为， 所以两椭圆的焦距相同，故选：D 4．【答案】A 【分析】根据椭圆的简单几何性质计算可得； 【详解】解：因为椭圆方程为，焦点在轴上，且，，因为，所以，所以焦点坐标为、故选：A 5．【答案】C 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】由于椭圆的焦点在轴上，∴，解得或.故选：C 6．【答案】A 【分析】作为椭圆M的左焦点，连接．设，则，，则，根据题意可得从而可求出离心率 【详解】如图，作为椭圆M的左焦点，连接．设， 则，，， 因为A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，， 所以 所以可得．故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的定义的应用和椭圆离心率的求法，解题的关键是根据题意作为椭圆M的左焦点，连接，从而可由已知可得，然后在两个直角三角形和中利用勾股定理列方程可求出离心率，考查转化思想和计算能力，属于中档题 8．【答案】 【分析】由题设条件设出椭圆方程，再列出关于a2与b2的方程组即可作答. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16， 设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16， 又点(，－)在所求椭圆上，即， 联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 9．【答案】 【分析】根据题意可得，由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，去除不符合题意的点，进而可得点的轨迹方程. 【详解】因为的两个顶点，，所以， 因为三角形周长为，即， 所以， 由椭圆的定义：动点到定点，两点的距离之和等于定值，且距离之和大于两定点间的距离， 所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆， 所以，，， 可得椭圆的方程为：， 又因为三点不共线，所以点不能在轴上， 所以顶点的轨迹方程是：， 故答案为： 真题再现 1．【答案】A 【分析】设点，因为，，所以 ， 而，所以当时，的最大值为． 故选：A． 2．【答案】C 【分析】设，由，因为，，所以 ， 因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即； 当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立． 故选：C． 3．【答案】C 【分析】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 4．【答案】 【分析】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于.故答案为：. 5.【答案】 ①. ②. 【解析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率． 【详解】 如图所示：不妨假设，设切点为， ， 所以, 由，所以，， 于，即，所以． 故答案为：；． 6.【答案】 【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法1：由题意可知， 由中位线定理可得，设可得， 联立方程 可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方， 求得，所以 方法2：焦半径公式应用 解析1：由题意可知， 由中位线定理可得，即 求得，所以. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径. 7．【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【分析】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ， ，， 椭圆方程为： （2）证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． 8．【答案】（1）；（2）：，： . 【分析】：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中. 不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：， 所以当时，有，因此的纵坐标分别为，； 又因为抛物线的方程为，所以当时，有， 所以的纵坐标分别为，，故，. 由得，即，解得（舍去），. 所以的离心率为. （2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为. 由已知得，即. 所以的标准方程为，的标准方程为. 9．【答案】（1）；（2），. 【分析】（1），轴且与椭圆相交于、两点， 则直线的方程为， 联立，解得，则， 抛物线的方程为，联立， 解得，， ，即，， 即，即， ，解得，因此，椭圆的离心率为； （2）由（1）知，，椭圆的方程为， 联立，消去并整理得， 解得或（舍去）， 由抛物线的定义可得，解得. 因此，曲线的标准方程为， 曲线的标准方程为. 10．【答案】（1）；（2）. 【分析】（1） ，， 根据离心率， 解得或(舍)， 的方程为：，即； （2）不妨设,在x轴上方 点在上，点在直线上，且，， 过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为 根据题意画出图形，如图 ，，， 又，， ， 根据三角形全等条件“”，可得：， ，，， 设点为， 可得点纵坐标为，将其代入， 可得：， 解得：或，点为或， ①当点为时， 故，，， 可得：点为， 画出图象，如图 ,， 可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：， 根据两点间距离公式可得：， 面积为：； ②当点为时， 故， ，， 可得：点为， 画出图象，如图 ,， 可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：， 根据两点间距离公式可得：， 面积为：， 综上所述，面积为：. 11. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为； （Ⅱ）设， 由， ， 由在抛物线上，所以， 又， ，， . 由即 ， 所以，，， 所以，的最大值为，此时. 法2：设直线，. 将直线的方程代入椭圆得：， 所以点的纵坐标为. 将直线的方程代入抛物线得：， 所以，解得，因此， 由解得， 所以当时，取到最大值为. 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题. 模拟检测 1．【答案】C 【分析】利用椭圆的定义和三角形中位线定理即可求解. 【详解】如图所示，设椭圆的另一焦点为，因为O、M分别是F1F2和PF1的中点，所以, 而由椭圆的方程得a=10，2a=20，所以, 所以=7， 故选：. 2．【答案】C 【分析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答. 【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴， A是椭圆的一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上， 由椭圆定义得， 所以的周长 故选：C 3．【答案】B 【分析】先求出给定方程表示椭圆的等价条件构成的集合，再与集合比对即可判断得解. 【详解】方程表示椭圆，则有，解得或， 于是得方程表示椭圆的m取值集合为， 显然，Ü， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 4．【答案】C 【分析】设点，利用二次函数的基本性质可求得点到圆心的最大距离，结合圆的几何性质可求得结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点，则且， ，当且仅当时，等号成立， 所以，. 故选：C. 5．【答案】A 【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可得椭圆方程 【详解】解：由题意可得，解得，， 所以， 所以椭圆的方程为， 故选：A 6．【答案】B 【分析】根据的面积以及该三角形为直角三角形可得，，然后结合，简单计算即可. 【详解】依题意有，所以 又，，所以， 又，可得， 即，则，故选：B. 7．【答案】D 【分析】由长轴长是焦距的得，再把已知点的坐标代入，结合可解得得椭圆方程． 【详解】由题意，解得，所以椭圆方程为．故选：D． 8．【答案】C 【分析】先利用周长为求得值，得到M，N坐标，再设点，利用直线AM与AN的斜率之积构建关系，结合满足已知方程，解得，即得结果. 【详解】由△AF1B的周长为，可知，解得，则， 设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得，即 ①． 又，所以 ②， 由①②解得，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C． 9．【答案】A 【分析】利用题中的条件，假设甲乙都对，根据逻辑关系可以推出矛盾，进而可以确定选项． 【详解】解：当甲乙为真命题时，椭圆方程为， 椭圆的焦距为：，且焦点在轴上， 此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题． 当乙，丙和丁是真命题时，，， ， 此时椭圆方程为：，符合题意，故甲是假命题．故选：． 10．【答案】D 【分析】根据焦点三角形的特征可得，再由离心率可得，经计算即可得解. 【详解】由的周长为16，可得，所以， 又由， 所以，， 所以椭圆的方程为.故选：D 11．【答案】 【分析】求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的等量关系式，从而求出离心率 【详解】 设，则，， ，.， 在中，由余弦定理得，， ， 化简可得，而，故， ，， ，，是等腰直角三角形， ，椭圆的离心率 ，故答案为：. 【点睛】题目考察比较综合，需要根据图形列出各边之间的关系式，找到关于之间的关系，进而求解离心率，涉及到了以下考点： （1）椭圆的第一定义 （2）三角形的余弦定理 （3）离心率的计算 12．【答案】 【分析】由已知得左焦点为，由右顶点为，左焦点到右顶点的距离为可得答案. 【详解】由已知得，， 所以左焦点为，右顶点为， 左焦点到右顶点的距离为，解得.故答案为：. 13．【答案】 【分析】由于点P满足，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且的椭圆（由于P与M、N不共线，故），再利用待定系数法求解. 【详解】由于点P满足， 知点P的轨迹是以M、N为焦点，且的椭圆（由于P与M、N不共线，故）， ∴， 又，∴， 故的顶点P的轨迹方程为， 故答案为：. 14．【答案】 【分析】根据直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，可得关于 的方程，再利用离心率的计算公式可得. 【详解】椭圆C：的左、右顶点分别为,,以线段,为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，根据直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于半径， 则有 ，即 ，可得 ， 椭圆的离心率为 .故答案为： 28 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司