考点28 空间几何体的表面积与体积-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点帮 .docx

考点28 空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积与体积的求解是高考的重点，会单纯出现在选择题或填空题中，我们要重点了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 一、柱体、锥体、台体的表面积 1．旋转体的表面积 圆柱（底面半径为r，母线长为l） 圆锥（底面半径为r，母线长为l） 圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l） 侧面展开图 底面面积 侧面面积 表面积 2．多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系： 二、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 (S为底面面积，h为高),(r为底面半径，h为高) 锥体 (S为底面面积，h为高)， (r为底面半径，h为高) 台体 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， (r′、r分别为上、下底面半径，h为高) 2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系 3．必记结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 三、球的表面积和体积 1．球的表面积和体积公式 设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为. 2．球的切、接问题（常见结论） （1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是． （2）若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是． （3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 考向一 柱体、锥体、台体的表面积 1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积． 2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏. 3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积. 典例1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成， 其表面积为， 故选D． 【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱． 典例2 若正四棱柱的底边长为2，与底面成45°角，则三棱锥的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由与底面成45°角，且正四棱柱的底边长为2，可知棱柱的高为，故三棱锥的表面积为 故答案为A. 1．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．在直三棱柱中，，若一个球和它各个面相切，则该三棱柱的表面积为（ ） A．60 B．180 C．240 D．360 考向二 柱体、锥体、台体的体积 空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有： （1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． （2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解． ①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积. ②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法． （3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 典例3 如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据三视图可得，该几何体是三棱柱割去一个三棱锥所得的几何体，如图所示： 所以其体积为. 故选D. 典例4 如图，几何体EF-ABCD中，DE⊥平面ABCD，CDEF是正方形，ABCD为直角梯形，AB//CD，AD⊥DC，是腰长为22的等腰直角三角形． （1）求证：BC⊥AF； （2）求几何体EF-ABCD的体积. 【解析】（1）因为是腰长为22的等腰直角三角形， 所以AC⊥BC. 因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥BC. 又DE//CF，所以CF⊥BC， 又AC∩CF=C，所以BC⊥平面ACF. 所以BC⊥AF. （2）因为是腰长为22的等腰直角三角形， 所以AC=BC=22,AB=AC2+BC2=4， 所以AD=BCsin∠ABC=22×sin45°=2,CD=AB-BCcos∠ABC=4-22×cos45°=2. 所以DE=EF=CF=2， 由勾股定理得AE=AD2+DE2=22， 因为DE⊥平面ABCD， 所以DE⊥AD. 又AD⊥DC,DE∩DC=D， 所以AD⊥平面CDEF. 所以 . 3．一个四棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积=___________. 4．如图，四棱锥中，底面为梯形，，点为的中点，且，点在上，且. （1）求证://平面 （2）若平面平面，且，求三棱锥的体积. 考向三 球的表面积和体积 1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径. 2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系. 4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：. 典例5 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑， 平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由题可知，底面为直角三角形，且， 则， 则球的直径， 则球的表面积. 故选C. 典例6 四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为 A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA， ∵底面，∴OE⊥底面ABCD， 可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球的半径为R， 可得，则， 解得PA=1. 故选C． 5．某几何体的三视图如图所示，其中三个圆的半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是，则它的体积是（ ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 考向四 空间几何体表面积和体积的最值 求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路： 一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断； 二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决. 典例7 如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2. （1）求证：BC⊥平面A1AC; （2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.　　　　 【解析】（1）因为C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径, 所以BC⊥AC. 因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以AA1⊥BC. 又AA1∩AC=A, 所以BC⊥平面AA1C. （2）方法一：设AC=x(0<x<2), 在中,BC=AB2-AC2=4-x2, 故V三棱锥A1-ABC=13S△ABC×AA1=13×12×AC×BC×AA1=x4-x2=13x2(4-x2)=13-(x2-2)2+4. 因为0<x<2,0<x2<4, 所以当x2=2,即x=2时,三棱锥A1-ABC的体积取得最大值. 方法二：在中,AC2+BC2=AB2=4, 从而V三棱锥A1-ABC=13S△ABC×AA1=13×12×AC×BC×AA1=AC×BC≤13×AC2+BC22=23,当且仅当 AC=BC=2时等号成立. 所以三棱锥A1-ABC的体积的最大值为. 7．四棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为54，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 1．棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱柱中，底面，，，那么三棱锥的体积是（ ） A． B． C．4 D．8 4．在直角三角形中，，，，以边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是（ ） A． B． C． D． 5．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制丈尺，斛立方尺，圆周率），则该圆柱形容器能放米（ ） A．斛 B．斛 C．斛 D．斛 7．在直三棱柱中，，，则该直三棱柱的外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 8．已知四棱锥的所有顶点都在半径为（为常数）的一个球面上，底面是正方形且球心到平面的距离为1，若此四棱锥体积的最大值为6，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 9．球的球面上有四点、、、，其中、、、四点共面，是边长为2的正三角形，平面平面，则棱锥的体积的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 10．若正方体的表面积为24，则这个正方体的外接球的表面积为_______． 11．正方体中，连接相邻两个面的中心可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为________． 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____. 13．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为______. 14．如图，已知点M，N分别为平行六面体的棱，的中点，设的面积为，平面AMN截平行六面体所得截面面积为S，五棱锥的体积为，平行六面体的体积为V，则__________，__________. 15．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为的正方体的个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是 . 由此可知，该实心工艺品的表面积是____. 16．如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3. （1）求正三棱锥的表面积； （2）求正三棱锥的体积. 1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 A． B． C．1 D． 2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2 3．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为 A． B． C． D． 4．【2020年高考天津】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 5．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 A． B． C． D． 6．【2020年高考浙江】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是 A． B． C．3 D．6 7．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是 A．158 B．162 C．182 D．324 8．【2018年高考全国I卷文数】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A．8 B． C． D． 9．【2018年高考全国I卷文数】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D． 10．【2018年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A．2 B．4 C．6 D．8 11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D． 12．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 13．【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是_______． 14．【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm. 15．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g. 16．【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 17．【2019年高考天津卷文数】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 18．【2019年高考江苏卷】如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是 ▲ . 19．【2018年高考江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________． 20．【2018年高考天津卷文数】如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________． 21．【2018年高考全国II卷文数】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________． 22．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积. 23．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积． 24．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且． （1）证明：平面平面； （2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． 变式拓展 1．【答案】A 【解析】 【分析】 先找到几何体的原图，再求几何体的表面积. 【详解】 由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如图所示（四棱锥）： 其底面ABCD为一个底边长是和2的矩形，侧面PBC是边长为的正三角形，侧面ABP，ADP，CDP均是边长为2的等腰直角三角形， 所以其表面积为， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．【答案】B 【解析】 【分析】 直三棱柱的内切球的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的内切圆的半径即可求解结论. 【详解】 解：由题意知内切球的半径为与底面三角形的内切圆的半径相等， 而三角形为直角三角形，，所以， 设三角形内切圆的半径为，由面积相等可得：， 所以，所以直三棱柱的高为：， 所以直三棱柱表面积， 故选：. 【点睛】 本题考查三棱柱内切球问题，确定内切球的半径为与底面三角形的内切圆的半径相等是解题关键． 3．【答案】 【解析】 【分析】 首先根据题意画出三视图的直观图，再计算体积即可. 【详解】 该几何体的直观图，如图所示： 由三视图知：底面为正方形，平面，. 连接，如图所示： 根据三视图可知：，所以, 所以. 故答案为： 【点睛】 本题主要考查三视图的还原，同时考查四棱锥的体积，属于简单题. 4．【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）如图所示，取的中点，连结、，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）利用等体积转化得到，计算体积. 【详解】 （1）如图所示，取的中点，连结、， 因为点为的中点，且， 所以且， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以∥平面； （2）， ，， 平面平面，且平面平面， ，取的中点，连结，则平面， ，, 【点睛】 本题考查线面平行，几何体体积，重点考查推理，转化，计算能力，属于中档题型. 方法点睛：不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行. 5．【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图可知其对应的几何体为一个切去了的球，设该球的半径为，计算表面积列方程可得半径，进而可求体积. 【详解】 由三视图可知其对应的几何体为一个切去了的球，设该球的半径为， 由，得， 所以此几何体的体积为. 故选A. 【点睛】 本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体的表面积的求解，考查了学生的空间想象力及计算能力，属于基础题. 6．【答案】C 【解析】 【分析】 由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，得球表面积． 【详解】 因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球． 故选：C． 【点睛】 本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是求出球的半径，方法是把球放在一个长方体中，三棱锥的各棱是长方体六个面上面对角线． 7．【答案】C 【解析】 【分析】 根据四棱锥体积的最大值为54，可求得P到平面的最大距离，根据四棱锥的几何性质，即可求得球O的半径r，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】 设球心到平面的距离为h，球O的半径为r， 根据题意，当P到平面距离最大，即为r+h时，四棱锥的体积最大， 所以，解得， 又都在球面上，设平面所在圆心为，由题意得， 所以，解得， 所以表面积. 故选：C 【点睛】 本题关键点在于根据体积最大值，求得P到平面的最大距离，再根据外切关系，利用勾股定理，求得半径r，考查空间想象，分析计算的能力，属中档题. 考点冲关 1．【答案】C 【解析】 【分析】 根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长求解. 【详解】 因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长， 所以， 解得， 所以球的表面积为：. 故选：C 2．【答案】D 【解析】 【分析】 首先确定该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，根据尺寸计算即可. 【详解】 观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球， 故几何体的体积为：， 故选D. 【点睛】 本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，然后根据其尺寸计算体积，属于中档题. 3．【答案】A 【解析】 【分析】 椎体的体积公式，因此要找到三棱锥的高和底面，由题知为高，底面为直角三角形，代入公式计算即可. 【详解】 底面 为三棱锥的高 为底面 故选：A. 4．【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆锥的定义以及圆锥的体积公式即可求出． 【详解】 根据题意以及圆锥的定义可知，将该直角三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，高为，所以其体积为. 故选：C． 【点睛】 本题主要考查圆锥的定义以及圆锥的体积公式的应用，属于容易题． 5．【答案】A 【解析】 分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，进而得到结果． 详解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体， 三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，，半圆柱的底面半径为1，高为2， 故组合体的表面积为， 故选A． 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 6．【答案】B 【解析】 【分析】 计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果. 【详解】 设圆柱形容器的底面圆半径为，则（尺）， 所以，该圆柱形容器的体积为（立方尺）， 因此，该圆柱形容器能放米（斛）. 故选：B. 【点睛】 本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题. 7．【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知将直三棱柱可以补成一个正方体，则直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，而正方体外接球的直径是正方体的对角线，从而可得答案 【详解】 解：因为直三棱柱中，，， 所以将直三棱柱补成棱长为4的正方体，如图所示 直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为，则 ，解得， 所以外接球的体积为， 故选：B 【点睛】 此题考查求直三棱柱外接球的体积，考查数学转化思想，属于基础题 8．【答案】A 【解析】 【分析】 求出，根据，求出，根据球的体积公式可得解. 【详解】 因为，所以， 得，得， 有，有， 得，所以球的体积为. 故选：A 【点睛】 本题考查了棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，属于基础题. 9．【答案】B 【解析】 【分析】 由于面面，所以点在平面上的射影落在上，根据球体的对称性可知，当在“最高点”，也就是说为中点时，最大，三棱锥的体积最大，计算出的长以及的面积，利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】 如下图所示： 由于面面，所以点在平面上的射影落在上，根据球体的对称性可知，当在“最高点”，也就是说为中点时，最大， 是边长为的等边三角形，所以，球的半径为， 在中，，， 所以三棱锥的体积为. 故选：B 【点睛】 易错点晴：球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学的重要题型，也是高考和各级各类考试的难点内容．本题将三棱锥与外接球整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心的位置是的外心，再求外接球的半径，并确定当为三棱锥的高时，该三棱锥的体积最大. 10．【答案】 【解析】 【分析】 先由正方体的表面积为24，求得正方体的棱长，然后根据正方体的体对角线是其外接球的直径求解. 【详解】 因为正方体的表面积为24， 所以正方体的棱长为2， 又正方体的体对角线是其外接球的直径， 故， 所以， 所以． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查几何体的外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 11．【答案】. 【解析】 【分析】 根据正方体的几何结构，得到构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，再利用椎体的体积公式，即可求解. 【详解】 由题意，正方体的棱长是1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，如图所示， 以上面一个正四棱锥为例，它的高等于正方体棱长的， 正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是， 所以这个正四棱锥的体积是×××＝， 所以构成的八面体的体积是2×＝. 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查了正方体的几何结构特征，以及锥体的体积计算，其中解答中熟记正方体的几何结构特征，得到构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力. 12．【答案】4+4. 【解析】 【分析】 首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积. 【详解】 根据几何体的三视图转换为直观图为， 该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体. 如图所示： 所以4+4. 故答案为：4+4. 【点睛】 本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题. 13．【答案】 【解析】 【分析】 设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，根据等体积法求解即可. 【详解】 解：设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h， 左侧倒圆锥形沙堆的体积， 右侧圆锥形沙堆的体积， 由得. 故答案为：. 【点睛】 本题考查等体积法求，圆锥的体积计算公式，考查运算能力，是基础题. 14．【答案】 【解析】 【分析】 第一空可由点A到平面的距离等于平面到平面的距离，然后用锥体和柱体的体积公式计算即可，第二空则需运用面面平行的性质定理补全截面，然后用面积公式处理. 【详解】 因为点A到平面的距离等于平面到平面的距离，所以设该距离为d，则； 因为平面平面， 所以平面AMN与平面和平面的交线相互平行， 又因为平面AMN平面， 且MN分别为各自所在棱的中点， 所以平面AMN平面， 所以平面AMN截平行六面体所得截面为梯形， 设梯形的高为h， 所以. 故答案为：；. 15．【答案】 【解析】 【分析】 设截面圆半径为，球的半径为，求出截面圆的半径，利用几何关系可求出球体的半径，求出球体的表面积和一个球冠的表面积，再利用球体的表面积减去个球冠的表面积并加上个截面圆的面积可得出该实心工艺品的表面积. 【详解】 设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即此距离为， 根据截面圆的周长可得，得，故，得， 所以球的表面积． 如图，，且，则球冠的高， 得所截的一个球冠表面积，且截面圆面积为， 所以工艺品的表面积． 故答案为：；. 【点睛】 求解组合体的表面积应注意重合部分的处理，求解本题中几何体的表面积要注意根据题中信息计算出球冠的表面积，同时注意在球体中截去的部分以及增加的部分的面积的处理. 16．【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求； （2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.求解，再由棱锥体积公式求解. 【详解】 （1）取的中点D，连接， 在中，可得. ∴. ∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形， ∴正三棱锥的侧面积是. ∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴. 则正三棱锥的表面积为； （2）连接，设O为正三角形的中心，则底面. 且. 在中，. ∴正三棱锥的体积为. 【点睛】 本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题. 直通高考 1．【答案】C 【解析】设球的半径为，则，解得：. 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离. 故选：C． 【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 2．【答案】C 【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形 根据立体图形可得： 根据勾股定理可得： 是边长为的等边三角形 根据三角形面积公式可得： 该几何体的表面积是：. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 3．【答案】A 【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 4．【答案】C 【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即， 所以，这个球的表面积为. 故选：C． 【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 5．【答案】D 【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形， 则其表面积为：. 故选：D． 【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 6．【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题. 7．【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为. 故选B. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 8．【答案】C 【解析】在长方体中，连接， 根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得， 所以该长方体的体积为， 故选C. 【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长、宽、高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，最终求得结果. 9．【答案】B 【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为， 所以其表面积为， 故选B. 【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和. 10．【答案】C 【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为 故选C. 【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求