考点09 函数模型及其应用-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）.docx

考点09 函数模型及其应用 【命题趋势】 函数模型及应用.一般出现在选择题和填空题的后两题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度较大. 【重要考向】 本节通过零点问题考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的运用，以及考生的逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 二次函数模型的应用 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题. 【典例】 1.在如图所示的三角形空地中，欲建一个如图所示的内接矩形花园（阴影部分），则该矩形花园的面积的最大值为( ) A. 120 B. 210 C. 225 D. 300 答案及解析： 1.C【分析】可设矩形的长为，宽为，则以长为底的三角形和该锐角三角形相似，再根据相似比求出与的关系式，表示出面积关于的关系式，即可求解 【详解】设矩形的长为，宽为，则以长为底的三角形和该锐角三角形相似，可得，则矩形面积，当矩形长时，面积最大，为225 故选：C 【点睛】本题考查以三角形为载体建立的一元二次函数求最值问题，找出长与宽的等量代换关系是解题关键 指数函数、对数函数模型的应用 （1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系. （2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可. 【典例】 2.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系 （k，m为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，则该食品在36℃的保鲜时间是（ ） A. 4小时 B. 8小时 C. 16小时 D. 32小时 答案及解析： 2.A【分析】由该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，列出方程组，求出e9k，由此能出该食品在36的保鲜时间． 【详解】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（k，m为常数）， 该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时， ∴，解得e9k， ∴该食品在36℃的保鲜时间：y＝e36k+m＝（e9k）4×＝（）4×64＝4（小时）． 故选：A． 【点睛】本题考查该食品在36的保鲜时间的求法，考查待定系数法等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）附： A. 10% B. 20% C. 50% D. 100% 答案及解析： 3.B【分析】根据题意，计算出即可. 【详解】当时，，当时， 因为 所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20% 故选：B 【点睛】本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于中档题. 分段函数模型的应用 （1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数． （2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点． （3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． 【典例】 4.在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( ) A. B. C. D. 答案及解析： 4.B【分析】可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像. 【详解】因为，所以其对应图象为B, 故选：B 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题. 函数模型的比较 根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型. 5.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x -2.00 -1.00 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 398 8.02 则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中a、b为待定系数）（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 5.B【分析】可以逐一验证,若选A，则y的值增加幅度应比较接近；若选C，则x=1,-1的值应比较接近；若选D，则x=0不可取. 【详解】∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A不成立； ∵是偶函数，∴的函数值应该相等，∴C不成立； ∵时，无意义，∴D不成立； 对于B，当时，，∴，；当时，，经验证它与各教据比较接近. 故选B. 【点睛】函数模型的选择应充分利用函数的性质，函数的性质主要有函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像的对称性等方面. 1.某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表 根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大 A. 16.5 B. 19.5 C. 21.5 D. 22 2.根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL血液中酒精含量在[20,80)（单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg / mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n小时才能开车，则n的最小整数值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到0.1h） A. 2.3小时 B. 3.5小时 C. 5.6小时 D. 8.8小时 4.在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1，C1D1，AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（ ） A. B. C. D. 5.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是　　 A. B. C. D. 1． (2017年高考全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是(　　) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 2．（2015四川文科）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是 A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 3． (2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： ＋＝(R＋r). 设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　) 4．（2020年新高考全国Ⅰ卷）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 5．（2019年高考北京理数）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10−10.1 6.（2019年高考北京文数）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 1.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当较小时，） A. 1.27 B. 1.26 C. 1.23 D. 1.22 2.五一期间小红父母决定自驾汽车匀速到北京自驾游，全段路程1200km，速度不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，为全程运输成本最小，则汽车的行驶速度为（ ） A. B. C. D. 3.某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型：.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（ ） A. 44 B. 48 C. 80 D. 125 4.某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中为销售量（单位：吨）．若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为______万元. 5.由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P (元)与时间(天)的函数关系是，日销售量Q(件)与时间(天)的函数关系是. （1）设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式；（商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量） （2）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？ 6.技术员小张对甲、乙两项工作投入时间（小时）与做这两项工作所得报酬（百元）的关系式为：，若这两项工作投入的总时间为120小时，且每项工作至少投入20小时. （1）试建立小张所得总报酬（单位：百元）与对乙项工作投入的时间（单位：小时）的函数关系式，并指明函数定义域； （2）小张如何计划使用时间，才能使所得报酬最高？ 7.某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积(单位：平方米)与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择. （1）试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式; （2）问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍(参考数据:) 参考答案 跟踪训练 1.C 【分析】根据题中所给的数据可以得出日销售量与定价成一次函数关系，根据题意得到利润与定价的函数关系，最后求出最大值即可. 【详解】由题目给的表中数量可以知道：定价每增加一元，日销售量减少40盒，所以设定价（元）与日销售量（盒）的函数关系式为：，任取表中两组数据，不妨取前二组，代入解析式中得：，设利润为（元）， 由题意可知：，由基本不等式可知： 根据二次函数的性质可知：当时，函数有最大值，即当这个餐厅每盒盒饭定价21.5元时，利润最大. 故选：C 【点睛】本题考查了数学建模思想，考查了二次函数的性质，考查了一次函数的性质，考查了数学运算能力. 2.C 【分析】根据指数函数列不等式，解不等式即得结果. 【详解】由题意得 故选：C 【点睛】本题考查指数函数实际应用、解指数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.A 【分析】根据指数函数模型列出方程，解之可得． 【详解】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则，，，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查对数的运算，根据已知模型列出方程是解题关键． 4.C 【分析】分情况表示出三棱锥的体积，根据分段函数解析式判定函数图象. 【详解】（1）当0时，点P与点Q运动的速度相等根据下图得出：面OEF把几何体PEFQ分割为相等的几何体， ∵S△OEF，P到面OEF的距离为x， VPEFQ＝2VP﹣OEF＝2x＝2•， （2）当x时，P在AB上，Q在C1D1上，P到，S△OEF， VPEFQ＝2VP﹣OEF＝2定值． （3）当x≤2时，S△OEF，P到面OEF的距离为2﹣x， VPEFQ＝2VP﹣OEF＝2（2﹣x）x， V 故选：C． 【点睛】此题考查求锥体体积，关键在于根据几何体特征准确分类讨论表示出锥体体积，结合分段函数解析式选择函数图象. 5.D 【分析】根据的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系. 【详解】根据实验数据可以得出，近似增加一个单位时，的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近，故选D. 【点睛】本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养. 真题再现 1．解析　由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误. 答案　A 规律方法　 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案. 2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养. 2．【答案】C 【解析】由题意，得，即， 于是当x＝33时，＝24(小时). 3．解析　由α＝，得r＝αR， 代入＋＝(R＋r)，整理得＝. 又≈3α3，即3α3≈，所以α≈， 故r＝αR≈R. 答案　D 4．【答案】B 【解析】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B． 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 5．【答案】A 【解析】两颗星的星等与亮度满足， 令， 则 从而. 故选A. 【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算. 6.【答案】①130；②15 【解析】①时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为元， 当元时，李明得到的金额为，符合要求； 当元时，有恒成立， 即， 因为，所以的最大值为. 综上，①130；②15. 【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 模拟检测 1.B 【分析】把已知数据代入公式计算． 【详解】由题意，, ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题． 2.B 【分析】由题可得汽车全程运输成本，利用基本不等式即可得答案. 【详解】由题可得汽车全程运输成本 ， 当且仅当即时，最小. 故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 3.D 【分析】根据求得，由此求得的值. 【详解】依题意得，，，所以.故若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为125. 故选：D 4.34 【分析】设公司在甲地销售品牌车辆，则在乙地销售品牌车辆，根据利润函数表示出利润之和，利用配方法求出函数的最值即可． 【详解】设在甲地销售t吨，则在乙地销售吨， 利润为， 又 且 故当时，能获得的最大利润为34万元． 5.（1）；（2）日销售金额的最大值为900元，11月10日日销售金额最大 【分析】(1)由日销售金额＝每件的销售价格×日销售量可得; (2)利用二次函数的图像与性质可得结果. 【详解】（1）设日销售额为元，则， 所以． 即： （2）． 当时，，； 当时，，． 故所求日销售金额的最大值为900元，11月10日日销售金额最大. 【点睛】本题主要考查了利用数学知识解决实际问题的能力，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学中二次函数的知识进行求解函数的最值. 6.（1），其定义域为. （2）对甲、乙两项工作投入时间分别为45小时与75小时，所得报酬最高 【分析】(1)根据代入列式即可. (2) 令,再换元代入根据二次函数的最值求解即可. 【详解】解：（1）若对乙项工作投入小时,则对甲项工作投入小时, 所以, 其定义域为. （2）令, 则函数为关于的二次函数：. 所以当,即时,. 即对甲、乙两项工作投入时间分别为45小时与75小时,所得报酬最高. 【点睛】本题主要考查了函数模型的运用,包括解析式求解与根据解析式求最值的问题,同时也考查了二次函数有关的复合函数问题,属于中档题. 7.（1）答案见解析（2） 【分析】（1）因为函数中,随的增长而增长的速度越来越快,而函数中,随的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选更合适,结合已知,即可求得该模型的函数解析式; （2）由（Ⅰ）知,当时,,所以原先投放的此生物的面积为8平方米,设经过个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,则有,即可求得答案. 【详解】（1） 函数中,随的增长而增长的速度越来越快, 而函数中,随的增长而增长的速度越来越慢, 根据已知条件应选更合适 由已知得,解得 函数解析式为 （2）由（1）知,当时,,所以原先投放的此生物的面积为8平方米; 设经过个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍, 有 解得 约经过个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍. 【点睛】本题考查了求解模型解析式和求解指数方程,解题关键是掌握函数的基础知识解题关键,考查了分析能力和计算能力. 17 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！