考点20 等差数列及其前n项和-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）.docx

学科网（北京）股份有限公司 考点20 等差数列及其前n项和 【命题趋势】 本节是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【重要考向】 本节通过对等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列性质的应用，考查考生对函数与方程思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养． 等差数列的判定与证明 等差数列的判定与证明的方法： 定义法：或是等差数列； 定义变形法：验证是否满足； 等差中项法：为等差数列； 通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 前n项和公式法：为常数为等差数列． 【典例】 1.已知数列中，，数列满足.求证：数列是等差数列. 【答案】证明见解析. 【分析】根据等差数列定义判断为常数即可证明. 【详解】证明：因为，且， 所以，， 又，所以， 所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列. 等差数列的通项公式 解题技巧：求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1） 定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解. 2．已知数列中，，且，数列满足，则的通项公式是_____. 【答案】 【分析】根据已知，利用作差法求易判断为等差数列，写出通项公式即可. 【详解】∵， ∴， 又，则， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：应用作差的方法求，判断数列的性质，进而求通项. 3．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且. （1）证明：{an}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）an＝2n＋1. 【分析】（1）讨论n=1时，a1＝S1，求出a1；n≥2时，＝－，将式子进行变形化简，进而得出an－an－1是一个常数； （2）由（1），通过即可求得. 【详解】（1）证明：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝3或a1＝－1(舍去). 当n≥2时，＝－＝－， 所以， 因为，所以. 所以数列{an}是以 3为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 等差数列的前n项和 等差数列前n项和公式的应用方法： 根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用 【典例】 4．已知正项数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用可得数列是等差数列，即可求出通项公式； （2）由裂项相消法可求出. 【详解】解：(1)由， 又有，，两式相减得， 因为，所以， 又，，解得，满足， 因此数列是等差数列，首项为，公差为， 所以， (2) 所以. 等差数列的性质 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. 解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立． 5．已知等差数列满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的值，结合等差数列的基本性质与基本量可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，解得， 设等差数列的公差为，则. 故选：A. 6．若等差数列满足，，当则当前项和取得最大值时的值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，求得，即可得到答案. 【详解】由题意，等差数列满足，， 根据等差数列的性质，可得，即， 又由，可得， 所以当前项和取得最大值时的值是. 故选：B. 1．在等差数列中，若，则（ ） A．18 B．30 C．36 D．72 2．正项数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（ ） A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 5．在等差数列中，，则=（ ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，已知，则的公差（ ） A． B．3 C．2 D．1 7．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 8．已知等差数列的前项和为，若，，则满足的最小正整数的值为（ ） A． B． C． D． 9．已知数列满足，.证明：数列是等差数列，并求的通项公式. 10．已知等差数列中， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的第项，第项． 11．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2， （1）求{an}的通项公式； （2）则{an}的前多少项和最大？ 1.（2020年高考全国II卷理数）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 2．（2020年高考北京）在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 3.（2020年高考浙江）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是 A． B． C． D． 4.（2020年高考全国Ⅱ卷文数）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1=−2，a2+a6=2，则S10=__________． 5．（2019年高考全国I卷理数）记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． C． D． 6．（2019年高考全国III卷理数）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________. 7．（2019年高考北京卷理数）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________． 8．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 9．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 11．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 1．已知数列是等差数列，若，，则（ ） A．5 B．4 C．9 D．7 2．在等差数列中，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，为的前项和，则（ ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前n项和为，，则当取最大值时n的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a(　)＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ） A．15 B．24 C．18 D．28 6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．已知等差数列的前项和为，且，，则下列说法错误的是（ ） A．数列单调递减 B．，时同时达到最大值 C． D．满足不等式的的最大值为 8．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（ ）. A．70 B．130 C．140 D．210 9．设为等差数列的前项和，，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 10．已知为等差数列且，为其前项的和，则（ ） A．142 B．132 C．144 D．136 11．已知等差数列的前项和为，若，则______． 12．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的最大自然数n是________. 13．已知数列满足，且，则等于__________. 14．已知等差数列和的前项和分别为和，若，则______． 15．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_____. 16．设等差数列的前n项和为，若，则的最大值是__ 17．已知数列的前项和为，，． （1）求证：为等差数列； （2）求证：． 18．在①；②；③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答． 已知数列的前n项和为，满足_______． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和． 注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分． 19．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. （1）数列{an}前多少项和最大？ （2）求{|an|}的前n项和Sn. 参考答案 跟踪训练 1．【答案】C 【分析】由已知求出，再利用等差中项即可. 【详解】由已知得，， 所以.故选:C 2．【答案】B 【分析】对化简可得，从而可得数列是等差数列，首项为1，公差为3，求出通项，则可得，然后利用裂项求和法计算 【详解】， ，， ， 数列是等差数列，首项为1，公差为3， . ， . 故选：B. 3．【答案】D 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可． 【详解】解：因为，则，又，则， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，所以， 则． 故选：D 4．【答案】D 【分析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决． 【详解】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，． 则，，，，成等差数列，设公差为． ， ． 整理上面两个算式，得： ，解得，． 故选：． 5．【答案】B 【分析】利用等差数列性质求，再求即可. 【详解】等差数列中，，故，即， 所以.故选：B. 6．【答案】B 【分析】根据条件列出方程组，即可求解. 【详解】由题可得解得 故选：B 7．【答案】B 【分析】利用等差中项的性质得导方程，利用通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值. 【详解】设等差数列的公差为d. 由已知条件，得， 即，解得. 故选B. 8．【答案】B 【分析】由已知条件先计算出的取值范围，然后运用等差数列的求和公式求出最小值 【详解】因为，所以， 因为，，所以数列的公差，， 所以，故要使，. 故选：B 9．【答案】证明见解析，. 【分析】根据等差数列的定义证明，由等差数列的通项公式可得． 【详解】（1），，， ，，， 数列是以为首项，以为公差的等差数列，， 10．【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设等差数列的公差为，解方程组即得解； （2）根据通项公式即得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题得， 所以数列的通项公式. 所以数列的通项公式. （2）数列的第项，第项． 11．【答案】（1）an＝34－2n；（2）前16项或前17项的和最大． 【分析】法一：当时，，当时，，即可得出．法二：利用Sn是关于n的缺常数项的二次型函数的结构特征构造方程组求得首项和公差即可. （2）法一：令，得，解出即可得出． 法二：由的对称轴为．利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】（1）法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n． 故{an}的通项公式为an＝34－2n． 法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n． （2）法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 法二：(函数性质法)由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝， 距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的 图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 【点睛】方法点睛：求等差数列前项和的最大值值的方法通常有两种：①将前前项和表示成关于的二次函数，，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值.本题根据方法①确定的取值范围的. 真题再现 1.【答案】C 【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 2.【答案】B 【解析】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题. 3.【答案】D 【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确； 对于B，由题意可知，，， ∴，，，． ∴，． 根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确； 对于C，， 当时，，C正确； 对于D，，， ． 当时，，∴即； 当时，，∴即，所以，D不正确． 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 4.【答案】 【解析】是等差数列，且， 设等差数列的公差 根据等差数列通项公式： 可得 即： 整理可得： 解得： 根据等差数列前项和公式： 可得： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5.【答案】A 【解析】由题知，，解得，∴，,故选A． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 6.【答案】4 【解析】设等差数列{an}的公差为d, 因，所以，即， 所以． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 7.【答案】 0，. 【解析】等差数列中,,得又,所以公差,, 由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查. 8．【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以,所以， 所以, 由于所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， ,, 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 9．【答案】证明见解析. 【分析】∵数列是等差数列，设公差为 ∴， ∴， ∴当时， 当时，，满足， ∴的通项公式为， ∴ ∴是等差数列. 10．【答案】答案见解析 【分析】选①②作条件证明③： 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，所以. 选①③作条件证明②： 因为，是等差数列， 所以公差， 所以，即， 因为， 所以是等差数列. 选②③作条件证明①： 设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去. 综上可知为等差数列. 11．【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题设可得 又，， 故，即，即 所以为等差数列，故. （2）设的前项和为，则， 因为， 所以 . 模拟检测 1．【答案】A 【分析】本题可设等差数列的公差为，然后根据、求出，最后通过即可得出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 故， 故选：A. 2．【答案】A 【分析】求出，利用等差数列的通项公式可求得的值. 【详解】，所以，， 设等差数列的公差为，则. 故选：A. 3．【答案】C 【分析】根据题意得当为偶数时，当为奇数时，进而求得奇数项与偶数项的和即可求解. 【详解】解：， ①当为偶数时， ， ，，，， … ， . ②当为奇数时， ，，， ，，…，， ， 故选：C 4．【答案】B 【分析】根据题意求出的公差，进而求出通项公式，然后令，求出n的范围即可得到答案. 【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，∴，由解得，∴当取最大值时n的值为8． 故选：B. 5．【答案】C 【分析】设括号内的数为n，根据已知条件，利用等差数列的通项公式得到6a1＋(n＋12)d＝24.利用求和公式得到a1＋5d为定值.从而求得的值. 【详解】设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24， 即6a1＋(n＋12)d＝24. 又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值， 所以a1＋5d为定值. 所以＝5，解得n＝18. 故选：C. 6．【答案】B 【分析】根据题意奇数项有n+1项，偶数项有n项，于是奇数项和为，偶数项和为，进而发现与，与的等差中项都是，进一步用等差中项替换即可解得. 【详解】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为 ∴，∴，∴n＝10， 故选:B. 7．【答案】D 【分析】A.由题得，所以数列单调递减，所以该选项正确； B. 由题令，所以，所以，时同时达到最大值，所以该选项正确； C. ，所以该选项正确； D. ，所以不等式的的最大值为11.所以该选项错误. 【详解】 A.由题得，所以数列单调递减，所以该选项正确； B. 由题令，所以，所以，时同时达到最大值，所以该选项正确； C. ，所以该选项正确； D. ，所以不等式的的最大值为11.所以该选项错误. 故选：D 8．【答案】D 【分析】利用等差数列的前项和的性质可求. 【详解】设等差数列的前项和为，则成等差数列， 故，解得， 故选：D. 9．【答案】D 【分析】本题首先可根据得出，然后设公差为，则，最后通过等差数列求和公式即可得出结果. 【详解】因为数列是等差数列，所以，， 则，， 设等差数列的公差为，则，， 故， 故选：D. 10．【答案】B 【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得； 【详解】解：因为，所以 故选：B 11．【答案】 【分析】根据等差数列的性质结合已知条件得，进而根据求解即可. 【详解】解：由等差数列的性质得， 因为，所以， 所以 故答案为： 12．【答案】405 【分析】利用等差数列的下标和性质转化条件得到a1＋a406>0，即S406>0，由已知求得a203<0，a204>0，得到数列{an}的前203项都是负数，得到S405及其以前各项的和都小于零，从而得到结论. 【详解】由a203＋a204>0知a1＋a406>0，即S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和Sn<0的最大自然数n＝405. 故答案为：405. 13．【答案】 【分析】由题可知数列是等差数列，进而利用公式法求通项公式. 【详解】因为， 所以数列是等差数列， 因为，故公差 所以，故 故答案为： 14．【答案】 【分析】根据等差数列的求和公式和性质即可求解. 【详解】. 故答案为：. 15．【答案】-21 【分析】设这三个数为，，，依题意得到方程组，解得，即可得到这三个数，从而得解； 【详解】解：设这三个数为，，， 则 解得或这三个数为，，或，，.它们的积为 故答案为： 16．【答案】 【分析】根据题意求得及，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是. 故答案为：. 17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）依题意可得，作差即可得到，从而得到，再作差可得，即可得证； （2）由（1）可得，从而得到与，再利用裂项相消法求和即可得证； 【详解】证明：（1）∵， ∴， 两式做差得：， ∴， ∴ ∴， 两式做差得：， ∴， 即：， ∴为等差数列． （2）为等差数列．，，得，， ∴ ∴． 18．【答案】（1）；（2） . 【分析】（1）选①：由可得；选②：由条件可得和公差，进而可得；选③：先求得，进而可得； （2）求得，用裂项相消法可得其前项和. 【详解】（1）选①： 由得， ， 当时，， 因为 ，所以数列的通项公式为 （）； 选②： 由知数列是公差的等差数列， 则 ，得， 所以数列的通项公式为（）； 选③： 由，知，得， 所以数列的通项公式为 （）. （2）因为，所以 则数列的前n项和 19．【答案】（1）前17项；（2）Sn＝. 【分析】（1）利用通项公式表示已知条件，得到关于首项和公差的方程组，求解后得到通项公式，探究项的正负，进而得到答案； （2）根据（1）中的正负项的研究结论，对于前面的正项取绝对值后不变，直接用原等差数列的求和公式计算；对于后面有负数项的情况，利用凑配法转化为原等差数列的和的组合的问题进行运算可得结论. 【详解】（1）由得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an>0，得n<， ∴当n≤17，n∈N*时，an>0； 当n≥18，n∈N*时，an<0， ∴{an}的前17项和最大. （2）当n≤17，n∈N*时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N*时， |a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2 ＝n2－n＋884. ∴Sn＝ 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，求和公式，考查等差数列的绝对值数列的求和问题，属中档题，关键是根据绝对值的性质，分类讨论，并适当配凑转化为可利用等差数列的求和公式计算的形式. 27 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司