考点04 函数的基本性质-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）.docx

考点04 函数的基本性质 【命题趋势】 从近五年的情况来看，本节是高考的热点，常考查求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解不等式等，题型有选择题、填空题，也有解答题，多在第（1）问中考查，难度中等.理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度. 【重要考向】 本节通过函数的单调性、奇偶性、周期性的应用考查数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想以及考生的逻辑推理和数学运算核心素养. 判断函数的单调性 1．判断函数单调性的方法： （1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小． （2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． （3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． （5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性. 2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间． 【典例】 1.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对于A：利用函数奇偶性判断即可； 对于B：利用函数奇偶性判断即可； 对于C：先利用函数奇偶性判断偶函数，再判断单调性； 对于D：利用函数奇偶性判断即可. 【详解】 对于A：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故B错误； 对于C：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为偶函数；当时，为增函数，故C正确； 对于D：的定义域为R，关于原点对称，但是，而，所以，所以为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 【点睛】 （1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或； （2）函数奇偶性的应用： ①一般用或； ②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或 . 函数单调性的应用 函数单调性的应用主要有： （1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较. （2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值． （3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． （4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内． 【典例】 2.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围 【详解】 解：函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：D 函数最值得求解 1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为. 2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值. 3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值. 4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法. 【典例】 3.已知函数，则函数有（ ） A．最小值1，无最大值 B．最大值，无最小值 C．最小值，无最大值 D．无最大值，无最小值 【答案】C 【分析】 先用换元法将变形为二次函数的形式，然后根据对称轴求解出二次函数的最值，则的最值情况可知. 【详解】 因为，令，所以， 所以， 因为的对称轴为，所以在上递增， 所以，无最大值， 所以的最小值为，无最大值， 故选：C. 判断函数的奇偶性 判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法： （2）图象法： （3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断. 注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． ③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程. 【典例】 4.设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据奇偶性的定义依次判断即可. 【详解】 对A，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误； 对B，中，，所以函数为奇函数，故B正确； 对C，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误； 对D，为偶函数，故D错误. 故选：B. 考向五 函数奇偶性的应用 1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法： （1）已知函数的奇偶性，求函数的值． 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式. 已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可. （3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 在定义域关于原点对称的前提下，利用为奇函数，为偶函数，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在处有定义的奇函数，可考虑列式求解. （4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式. 利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性. 2．对称性的三个常用结论： （1）若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称； （2）若对于上的任意x都有或，则的图象关于直线对称； （3）若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称． 【典例】 5.已知，则的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由函数奇偶性排除两个选项，再取特值计算并判断得解. 【详解】 原函数定义域为R，由知是R上奇函数，选项C，D不满足； 在图象上取点，，直线PQ：， 而时，，，显然， 即点在直线PQ上方，选项B不满足，选项A符合要求. 故选：A 函数周期性的判断及应用 （1）判断函数的周期，只需证明，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． （2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则且)也是函数的周期. （3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解. 【典例】 6.已知函数的定义域为，且满足，且，，则（ ）． A．2021 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】 分别令，令得到，进而推得函数是周期函数求解． 【详解】 令，则， 故， 故，（舍） 令，则， 故． ∴， 即， 故的周期为4，即是周期函数． ∴． 故选：C． 函数性质的综合应用 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度： （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 【典例】 7.定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可. 【详解】 义在R上的偶函数在上单调递增，且， 所以在上单调递减，且， 或， 故或， 故选：C 1. 已知函数是R上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2.已知函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.已知函数. （1）证明：函数是上的增函数； （2）时，求函数的值域. 4.下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（ ） A． B． C． D． 5.已知函数为上的奇函数，当时，；若，，，则（ ） A． B． C． D． 6.已知为上的奇函数，为偶函数，若当，，则（ ） A． B． C．1 D．2 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ） A． B． C． D． 3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D． 5.（2021年全国高考浙江卷数学试题） 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 6.（2021年全国高考北京卷数学试题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.（2021年全国高考北京卷数学试题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为 8.（2021年全国高考北京卷数学试题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___． 9. （2021年全国高考天津卷数学试题）函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 10.（2020年全国高考浙江卷数学试题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ） A. B. C. D. 11．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若，则（ ） A． B． C． D． 12．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数,则（ ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 13．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若，则（ ） A． B． C． D． 14．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 15．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设，，，则（ ） A． B． C． D． 16．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 1．下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 2．已知实数，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对于函数y＝f（x），其定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“K区间”.若函数f（x）＝﹣a（a＞0）存在“K区间”，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D．（，1] 4．定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．函数在上的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．函数的部分图象为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．偶函数满足，且在时，，则（ ） A． B．1 C． D． 10．已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数： （3）解关于x的不等式． 参考答案 跟踪训练 1.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】 （1）由奇函数的性质可得，从而可求出的值； （2）直接利用函数单调性的定义证明即可； （3）将不等式转化为，再由在上为减函数，可得，即，构造函数，利用二次函数的性质求出其最小值即可 【详解】 解：（1）由函数是R上的奇函数知， 即，解得. （2）由（1）知. 任取，则 因为，所以，所以， 又因为，故， 所以，即 所以在上为减函数. （3）不等式可化为 因为是奇函数，故 所以不等式可化为 由（2）知在上为减函数，故即 即对于任意，不等式恒成立. 设易知 因此 所以实数的取值范围是. 2.【答案】A 【分析】 令可得，将所求不等式等价于，再根据为奇函数且为减函数，从而得到，解不等式即可得到答案； 【详解】 解：令，则， ∵， ∴， ∵， ∴是R上的奇函数， ∴可化为， 又∵， 所以在R上是减函数， ∴，解得，， 故选：A． 3.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）根据函数单调性的定义，令，结合函数解析式判断的大小关系，即可证结论. （2）由（1）知，即可得上的值域. 【详解】 （1）令，则， 由，，即，有. ∴函数是上的增函数； （2）由（1）知：上有， ∴的值域为. 4.【答案】C 【分析】 由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A、B、D，对C，采用导数法，函数函数图象可判断正确 【详解】 对A，为奇函数，值域为，故A错； 对B、，函数为“对勾函数”因为，所以，故B错误； 对C，为奇函数，当时，因为，故在为增函数，时，函数值为0，当时，，，画出图形如图： 所以，故C正确； 对D，，函数为奇函数，值域为，故D错误； 故选：C 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与值域的判断，属于基础题 ①判断函数奇偶性除了定义法外，还可采用口诀进行判断： 奇函数=奇函数奇函数=奇函数 偶函数； ②对于常见函数类型，应熟记于心，比如反比例函数，对勾函数； ③对于复杂函数，研究值域时，可采用导数进行研究 5.【答案】D 【分析】 由奇函数性质及的解析式，求得，在实数范围内单调递减，比较数的大小，从而有. 【详解】 当时，，由奇函数的性质知， ，，函数单调递减； 又，， 则 由函数单减知， 故选：D 6.【答案】C 【分析】 根据为上的奇函数可求出，又为偶函数，可推出为周期函数，利用周期性即可求解. 【详解】 解：为上的奇函数，且当时， ，即， ， 当时，， 为偶函数，，， 又为上的奇函数， ，，， 是周期为4的周期函数， ， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键是根据为上的奇函数和为偶函数，推出函数为周期函数，利用周期性求解. 真题再现 1．【答案】B 【分析】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 2．【答案】D 【分析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D. 3．【答案】C 【分析】由题意可得：， 而，故.故选：C. 4．【答案】D 【分析】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以．故选：D． 5.【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 6.【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 7.【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 8.【答案】（满足即可） 【解析】 【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解. 【详解】与关于轴对称， 即关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 故答案为：（满足即可）. 9. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 10.【答案】A 【解析】 【分析】 首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为，则， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD错误； 且时，，据此可知选项B错误. 故选：A. 11．【答案】B 【分析】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 12．【答案】A 【分析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 13．【答案】A 【分析】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 14．【答案】D 【分析】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 15．【答案】A 【分析】因为，， 所以. 故选：A. 16．【答案】A 【分析】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 模拟检测 1．D 【分析】 分别判断四个选项的奇偶性与单调性即可得出答案. 【详解】 对于A，定义域为，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误； 对于B，因为，，所以为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，因为，，所以不是增函数，故C错误； 对于D，定义域为， 因为， 所以是奇函数， ， 令为增函数， 也是增函数， 所以是增函数. 故D正确. 故选：D. 2．D 【分析】 构造函数，通过导数判断函数的单调性，从而可得当时，，得到，再通过举反例可知当，时，，而，然后结合充条件和必要条件的定义判断即可 【详解】 令，， 可得当时，；当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 因为，所以，所以，即，所以； 可得当，时，可得，可得，而， 综上可得当实数，时，“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 3．C 【分析】 利用单调性，列出方程组，再转化为函数图像交点问题 【详解】 为减函数，所以 两式相减化简得 代人 ,得 问题转化为函数与函数有两个交点 结合图像可知 故选：C 4．D 【分析】 根据定义域和单调性可知，再根据时的单调性判断出，由此求解出的取值范围.. 【详解】 因为，所以时，即，由单调性可知，所以，解得； 当时，为增函数，若单调递增，则只需，所以，解得， 综上可知的取值范围是：， 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键在于分析函数的定义域和单调性，从而确定出所满足的不等关系，注意将本题与定义域为的分段函数单调性问题作区分. 5．A 【分析】 根据题意，由函数的解析式先判断在上的单调性，再求出的值，用排除法可得答案. 【详解】 当时，是减函数，排除B，D； 当时，，．排除C； 故选：A. 【点睛】 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．D 【分析】 由是偶函数，得函数图像关于直线对称，结合单调性求解不等式即可得到结果. 【详解】 因为是偶函数，所以的图像关于直线对称， 则， 因为任意满足， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故等价于，解得. 故选：D 7．D 【分析】 利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取值分析即可得答案 【详解】 和均为偶函数，所以也为偶函数，由奇偶性可以排除A选项， 下面考虑这一侧的图象；当时，，，；当时，；当时，，，．因此在第一个零点附近都为负， 故选：D． 8．D 【分析】 判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，再利用函数单调性解不等式即可． 【详解】 ， ，可得是奇函数， 又，所以在上单调递增， 由得， 即对恒成立． 当时显然成立；当时，需，得， 综上可得， 故选：D. 9．A 【分析】 先分析得到函数的周期为1，再利用函数的周期求值得解. 【详解】 因为函数是偶函数，， 所以= f(x) 所以函数的周期为1， 所以. 故选：A. 题组二 1．（1）；（2）证明见详解；（3） 【分析】 （1）由已知条件得到关于的方程组，解方程组即可求出解析式； （2）设；作差法判断，然后根据定义即可判断； （3）利用函数的奇偶性与单调性将不等式转化为一元一次不等式，解不等式即可. 【详解】 （1）∵函数是定义在上的奇函数 ∴，即，∴ 又∵，即，∴ ∴函数的解析式为 （2）由（1）知 令，则 ∵ ∴ ∴ 而 ∴，即 ∴在上是增函数 （3）∵在上是奇函数 ∴等价于，即 又由（2）知在上是增函数 ∴，即 ∴不等式的解集为. 【点睛】 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 31 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！