解析几何专题之直线与圆锥曲线（2）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）.doc

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习 解析几何专题之 直线与圆锥曲线② 教学目标 直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切． 直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。 知识梳理 一、解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换[来源:Zxxk.Com] （7）x，y，k (斜率)的取值范围 （8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 二、运用的知识： （1）中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。 （2）弦长公式：若点在直线上， 则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 或者[来源:学科网] 。 （3）两条直线垂直：则 （4）韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根， 则。 典例精讲 例1.（★★）已知线段AB=6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。 解析：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系 则A（-3，0），B（3，0），设点M的坐标为， 则直线AM的斜率直线BM的斜率 由已知有 化简，整理得点M的轨迹方程为 巩固练习 1. （★★）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值. （1）试求动点P的轨迹方程C. （2）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程. 解：（1）设点，则依题意有， 整理得 由于，所以求得的曲线C的方程为（ ） （Ⅱ）由消去y得 解得 由，解得 所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0 [来源:学科网ZXXK] 例2. （★★）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)[来源:学科网] 由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0, Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,[来源:Z,xx,k.Com] 由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴+1=0,∴m+n=2 ① 又22, 将m+n=2,代入得m·n= ② 由①、②式得m=,n=或m=,n= 故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1. 巩固练习 1. （★★）在直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于4，设点的轨 迹为曲线，直线与曲线交于、两点. （1）求出的方程； （2）若=1，求的面积； （3）若，求实数的值。 【解析】：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． （2）设，由解得， ， （3）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． 若，即． 而， 于是， 化简得，所以． 例3. （★★）设、分别是椭圆的左、右焦点，过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 【解析】：显然直线不满足题设条件，可设直线：，， 联立，消去，整理得： ∴ 由得：或 又 ∴ 又 ∵，即 ∴ 故由①、②得或 回顾总结 解决直线与圆锥曲线问题的一般思想、步骤是什么？需要注意哪些？垂直通常都如何应用？