第18练幂函数 核心考点练-2021-2022学年人教A版（2019）必修第一册.docx

第18练 幂函数 一、单选题 1．下列函数中不是幂函数的是(　　) A．y＝　　　　　　B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝x－1 【答案】C 【解析】形如y＝xα的函数为幂函数，只有C不是． 2.如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x12的图象可能是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】幂函数y=x12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选D． 3．已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是(　　) A．奇函数　　　　B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 【答案】A 【解析】设幂函数为f(x)＝xα，又因为图像过点，所以＝，解得α＝－1，故f(x)＝x－1，又f(－x)＝(－x)－1＝－f(x)且f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数 ，因此A正确，B、C、D错误． 4．若幂函数f(x)的图像过点(,3),则fx>f(x2)的解集为(   ) A．（-∞,0）∪（1,+∞） B．(0,1) C．(-∞,0) D．（1,+∞） 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为fx=xα，由题意可得=3，即3−4α=31，则α=−14, ，据此可得函数fx的定义域为，且函数在定义域内单调递减，故fx>f(x2)等价于x2>x，解得（1,+∞）,故选D. 5.已知幂函数的图象过点，则此幂函数（ ） A．过点 B．是奇函数 C．过点 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】设，由题意可得，，，所以，函数的图象不过点.，该函数的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数.，该函数的图象过点，且在上单调递减.因此，C选项正确.故选C. 6.对于幂函数给出下列命题： ①若x>1，则f(x)>1；②若0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)>x2−x1；③若0<x1<x2，则x2f(x1)<x1f(x2)；④若0<x1<x2，则fx1+f(x2)2<f(x1+x22). 以上命题符合“图象过点的幂函数”特征的结论有（ ）． A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】依题意有, fx=x12, ①.函数fx=x12单调递增，且f1=1，据此可知：若x>1，则f(x)>1，题中是说法正确； ②.令x1=1,x2=4，满足0<x1<x2，则fx2−fx1=412−112=1，而x2−x1=4−1=3，不满足f(x2)−f(x1)>x2−x1，题中说法错误； ③.令x1=1,x2=4，满足0<x1<x2，而x2fx1=4×112=4，x1fx2=1×412=2，不满足x2f(x1)<x1f(x2)，题中的说法错误； ④.如图所示的幂函数图象fx=x12上有点A,B，满足xA<xB，不妨设A'坐标为x1，B'坐标为x2，则AB中点M的坐标为x1+x22，则fx1+fx22的值为N点的纵坐标yN，fx1+x22的值为O点的纵坐标yO，很明显yN<yO，即fx1+f(x2)2<f(x1+x22)，题中的说法正确. 综上可得，正确命题的序号是①④. 二、 多选题 7.（2021·江苏省宿迁市沭阳如东中学高三月考）下列命题中是真命题的有（ ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不可能过第四象限 C．当时，幂函数是增函数 D．当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小 【答案】BD 【解析】由题意，对于A中，例如幂函数的图象不经过点，所以不正确；对于B中，根据函数的概念，可得幂函数的图象不可能过第四象限是正确的； 对于C中，例如幂函数在其定义域上不是单调函数，所以不正确； 对于D中，根据幂函数的图象与性质，可得当时，幂函数在第一象限内是减函数，所以是正确的.故选BD. 8.已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则. 【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确. 的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确. 当时，，即，所以C正确. 当若时， =. =. ==. 即成立，所以D正确.故选ACD. 三、 填空题 9.函数在区间上的最大值是 . 【答案】4 【解析】∵函数在第一象限是减函数，∴函数在区间[，2]上的最大值是f（）． 10.若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________. 【答案】－1 【解析】∵f(x)＝(m2－m－1)x2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－5，符合题意． 综上可知，m＝－1. 11.已知幂函数的图像过点，则这个函数的解析式为_______，若，则的值为______． 【答案】 4 【解析】设函数，则. 所以.. 四、 解答题 12.已知幂函数y＝f(x)＝，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0. 求同时满足(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域． 【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足； 当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数，所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．