解密06 解三角形（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）.doc

解密06 正、余弦定理及解三角形 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 利用正、余弦定理解三角形 解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 2021年全国乙卷15 2020课标全国Ⅲ 7 2020课标全国Ⅱ17 2019课标全国Ⅱ15 2018课标全国Ⅰ17 2018课标全国Ⅱ6 2018课标全国Ⅲ9 ★★★★★ 解三角形与其他知识的交汇问题 2021新高考Ⅰ卷19 2021新高考Ⅱ卷18 2020课标全国Ⅰ16 2019课标全国Ⅰ17 2019课标全国Ⅲ 17 ★★★ 考点一 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形 ☆技巧点拨☆ 利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化． 若想“边”往“角”化，常利用“a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C”； 若想“角”往“边”化，常利用sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos C＝等． 例题1 1．在中，已知，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 1．A 【分析】因为， 由正弦定理，可得， 又由余弦定理得， 因为，可得. 故选：A. 例题2．在中，角、、所对的边分别为、、，其中，，则的最小值为（ ） A．9 B．12 C．18 D．20 【分析】由题意知， 根据正弦定理，可得， 因为，所以， 即，则， 当且仅当时等号成立，即的最小值为18． 故选：C． 例题3．在中，角的对边分别是，若，，则（ ） A． B． C． D． 由余弦定理得：， ，，又，， ，．故选：A． 例题4．从①，②的面积，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答． 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，且________． （1）求； （2）若角的平分线与交于点， ，求，． （1）条件选择见解析， （2） 【分析】解：若选①， ， 又，， ， 若选②：， ，， 又，，， ，． 若选③：， ， 由正弦定理得，， ，． （2）是角的平分线，，， 即，， 由（1）知，，解得． 题组二 与不等式有关的问题 例题2．在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足. （1）求角； （2）若，求的取值范围． 因为， 由余弦定理得c(a－b)＝a2－b2， 所以a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2， 即a2＝b2＋c2－bc. 因为a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以cos A＝，则A＝. （2）由正弦定理得＝＝2， 所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以b＋c＝2sin B＋2sin C＝2sin B＋2sin(A＋B) ＝2sin B＋2sin Acos B＋2cos Asin B＝3sin B＋cos B ＝2sin(B＋)．因为B∈，所以B＋∈(，π)．所以sin(B＋)∈(，1]， 则b＋c∈(，2]． 例题2．在锐角 中， 角 的对边分别为，已知 ． （1）求证：． （2）若，求的取值范围． 解：因为，由正弦定理得， 因为=， 所以，则或， 即或（舍去），故. （2）解：因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，由正弦定理可得：，则，所以. 例题3．若函数f（x）=Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜π）满足下列条件：f（x）的图象向左平移π个单位时第一次和原图象重合；对任意的x∈R都有f（x）≤f（）=2成立． （1）求f（x）的解析式； （2）若锐角△ABC的内角B满足f（B）=1，且∠B的对边b=1，求△ABC的周长l的取值范围 （1）由题意可得：T==π，解得：ω=2， ∵对任意的x∈R都有成立， ∴时，f（x）有最大值2，可得：A=2， ∵，k∈Z， 又∵0≤φ＜π， ∴， ∴． （2）f（B）=1，∴，而，故， ∴，∵△ABC是锐角三角形， ∴，，∴， ∴△ABC中，由正弦定理可得， ∴，∴，∴． 题组三 三角形形状的判断 ☆技巧点拨☆ 判断三角形的形状有以下几种思路： （1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”； （2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解. 例题1．在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定 【分析】在中，原等式化为：，由正弦定理得，， 即，由余弦定理得：，整理得， 则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形， 所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C 例题2 ．在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 在中，由结合余弦定理得：，整理得： ，即，则或，为等腰三角形或直角三角形， 即“”不能推出“是等腰三角形”，而为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证有成立，所以“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 例题3 ．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 ∵a2＋b2－c2＝ab， ∴，又， ∴，由2cosAsinB＝sinC，得 ∴，即，又，故三角形为等边三角形.故选：C 例题4．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为的非等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形 因为， 所以，所以， 根据正弦定理可得，即， 所以，因为，所以，所以，由得， 得，得，得， 得，因为为三角形的内角，所以，，所以为顶角为的等腰三角形. 故选：D 考点二 解三角形与其他知识综合应用 例题1．已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】A 【分析】在中，令线段的中点为，由正弦定理， 得，由， 得 即，而， 则，于是得与同向共线，而它们有公共起点， 即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上， 动点的轨迹一定经过的重心．故选：A. 例题2 ．在△ABC中，，O为△ABC的重心，若，则△ABC外接圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为， 所以，即. 因为O为△ABC的重心，且， 所以△ABC为等边三角形. 因为， 所以.因为，所以△ABC外接圆的半径为.故选：B 例题3 ．已知在中，内角A，，的对边分别为，，，满足. （1）求； （2）如图，若，在外取点.且，.求四边形面积的最大值. 【答案】 （1）； （2）. 【分析】， 由正弦定理得，， 即， ，，，． （2）因为，，∴△ABC是等边三角形， 在中，由余弦定理知， ， 而， ， 四边形的面积， ，，，当即时，取得最大值，为， 故四边形面积的最大值为． 例题4 ．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，． （1）若，求的面积； （2）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由． 【答案】 （1）； （2）不成立，理由见解析. 由，得， 因为，即． 又因为，所以． 在中，由正弦定理， 所以，． 所以 . （2）假设， 由余弦定理，，即， 所以，因为，所以， 解得：或－2（舍），此时． 不满足，所以假设不成立. 11 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司