解析几何 02 定值、定点问题 突破专项训练-2022届高三数学解答题.docx

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练 解析几何 02 （定值、定点问题） 1．已知原点到椭圆的上顶点与右顶点连线的距离为． （1）求椭圆的离心率； （2）直线过点与椭圆交于，两点，点是椭圆的上顶点，求证：直线与的斜率之和为定值． 2．设椭圆经过点，，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过定点的直线与椭圆交于，两点（与，不重合），证明：直线，的交点的横坐标为定值． 3．在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，．是椭圆的右焦点，，． （1）求椭圆的方程； （2）不过点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，． 若，证明直线过定点，并求出定点的坐标． 4．已知椭圆既与圆外切，又与圆外切． （1）求椭圆的方程． （2）已知，是椭圆上关于原点对称的两点，在轴的上方，，连接，并分别延长交椭圆于，两点，证明：直线过定点． 5．已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线（不经过点交椭圆于点，，若直线与直线的斜率之和为， 求证：过定点． 6．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过定点的直线与椭圆相交于、两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，求证：． 7．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，弦的最小值为2． （1）求抛物线的标准方程； （2）设点是直线上的任意一点，过点的直线与抛物线交于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值． 8．已知双曲线，焦距为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）已知，是双曲线上关于轴对称的两点，点是上异于，的任意一点，直线、分别交轴于点、，试问：是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中是坐标原点）． 9．已知过点的直线与抛物线相切于点，． （1）求，； （2）设直线与相交于点，，射线，与的另一个交点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，抛物线上一点，到焦点的距离，不经过点的直线与交于，． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线，的斜率之和为2，证明：直线过定点． 11．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直线距离为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知斜率之和为的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，，，四点，且线段、线段的中点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 12．已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）若是线段的中点，求直线的方程； （3）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线于的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 参 考 答 案 1．（1）椭圆的上顶点与右顶点连线的方程为， 所以，解得，则离心率； （2）由（1）可得点，根据题意可得直线的斜率一定存在， 不妨设直线，即，椭圆方程可化为， 联立可得， 设，，，，则，， 又，所以 所以直线与的斜率之和为定值． 2．（1）由题意可得，解得：，，所以椭圆的标准方程为：； （2）证明：由（1）可得，， 设过点的直线为，设，，，， 联立，整理可得：， △，且，， 直线的方程：，直线方程为：， 两条直线联立①，将，，② 联立两条直线方程：，③， ①③联立，所以直线，的交点的横坐标为定值． 3．（1）由题意可得，，，，所以， 因为，，则，解得，， 所以，则椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为，，，，， 联立方程组，可得， 则，， 则 ， 因为，所以，则， 所以直线的方程为，故直线过定点． 4．（1）因为圆与轴的交点为，，圆与轴的交点为，， 所以由题意可得，，故椭圆的方程是． （2）证明：当轴时，直线的方程是， 由，解得，直线过点． 当不与轴垂直时，设，，，，． ①当时，解得，，则，所以直线过点； 同理，当时，直线也过点． ②当且时，直线的方程为， 由，得， 又，则， 得，，即， 同理可得， 则，， 所以，，三点共线，即直线过点． 综上，直线过定点． 5．（1）由题意得，，椭圆的方程为． （2）证明：当的斜率不存在时，设，，则， ，（不符合题意） 当的斜率存在时，设， 由得， 设，，，，则， 又点， ， ，直线，直线恒过定点． 6．（1）因为椭圆离心率为，且过点，所以，解得，， 所以椭圆的方程为． （2）若的斜率不存在，则，，此时， 若的斜率存在，设，，，， 设的方程为， ，得， 由韦达定理得，，则，， 所以，， 所以． 7．（1）对于，过焦点的弦最短时，弦垂直于轴，此时，两点的横坐标均为， 代入可求得纵坐标分别为，则此时，所以，即抛物线方程为． （2）证明：设，，，，， 因为直线的斜率显然不为0，故可设直线的方程为， 联立方程，消去得．所以且 又 所以． 8．（1），，又因为渐近线方程为．， ，，，． （2）是定值，定值为2． 法一：设直线的方程为，，，， 代入，得， 因为渐近线方程为，与渐近线不平行， 设点，，，，则，， 由韦达定理可得：， 由，，三点共线得， ， ，即为定值． 法二：是定值，定值为2， 设点，，，，则，，， 令，，同理：， 因为点，，，，在双曲线上，，， （3）， 由（1）（2）可得：，， 代入（3）可得：（定值）． 9．（1）由题意可设切线的方程为：， 联立，化为：， 则△，化为：， 又，，解得：，，． （2）设，，，，联立，化为：， △，解得．，， 射线的方程为：，， 射线的方程为：，， 联立，化为：， ，，，可得，．同理可得，， 直线的方程为：， 化为：，，即，化为：， 直线经过定点． 10．（1）抛物线的焦点，准线方程为， 因为抛物线上一点，到焦点的距离， 由抛物线的定义得，所以．所以抛物线的标准方程是； （2）证明：将代入可得或（舍，所以点坐标为， 因为直线的斜率不等于0，设直线的方程是，，，，， 联立，得， 因为直线与有两个交点，所以△，即． 由韦达定理得，又因为直线，的斜率之和为2， 所以， 所以，将代入上式可得：，即， 所以直线的方程是，它过定点． 11．（1）因为动点到点的距离为，到直线距离为，且， 则动点到点的距离等于到直线的距离， 所以点的轨迹为抛物线，其焦点坐标为，故曲线的方程为； （2）设，的方程分别为，， 联立方程组，可得，所以， 则，同理可得，所以， 由，所以， 则直线的方程为，整理可得， 故直线恒过定点． 12．（1）因为椭圆过点，离心率为， 则有，且，解得，， 故椭圆的方程为，所以准线为，故点； （2）设，，因为是线段的中点，则， 由题意可得，，解得， 所以直线的方程为； （3）设，，设直线的方程为，设，，， 联立方程组，可得， 所以， 则直线，直线， 联立直线与，可得交点横坐标为， 又，解得， 所以与的交点恒在直线上．