解析几何 04 角度问题 突破专项训练-2022届高三数学解答题.docx

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练 解析几何 04 （角度问题） 1．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且有，． （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，求证：． 2．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，． （1）求椭圆的方程； （2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 3．已知椭圆的离心率为，且过椭圆的右焦点有且仅有一条直线与圆相切． （1）求椭圆的标准方程； （2）设曲线与轴的正半轴交于点．已知直线斜率存在且不为0，与椭圆交于，两点，满足为坐标原点），证明：直线过定点． 4．若抛物线，过焦点的直线交抛物线于、两点，且线段中点的纵坐标为2． （1）求直线的方程； （2）设轴上关于轴对称的两点、（其中在的右侧），过的任意一条直线交抛物线于、两点，求证：始终被轴平分． 5．已知抛物线的焦点为，点在上，． （1）求； （2）过作两条互相垂直的直线，，与交于，两点，与直线交于点，判断是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由． 6．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点． （1）若点的坐标为，，求△的面积； （2）若点的坐标为，，且是钝角，求横坐标的范围； （3）若点的坐标为，且直线与椭圆交于两不同点，，求证：为定值，并求出该定值． 7．已知双曲线的离心率为2．且过点． （1）求双曲线的方程； （2）设点、分别为双曲线的右顶点、左焦点，点为上位于第二象限的动点，是否存在常数，使得？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 8．已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与的一条渐近线交于点，且． （1）求双曲线的标准方程； （2）设为双曲线右支上的一个动点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数2． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线与曲线的另一个交点为，以为直径的圆交直线于，两点，设劣弧所对的圆心角为，求证：为定值． 10．双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上． 当时，． （1）求的离心率； （2）若在第一象限，证明：． 参 考 答 案 1．（1）椭圆的离心率为，可得， 在△中，，， ．， 解得，，， 则椭圆的方程为：． （2）证明：当直线斜率为0时，易知成立， 当直线斜率不为0时，设直线方程为，，，，， ，消去有， 所以， 综上可知不论直线的斜率是否为0，总有． 2．（1）由知， 在△中，，， 解得，，，所以椭圆； （2）假设存在点满足条件，设直线方程为，，，，， ，消去有，， ． 因为，所以，即，解得． 所以存在使得． 3．（1）过椭圆的右焦点有且仅有一条直线与圆相切可得，， 即，又离心率，可得，而， 所以椭圆的标准方程为：； （2）证明：设曲线与轴的正半轴交于点，可得， 因为可得，所以可得直线，的斜率之和为0， 设直线的方程为：，设，，，， 联立，整理可得： 且，，则 ， 所以可得，，可得， 所以直线的方程为，可证得直线恒过定点． 4．（1）设、两点的坐标为，，，，， 根据题意有，，所以有， 所以，又，所以， 由得焦点坐标为，所以直线的方程为； （2）证明：设，，则． 当过点的斜率为0时，直线与抛物线不能交于两点， 故设直线的方程为，由，消去得， 设、两点的坐标为，，，，，则有，， ， 所以，始终被轴平分． 5．（1）因为点在上，所以①， 因为，所以由焦半径公式得②， 由①②解得，，所以． （2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为， 当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，，，， 此时为等腰直角三角形且，故． 当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为． 下面证明． 要证明，只需证明，只需证，即， 设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为， 联立方程直线方程与抛物线方程得，设，，，， 则，，所以，， 联立方程得，所以， 所以 ， 所以，即，所以． 综上，为定值，． 6．（1）因为点在椭圆上，所以，因为，所以， 因为，，所以，， 所以； （2）因为点在椭圆上，所以， 由余弦定理得 ， 因为是钝角，所以， 又因为，所以，解得，的范围为； （3）证明：设，，，，由得， ，， 又， 所以 ， 即有为定值． 7．（1）离心率，，又，双曲线方程， 把点代入双曲线方程得，，解得， 故双曲线的方程为：； （2）由（1）知：双曲线方程，，， ①当直线的斜率不存在时，则，，， ，此时． ②当直线的斜率存在时，设，，，， 其中，，渐近线方程为：， ，，又，， ， ，又，，， 综上：存在常数满足：． 8．（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为， 且的坐标为，， 由，可得，又，即， 由可得，则，所以双曲线的标准方程为； （2）假设存在满足题设条件． 由（1）可得双曲线的右焦点， 设，为双曲线右支上一点，则， ①当时，，因为， 所以，于是，所以，即． ②当时，，， 因为，所以， 当时，上式化为， 又，即，代入上式，可得， 所以，解得，即； 当时，，即，也满足． 综上可得，满足条件的存在，其坐标为． 9．（1）设，则，，化简得， 故动点的轨迹的方程为． （2）证明： ①当轴时，把代入中，可得，， 圆心为，半径为3，由垂径定理知，， ，，即，为定值． ②当不垂直轴时，设其方程为，，，，， 联立，得，，， ，的中点坐标为，， 又， 圆的半径， 圆心（即的中点）到直线的距离， 由垂径定理知，， ，，即，为定值．综上所述，为定值． 10．（1）当且时，有， 所以，则； （2）法一：由（1）得，， 设，，则，，且，即． ①当且时，； ②当与不垂直时， ，， ， ，即， 综上． 法二：延长至点，使，设，，则， 所以，，又因为点， 所以， 所以， 所以，即．