解决圆锥曲线中的斜率问题的技巧与方法-08圆锥曲线中的同构问题解决圆锥曲线中的斜率问题.docx

例谈圆锥曲线中的同构思想 圆锥曲线中，同构结构的出现一定等价于图形中两要素的地位等价，比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，即“同构”特征，这样的同构特征，往往是我们简化运算，同时也是解决一些问题的抓手. 一．双切线同构. 显然，从已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，记切点为 ，那么这两条切线的地位是相同的,这样，我们就可按照下列方式来构造同构方程： 第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）； 第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③； 第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题. 其中，圆的双切线可以用几何方法解决，而圆锥曲线的双切线则只能使用韦达定理判别式来解决. 例1．如图，圆，点为直线上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B. （1）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标； （2）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S､T两点，求的最小值. 解析：（1）所以直线AB过定点. （2）设切线方程为，即，故到直线的距离，即（*），设PA，PB的斜率分别为，，则它们为（*）式的解，即，，把代入，得， ， 当时，取得最小值. 例2．已知椭圆的一个焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程． 注：椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是蒙日圆：． 解析：若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时，可得点的坐标是，或满足要求．当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，设点的坐标为（，且），因此设过点的切线方程为（），由 得．因为直线与椭圆相切，所以其判别式的值为0，得． 因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以，因此 ．进而可得． 二．割线同构 比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，这样的同构方程可能是关于直线的某个关键参数的同解方程. 例3. 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．设AB中点M，证明：PM垂直于y轴. 解析：显然，均是等价的，那么它们的中点也是等价的，将其中点坐标代入抛物线的方程后，就可以得到关于参数的同构方程，进而求解. 设，，．因为，的中点在抛物线上，即满足： 所以，为方程的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴． 例4.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 解析：设过点的直线方程为，直线的方程为，联立解得，代入双曲线的方程中，整理得，这是关于的一元二次方程，方程的两根分别为直线的斜率. 因为直线的斜率之和为，即，所以，整理后分解得.因为直线不经过点，所以，从而，即的斜率为. 点评：的等价地位就意味着等价，则的坐标一定是曲线方程的同构解，此时若我们用的参数来表示的坐标，再利用同构解来求得的斜率，这就是整个问题的基本思路. 三．同构方程过定点 例5.（2019年全国三卷）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. (1)证明：设,,则．又因为，所以. 故，整理得. 设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即， 当时等式恒成立．所以直线恒过定点. 习题演练．（2021全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 解析：（1）的方程为； （2）设若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在， 则，所以直线方程为， 整理得，同理直线的方程为， 直线的方程为，与圆相切， 整理得，与圆相切，同理 所以为方程的两根，， 到直线的距离为：， 所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. 学科网（北京）股份有限公司