考点07 对数与对数函数-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）.docx

考点07 对数与对数函数 【命题趋势】 本节是高考的一个热点，主要考查对数式的大小比较、对数函数的图像和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题和填空题为主，也可能在解答题中出现，难度中等. 【重要考向】 本节通过对数运算、对数函数的图像及性质考查分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的运用以及考生的数学运算核心素养. 对数函数的定义 【典例】 1.下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 答案及解析： 1.B 【分析】依次判断每个选项：当时不成立，错误；正确；也成立，错误；当不成立，错误；得到答案. 【详解】A. 若，则，当时不成立，错误； B. 若，则，正确； C. ，则，也成立，错误； D. 若，则，当不成立，错误； 故选： 【点睛】本题考查了对数指数和幂运算，意在考查学生对于基本函数运算的理解. 比较大小问题 常用方法： 1、 指对数函数的单调性；2、借助中间值：0和1等. 【典例】 2.设则（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 2.A 【分析】利用对数函数的单调性、指数函数的单调性可得三者的大小关系. 【详解】因为为上的增函数，故， 因为为上的增函数，故， 故. 故选：A. 【点睛】本题考查指数、对数的大小，解决此类问题关键是根据指数函数、对数函数的单调性来比较大小，必要时需借助中间数来传递大小关系. 含对数不等式的解法 1、 根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行等价转化，结合对数不等式的解法进行求解即可； 2、 数形结合法； 3、 分段函数要进行分类讨论。 【典例】 3. 已知定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______. 答案及解析： 3. 【分析】可求出分段函数在时的解析式，分两种情况解不等式，求并集. 【详解】当时，，，则 当时，，故，，则 ，则，则，则此时 综上有故答案为： 对数函数的图像和性质 【典例】 4. 已知，，和的图像只可能是（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 4.B 分析：由题意利用函数的定义域和函数的单调性排除错误选项即可确定满足题意的函数图像. 解答：函数的定义域为，据此可排除选项A,C； 函数与的单调性相反，据此可排除选项D， 故选B. 对数型复合函数的定义域、值域 方法指导： （1）首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断可得； （2）结合（1）中的结论，即可得解； 【典例】 5.函数y=log(2x-1)的定义域是（ ） A. （，1）∪（1，+∞） B. （，1）∪（1，+∞） C. （，+∞） D. （，+∞） 答案及解析： 5.A由题意得 ，选A. 6.下列函数中，函数值域为的是（ ） A. B. C. D. 答案及解析： 6.B 【分析】 对于选项，函数值域为，所以选项错误； 对于选项，函数的值域为，所以选项正确； 对于选项函数的值域为,所以选项错误； 对于选项，函数的值域为，所以选项错误. 【详解】对于选项，函数的值域为，所以选项错误； 对于选项，函数，所以函数的值域为，所以选项正确； 对于选项函数的值域为,所以选项错误； 对于选项，函数的值域为，所以选项错误. 故选：B 【点睛】方法点睛：高一数学中求函数的值域常用的方法有：（1）函数的单调性法；（2）数形结合法.要根据已知条件灵活选择合适的方法求解. 对数型复合函数的单调性 运用对数函数的性质，判断复合函数单调性的法则与基本方法： 1、 求出对数函数的定义域； 2、 根据“同增异减”判断对数型函数的单调性。 【典例】 7.函数的单调减区间为______ ． 答案及解析： 7. 【分析】根据复合函数同增异减的单调性，的单调减区间即为的单调递增区间与的定义域的交集。 【详解】的定义域为 将写成复合函数的形式 为单调递减， 根据复合函数同增异减的单调性，要求的单调递减区间，即为的递增区间。 的对称轴为，开口朝下 又 在上单调递增， 即的单调递减区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了复合函数的单调区间的求法，记住同增异减即可，另外需要注意单调区间一定是定义域的子集，所以求单调区间时先求定义域。本题属于基础题。 1.的值为（ ） A -1 B. C. 3 D. -5 2.已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3.函数f(x)＝的部分图象可能是 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5.已知函数，若，则实数a的取值范围是_________. 6.函数的定义域为_________． 7.函数的增区间是______，值域是______． 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 2.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设，则（ ） A． B． C． D． 3.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若，则（ ） A． B． C． D． 4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若，则（ ） A． B． C． D． 5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 6．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设，，，则（ ） A． B． C． D． 7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知，则 A． B． C． D． 9.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 10.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D． 11.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 1.下列等式成立的是( )． A．log2(8－4)＝log2 8－log2 4 B．＝ C．log2 23＝3log2 2 D．log2(8＋4)＝log2 8＋log2 4 2.设，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1 4.若是定义在上的奇函数，且当时，，则 A． B．3 C． D．－3 5.已知，则（ ） A. B. C. D. 6.函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 9.已知函数在区间(－∞,0)内单调递增，且，若，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10.设，若函数在区间(0,8)上有三个零点，则实数a的取值范围______. 11.函数的单调递减区间是______；函数的值域是______. 12. 若函数在上为减函数.则实数的取值范围是________． 参考答案 跟踪训练 1.A 【分析】进行对数式、分数指数幂和根式的运算即可． 【详解】原式＝lg2+lg5﹣2﹣2+2＝lg10﹣2＝1﹣2＝﹣1． 故选A． 【点睛】本题考查对数式，根式和分数指数幂的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 2.D 【分析】先判断的奇偶性，再证明单调性，判断出对应自变量的大小关系，利用单调性比，即可得出答案. 【详解】∵，∴ ，∴，∴， ∴函数是奇函数，∴当时，易得 为增函数， 故在上单调递增， ∵，，， ∴，∴. 故选D 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题. 3.B 4.D 【分析】 求使函数有意义的取值范围，即解可得解. 【详解】要使函数有意义，只需 得，即或 所以函数定义域为， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域的求法，属于基础题. 5. 分析：由题设知或，根据分段函数解析式，列不等式组即可求a的取值范围. 解答：由，即或， ∴结合函数解析式知： 或或， ∴解得：或或. ∴a的取值范围. 点拨：关键点点睛：由题设有或，结合分段函数性质，解不等式求参数的范围. 6. 【分析】 根据函数有意义满足的不等式，即可求解. 【详解】函数有意义须，， 解得， 所以函数的定义域是. 故答案为: 【点睛】本题考查函数的定义域，以及解对数不等式，属于基础题. 7. ; 【分析】 先由题意求出函数定义域，令，判断的单调性，再由复合函数单调性，即可得出单调区间；进而可求出值域. 【详解】由题意可得：，解得，即函数的定义域为； 令，则是开口向下，对称轴为的二次函数； 因此在上单调递增，在上单调递减， 又函数单调递增，所以的单调递增区间为：； 又时，，即； 所以. 即值域为. 故答案为：；． 真题再现 1.【答案】C 【分析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 2.【答案】B 【分析】由可得，所以， 所以有，故选：B. 3．【答案】B 【分析】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 4．【答案】A 【分析】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 5．【答案】D 【分析】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 6．【答案】A 【分析】因为，， 所以. 故选：A. 7．【答案】A 【分析】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 8．【答案】B 【分析】则．故选B． 9．【答案】C 【分析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 10．【答案】C 【分析】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 11.【答案】-3 【分析】因为是奇函数，且当时，． 又因为，， 所以，两边取以为底的对数得，所以，即． 模拟检测 1.C 2.B 【分析】先求出，然后即可求出 【详解】因为 所以 所以 故选：B 【点睛】本题考查的是分段函数的知识，较简单. 3.D 【分析】先求出，然后将对数式换为指数式求再求 【详解】两颗星的星等与亮度满足 , 令 ， ， ， ， 故选D. 4.C 5.D 【分析】利用“分段法”比较出的大小关系. 【详解】因为，，，所以. 故选：D 【点睛】本题考查指数式和对数式比较大小，属于基础题. 6.C 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断出函数是偶函数，再根据导函数的正负，得出函数的单调性，再由特殊点的函数值的正负，运用排除法，可得选项. 【详解】因为，所以是偶函数. 当时，，则. 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减，排除A，B. 又，排除D， 故选:C. 【点睛】本题考查函数图象的判别，在判断函数的图象时，常常判断出函数的奇偶性，单调性，特殊点的函数的正负等方面，运用排除法，属于基础题. 7.A 【分析】根据题意得到，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的定义域，属于简单题. 8.C 【分析】根据定义域的求法列不等式，解对数不等式求得函数的定义域. 【详解】由已知得即或，解得或.所以定义域为. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题. 9.B 【分析】由偶函数的性质可得出函数在区间上为减函数，由对数的性质可得出，由偶函数的性质得出，比较出、、的大小关系，再利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】，则函数为偶函数， 函数在区间内单调递增，在该函数在区间上为减函数， ，由换底公式得，由函数的性质可得， 对数函数在上为增函数，则， 指数函数为增函数，则，即， ，因此，. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10. 【分析】，画出函数图像，计算直线和函数相切时和过点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】，故，画出图像，如图所示： 当直线与函数相切时，设切点为，此时，， 故，，，解得，，； 当直线过点时，斜率为，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 11.;（0，16] 【分析】利用复合函数“同增异减”的判断方法判断函数的单调性即可求解. 【详解】令，则函数在上单调递减， 在上单调递增. 对函数，令， 得或，又在上单调递增， 所以由复合函数单调性可知， 函数的单调递减区间是； 对函数，又在上单调递减， 由复合函数单调性可知， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 故函数的值域是 . 故答案为：；（0，16] 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性及指数、对数函数的单调性，考查利用单调性求值域，属于中档题. 12. 【分析】由题意可得，在单调递减，且，即，即可求解. 【详解】是由，复合而成， 因为，开口向下，对称轴为，所以在上为减函数， 因为函数在上为减函数， 所以为增函数， 所以， 又因为对于恒成立了，所以，解得：， 综上所述：实数的取值范围是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数，二次函数的性质，属于中档题. 20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！