解决圆锥曲线中的斜率问题的技巧与方法-02二次曲线系解决圆锥曲线中的斜率问题.docx

二次曲线系及应用 曲线系方法是优化圆锥曲线运算的一种重要方法，它本质上是对圆锥曲线的一种更深层的认识. 本节我将介绍二次曲线系方法在圆锥曲线计算中的应用，通过本节，你将会看到一些问题通过曲线系方法将直击本质，简单明了. 一．基本原理. 定理：给定五个点，其中任何三个点都不共线，则过这五个点有且仅有一条圆锥曲线. 进一步可得：由组成的曲线：. 圆锥曲线上的四点共圆问题：设圆锥曲线方程为，则存在四点共圆的情况必为，由于没有的项，必有. 二．典例分析（公众号：凌晨讲数学） 例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 解析：（曲线系）点处的切线方程为，设直线的方程为，的方程为，的方程，则过这四条直线交点的二次曲线方程为. 又因为双曲线过这些交点，比较的系数得. 又由，所以. 例2.（2020一卷）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 解析：（2）设，则，将写成双直线二次曲线:，因为是双直线二次曲线与椭圆的交点,联立方程: 考虑到是已知的，且纵坐标均为，则联立后的方程必有因式于是将①式按整理得: 由①:，代入得: ，由于交点满足联立后的方程，且纵坐标不为， 于 是满足方程，即直线的方程为: ，按整理得， 令得定点. 例3．（2020山东卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 解析：（2）A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）． 用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）． 即． 对比项、x项及y项系数得，将①代入②③，消去并化简得，即．故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． 例4.（四点共圆的充要条件） 若两条直线与二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是. 证明：由组成的曲线即 所以经过它与的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式不同时为0)： ③ 必要性.若四个交点共圆，则存在使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含项的系数.而(否则③表示曲线，不表示圆)，所以. 充分性.当时，式③左边的展开式中不含的项，选时，再令式③左边的展开式中含项的系数相等，即，得. 此时曲线③即 ④ 的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆. 附例：（2021新高考1卷） 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 解析：（2）因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．设,直线的方程为，直线的方程为, 则二次曲线．又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：，整理可得：， 其中．由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即. 5 学科网（北京）股份有限公司