第一章数列章末复习课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册.pptx

第一章章末复习,南阳市五中,考点一传统文化中的数列问题1在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题2通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养,例1(1)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗今有大夫一人后来，亦当禀五斗仓无粟，欲以衰出之，问各几何？”现解决如下问题：原有大夫、不更、簪裹、上造、公士5种爵位的人各1人，现增加一名大夫，共计6人，按照爵位共献出5斗粟，其中5种爵位的人所献粟的量成等差数列an，其公差d满足da5，请问6人中爵位为簪裹的人需献出粟的数量是()A 3 4 斗 B 4 5 斗C1斗 D 5 4 斗,答案：(1)A,解析：(1)由题意得 a 1+5 a 1+10d=5，d=a 1+4d，解得 a 1=5 4，d=1 4，所以6人中爵位为簪裹的人需献出粟的数量是a3a12d 3 4 斗故选A.,(2)中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第五天走的路程为()A6里 B12里C24里 D48里,答案：B,解析：(2)记第n天走的路程里数为an，由题意知an是公比为 1 2 的等比数列，由S6378，得S6 a 1 1 1 2 6 1 1 2 378，解得a1192，所以a5192 1 2 4 12里故选B.,跟踪训练1张丘建算经中有一道题的大致意思是，有一女子善于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织布()A3尺 B4尺C5尺 D6尺,答案：C,解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列an是等差数列，设其公差为d.则 21=a 1+29d，390=30 a 1+3029 2 d，解得 a 1=5，d=16 29.所以该女子第一天织布5尺故选C.,考点二等差、等比数列的基本运算(1)计算基本量：将条件利用基本量表示，列出方程(组)求解；(2)利用性质计算：利用数列的性质转化条件，简化运算，常用的性质有等差(比)中项、数列两项、四项的关系等；(3)通过对等差、等比数列的基本运算的考查，提升学生的数学运算素养,例2(1)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a27，S3S7，则S7a8()A24 B26C28 D30(2)在正项等比数列an中，a21，a3a516，则 2+4 1+3 的值是()A2 B4C8 D16,答案：(1)B(2)A,解析：(1)设等差数列an的公差为d，由a27，S3S7得 a 1+d=7，3 a 1+32 2 d=7 a 1+76 2 d，解得 a 1=9，d=2.所以S7a87a1 76 2 d(a17d)6a114d6914(2)26.故选B.(2)a21，a3a5 a 4 2 16，a44，q2 a 4 a 2 4，q2，a 2+a 4 a 1+a 3 a 1+a 3 q a 1+a 3 q2.故选A.,跟踪训练2(1)在等差数列an中，a3a4a7a82 018，则a5a6()A504 B1 009C2 018 D4 036(2)设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则 5 2 等于()A11 B5C8 D11,答案：(1)B(2)D,解析：(1)因为a3a8a4a7a5a6，a3a4a7a82 018，所以a5a6 1 2(a3a4a7a8)1 009.故选B.(2)设等比数列的首项为a1，公比为q，则8a1qa1q40，解得q2.所以 S 5 S 2 a 1 1 q 5 1q a 1 1 q 2 1q 1 q 5 1 q 2 1 2 5 1 2 2 33 3 11.故选D.,考点三等差、等比数列的证明1等差、等比数列的判断方法(1)定义法：an1and(常数)an是等差数列；+1 q(q为常数，q0)an是等比数列(2)中项公式法：2an1anan2an是等差数列；+1 2 anan2(an0)an是等比数列(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列；SnAqnA(A，q为常数，且A0，q0，q1，nN*)an是等比数列2通过对等差数列、等比数列的证明的考查，提升学生的逻辑推理素养,例3设Sn为数列an的前n项和，已知a37，an2an1a22(n2)(1)证明：an1为等比数列(2)求an的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？,解析：(1)证明：因为a37，a33a22，所以a23，所以an2an11，所以a11，a112，又因为 a n+1 a n1+1 2 a n1+2 a n1+1 2(n2)，所以an1是首项为2，公比为2的等比数列(2)由(1)知，an12n，所以an2n1，所以Sn 2 2 n+1 12 n2n1n2，因为nSn2ann2n1n22(2n1)0，所以nSn2an，即n，an，Sn成等差数列,跟踪训练3已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5 31 32，求.,解析：(1)由题意得a1S11a1，故1，a1 1 1，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0且1得an0，所以 a n+1 a n 1.因此an是首项为 1 1，公比为 1 的等比数列，于是an 1 1 1 n1.(2)由(1)得Sn1 1 n.由S5 31 32 得1 1 5 31 32，即 1 5 1 32.解得1.,考点四数列通项公式与求和(1)当已知数列为等差数列或等比数列时，只需利用条件求出基本量(首项a1及公差d或公比q)即可写出通项公式，解题时务必要分清是等差数列还是等比数列，切不可张冠李戴(2)对于由Sn与an构成的递推关系式，通常是通过anSnSn1(n2)消去Sn或an(当消去Sn困难时)两种途径解决问题对于由Sn与Sn1构成的递推关系式，通常通过anSnSn1(n2)构建an求解注意表达式an 1,=1 1,2,若n1时，an(n2)表达式的值不等于a1，则数列的通项公式要分段表示(3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法(4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养,例4已知数列an的前n项和Sn满足2Sn(n1)an(nN*)且a12.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)2.求数列bn的前n项和Tn.,解析：(1)因为2Sn(n1)an，nN*，所以2Sn1(n2)an1，nN*.两式相减得2an1(n2)an1(n1)an,整理得nan1(n1)an，即 a n+1 n+1 a n n，nN*，所以 a n n 为常数列所以 a n n a 1 1 2，所以an2n.(2)bn a n 1 2 a n(2n1)4n.所以Tn141342543(2n1)4n4Tn142343(2n3)4n(2n1)4n1.两式相减得：3Tn42(42434n)(2n1)4n1，3Tn42 4 2 4 n+1 14(2n1)4n1，化简得Tn 20 9+6n5 4 n+1 9.,跟踪训练4已知数列an，bn，cn满足a1b1c11，cnan1an，cn1+2 cn，nN*.(1)若bn为等比数列，公比q0，且b1b26b3，求q的值及数列an的通项公式；(2)若bn为等差数列，公差d0，证明：c1c2c3cn1 1，nN*.,解析：(1)由b1b26b3得1q6q2，解得q 1 2.由cn14cn得cn4n1.由an1an4n1得ana1144n2 4 n1+2 3.(2)由cn1 b n b n+2 cn得 c n+1 c n b n b n+2，所以 c n c n1 b n1 b n+1.得cn c n c n1 c n1 c n2 c 3 c 2 c 2 c 1 c1 b n1 b n+1 b n2 b n b n3 b n1 b 2 b 4 b 1 b 3 c1 b 1 b 2 c 1 b n b n+1 1+d d(1 b n 1 b n+1)，所以c1c2c3cn 1+d d(1 1 b n+1)，由b11，d0得bn10，因此c1c2c3cn1 1 d，nN*.,