第一章数列 单元检测卷（A卷）——2021-2022学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册.docx

第一章数列单元检测卷（A卷） 一、单选题 1．在数列中，，则（       ） A．2 B． C． D． 2．已知等差数列的公差为1，为其前项和，若，则（       ） A． B．1 C． D．2 3．在等比数列中，，，则（       ） A．-8 B．16 C．32 D．-32 4．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“”的边长都是下一行“”边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.8的视标边长为（       ） A． B． C． D． 5．设是公差不为0的等差数列的前n项和，且，则（       ）． A．10 B．14 C．15 D．18 6．记正项等差数列的前n项和为，若，，则（       ） A． B． C． D． 7．若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（       ） A． B． C． D． 8．设是等差数列的前n项和，若，则（       ） A．198 B．388 C．776 D．2021 9．设数列的前n项和，满足，则下列说法正确的是（       ） A． B． C． D． 10．已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围为（       ）． A． B． C． D． 11．已知公差不为零的等差数列，首项，若，，成等比数列，记（，），则数列（       ） A．有最小项，无最大项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项 12．已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则（       ） A． B． C．2022 D．4044 二、填空题 13．已知数列的通项公式为，，则其前项的和为______. 14．我国古代春节期间，“剪窗花，贴对联”是几乎每家每户都会进行的迎新活动，而窗花（俗称剪纸）蕴含着辞旧迎新、接福纳样的美好寓意．如图是一幅宁波北仑新碶民间的剪纸作品．北仑疫情期间，一位艺术家居家隔离，他把一张厚度（单位：cm）为0.0125的纸对折了三次，开始了该作品的创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度（单位：mm）是___． 15．已知数列满足（且），为数列的前n项和，且，则______. 16．已知数列中，，，且，其中，则______. 三、解答题 17．已知数列满足. (1)求证：是等差数列； (2)若，求的通项公式. 18．已知等比数列的前n项和为. （1）求m的值，并求出数列的通项公式； （2）令，设为数列的前n项和，求. 19．己知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值． 20．已知正项数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 21．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)对任意的，令，求数列的前n项和． 22．在①是与的等比中项，②，③这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足______． (1)求； (2)若，且，求数列的前n项和． 参考答案： 1．D 【解析】 【分析】 根据递推关系，代入数据，逐步计算，即可得答案. 【详解】 由题意得，令，可得， 令，可得， 令，可得， 令，可得. 故选：D 2．D 【解析】 【分析】 先求得，然后求得. 【详解】 依题意. 故选：D 3．D 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式即可求解． 【详解】 设等比数列的公比为 则，所以 故 故选：D 4．D 【解析】 【分析】 根据题意，转化为等比数列，求出通项公式，进而求出答案. 【详解】 设第行视标边长为，第行视标边长为 由题意可得：，故 则数列为首项为，公比为的等比数列 即 则视力4.8的视标边长为 故选：D 5．C 【解析】 【分析】 先由可得，然后利用等差数列的求和公式和通项公式对化简即可求得结果 【详解】 设等差数列的公差为（）， 因为， 所以，得（）， 所以， 故选：C 6．B 【解析】 【分析】 由已知条件结合等差数列求和公式可得，从而可求出公差，进而可求出通项公式 【详解】 因为，， 所以，所以公差， 所以． 故选：B 7．B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质和求和公式结合已知条件分析求解 【详解】 因为等差数列和的前n项的和分别是和，且， 所以. 故选：B. 8．B 【解析】 【分析】 由题设可得，结合等差中项的性质求得，进而应用等差数列前n项和公式求. 【详解】 由得：，即， 所以. 故选：B. 9．A 【解析】 【分析】 根据得到间的关系并变形，进而可以证得是等差数列，然后求出，进一步求出，然后判断四个答案. 【详解】 因为，所以. 由题意，，时，； 时，，所以是以1为首项，1为公差的等差数列.于是. 时，，而满足此式.于是，.，所以，则C,D错误； 又，则A正确，B错误. 故选：A. 10．C 【解析】 【分析】 由数列为递增数列，结合指数函数、一次函数性质列不等式，解不等式可求实数a的取值范围. 【详解】 因为数列为递增数列，所以必有 解得， 故选：C. 11．D 【解析】 【分析】 根据等差数列、等比中项可求出公差，得出通项公式，由的项的特点求解即可. 【详解】 设的公差为， 则， 解得， ， 当时，有最小值，当时有最大值. 故选：D 12．A 【解析】 【分析】 先判断函数是奇函数，再求出，再利用等差数列的前项和公式得解. 【详解】 解：因为是奇函数， 因为，，所以， 所以，所以， 所以. 故选：A 13． 【解析】 【分析】 利用分组求和直接计算. 【详解】 由， 当时，， 当时，， 所以 ， 故答案为：. 14．1 【解析】 【分析】 由题设易知每对折一次纸的厚度翻一倍，可知三次对折后厚度为原来的倍，即可求半成品的厚度. 【详解】 由题设，对折了三次后半成品厚度为，即. 故答案为：1. 15．2 【解析】 【分析】 首先证得数列为等差数列，进而结合等差数列的前n项和公式以及中项性质即可求出结果. 【详解】 因为数列满足（且）， 所以数列为等差数列，且公差为2. 又因为，所以. 故答案为：2. 16． 【解析】 【分析】 根据递推公式可以确定数列的周期，利用数列的周期进行求解即可. 【详解】 因为， 所以当时，有， 得：， 因为，，所以，显然，即， 于是有，于是当时，，所以数列是以为周期的周期数列，因为， 所以， 故答案为： 【点睛】 关键点睛：利用递推公式判断数列的周期是解题的关键. 17．(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）将原递推关系式变形即可证明； （2）先求得，再用累加法即可求解. (1) 由题，即， 是公差为4的等差数列. (2) ，累加可得 ，当时也满足上式 . 18．（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）法一：由已知求、，根据等比数列的性质确定的值，进而求出，写出通项公式；法二：由与的关系，结合已知求得、，，再根据等比中项的性质求，写出通项公式； （2）由（1）写出通项公式，由奇偶项和为定值，应用并项求和法求. 【详解】 （1）法一：当时， 当时， ∵是等比数列， ∴，即，解得 综上，的值为，数列的通项公式为. 法二：∵，， ∵是等比数列， ∴，即，解得， 设的公比为， ∴，，则. （2）∵， ∴. 19．(1)； (2)142. 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列的通项公式，结合等差数列前n项和公式进行求解即可； （2）根据题意，结合等比数列前n项和公式进行求解即可. (1) 设的公差为d，由已知，． 解得，d＝2．所以； (2) 因为与之间插入个1， 所以在中对应的项数为 ， 当k＝6时，，当k＝7时，， 所以，，且． 因此 . 20．(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）由已知，结合的关系可得、，根据等差数列的定义即可写出通项公式. （2）由（1）得，应用裂项相消法求前项和. (1) 当时，且，所以. 当时，， 所以， 所以，又， 所以，即是首项为1，公差为3的等差数列，故. (2) 因为， 所以. 21．(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）当时可得，当时， 两式相减，即可得出，再验证满足上式， 从而求出数列的通项公式； (2)对分奇数和偶数讨论，结合等差数列和等比数列的前项和公式即可求解. (1) 当时，得，解得； 当时，可得 ， 由，得，， 当时，也符合， 所以数列的通项公式为． (2) 由（1）知. 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， ． 综上所述，． 22．(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）若选①②，则可得，，从而可求出，进而可求出，若选①③，则可得，，从而可求出，进而可求出，若选②③，则可得，，从而可求出，进而可求出， （2）由（1）可得，从而可求得，则，然后利用裂项相消法求和 (1) 选①②：由①知，是与的等比中项，则，即． 由，可得，由②知，，可得． 则有，解得，则． 选①③：由①知，是与的等比中项，则，即． 由，可得，由③知，，可得，解得． 从而，所以． 选②③：由②知，，可得， 由③知，，可得，解得． 则，解得d＝4，所以． (2) 由题意知，，且，所以． 所以当n≥2时， ． 也满足，所以对任意的，． 则． 所以． 答案第14页，共1页