第五章 三角函数 尖子生必刷卷- 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

第五章 三角函数 尖子生必刷卷 一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。 1．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号为（ ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 3．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，且，，则（ ） A． B． C． D． 6．若不等式．对x∈恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象关于点及直线对称，且在不存在最值，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知，若在区间上单调时，的取值集合为，对不等式恒成立时，的取值集合为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。 9．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．点是的对称中心 B．直线是的对称轴 C．在区间上单调减 D．的图象向右平移个单位得的图象 10．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ） A．的最小正周期为12 B． C．的最大值为 D．在区间上单调递增 11．已知函数（其中，，），，恒成立，且在区间上单调，则下列说法正确的是（ ） A．存在，使得是偶函数 B． C．是奇数 D．的最大值为3 12．已知集合，若对于，使得成立则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合．其中是“互垂点集”集合的为（ ） A． B． C． D． 三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数对任意都有，若在上的取值范围是，则实数的取值范围是__________． 14．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是_____． 15．已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是_______. 16．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则______. 四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 17．已知函数，． (1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值； (2)若函数在内恰有3个零点，求的取值范围． 18．已知函数． （1）当时，求函数的最大值与最小值； （2）求的取值范围，使在区间上是单调函数． 19．已知函数在内取得一个最大值和一个最小值,且当时,有最大值3,当时,有最小值 (1)求函数的解析式;  (2)是否存在实数m满足若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由． 20．函数在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，；当时，. （1）求函数的解析式. （2）求函数的单调递增区间. （3）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围（或值）；若不存在，请说明理由. 21．设函数为偶函数. （1） 求的值； （2）若的最小值为，求的最大值及此时的取值； （3）在（2）的条件下，设函数，其中.已知在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值. 22．已知函数. （1）证明函数在上为减函数； （2）求函数的定义域，并求其奇偶性； （3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围. 参考答案 1．A 【解析】解：函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点， 即在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根． ，， 当，则，求得； 当，，方程在区间上有1个根，不满足题意； 当，，求得； 当，则，方程在区间上有3个不同的根，满足条件，此时，， 当，，方程在区间上有5个不同的根，不满足题意； 当时，方程在区间上至少有5个不同的根，不满足题意． 综上，可得， 故选：A． 2．A 【解析】对于①中，函数的定义域为关于原点对称， 由， 所以是奇函数，所以①正确. 对于②中，假设存在周期，则， ， 所以 ①， 存在，使得，而， ，， 由于，故， 所以 所以，， 可得，，，所以，矛盾， 所以函数，没有周期，所以②错误. 对于③中，函数， 函数的零点为方程，可得或， 即，所以在区间上有三个零点，故③正确. 对于④中，函数， 若，则，， 若，则，， 所以，和，两者不会同时成立， 即和不可能同时成立，故的最大值不是，所以④错误； 则四个命题中正确的为①③； 故选：A. 3．D 【解析】令，解得，， 而函数在区间上单调递增， 所以，解得， 当时，， 因为在区间上有且仅有一个解， 所以，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：D. 4．A 【解析】由，可得，， 因为，得， 即， 又由 （定值）， 即， 即恒成立， 可得，解得，. 故选：A． 5．A 【解析】且，，. 又，，. 当时， ， ，，不合题意，舍去； 当，同理可求得，符合题意. 综上所述：. 故选：. 6．D 【解析】由，则， 当或时，即或时，， 当时，即时，， 所以当或时，， 当时，， 设函数，则在上单调递增，在上单调递减， 且函数的图象关于直线对称，所以， 所以，解得， 又由，解得， 所以，. 故选：D. 7．C 【解析】函数的图象关于点及直线对称. 则. 在不存在最值，则，故时满足条件，，. ，则. 当时满足条件，故. 故选：. 8．A 【解析】，可知函数周期，由题可知函数在区间上单调，故该区间长度需小于等于半个周期，及，∴， 对于不等式，；设，，； ∴不等式等价于恒成立，及， 对于，， ∴，及集合， ∴， “”是“”的充分非必要条件， 故选：A 9．CD 【解析】由图知：且，则， ∴，可得， 又过， ∴，得，又， ∴当时，. 综上，. A：代入得：，故错误； B：代入得：，故错误； C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确； D：，故正确； 故选：CD 10．ACD 【解析】由题意可得：，，， ，，，，， ，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确. 时，，可得：函数在单调递增. 综上可得：ACD正确. 故选：ACD 11．BCD 【解析】，，则，， 故，，， ，则，故，，， 当时，，， 在区间上单调，故，故，即， ，故，故， 综上所述：或，故CD正确； 或，故或，，不可能为偶函数，A错误； 当时，，，故； 当时，， ，故， 综上所述：，B正确； 故选：BCD. 12．BD 【解析】由题意，对于，，，，使得成立 即对于任意点，，在中存在另一个点，使得． 中，当点坐标为时，不存在对应的点． 所以所以不是“互垂点集”集合， 的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以在中的任意点，，在中存在另一个点，使得． 所以是“互垂点集”集合， 中，当点坐标为时，不存在对应的点． 所以不是“互垂点集”集合， 的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以是“互垂点集”集合， 故选：BD． 13． 【解析】解：，其中， 因为函数对任意，都有， 所以的最大值为，所以，即，，所以， 所以， 因为，所以， 若在，上的值域为， 所以 结合正弦函数的性质可知，， 解得， 即实数的取值范围是，． 故答案为：，． 14． 【解析】 ． 由，可得，解得，． 因为在区间内没有零点， 所以，且， 即且， 因为， 分别取，1,2,3， ， ∴的取值范围是， 故答案为：． 15．或 【解析】解: 令.则由可得 则.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为 则,解得 若最大值为,则,解得.综上所述: 或. 故答案为: 或. 16． 【解析】对任意实数,都有 令 则 因为是定义域为的单调函数 所当时,函数值唯一,即代入 可得,即 化简可得,经检验可知为方程的解 而为单调递减函数,为单调递增函数 所以两个函数只有一个交点,即只有一个根为 所以 而 所以 故答案为: 17．(1)5π/6 ；(2)（2,3√2/2）． 【解析】(1) 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位得到函数， 因为，所以， 因为，所以， 又因为得到的图象在上单调递增，所以，解， 所以的最大值为. (2) ， 令， 因为，所以，， 所以，， 令，显然不是其方程的解，所以得，， 画出函数和函数的图象，如下图， 则当时，对应的，而当时，对应的只有一个解，不满足题意； 当时，此时没有的值对应，所以此时无解，不满足题意； 当时，对应的，而当时，对应的有两个解，不满足题意； 当时，对应的，，而此时对应的只有两个解，不满足题意； 当时，令，得或 ，此时对应的，，而当对应的时，对应一个的值，而当时对应两个的值，所以此时有三个解，满足题意； 当时，对应的，而此时对应的只有一个解，不满足题意； 故的取值范围为. 18．（1）；（2）． 【解析】（1）当时，， ，当 时，取最小值为 ， 当 时，取最大值为 ； （2）的图像的对称轴为 ， 要使在区间上单调， 那么，或，即或， 又，所以. 19．（1）；（2）. 【解析】(1)由题意可知:, ,  ,  则,  ,  因为点在此函数图象上,  , ,  ;  (2),ϕ,  ϕ,  ϕ,  而在上是增函数  ,  ,  且且,  ,解得: 的取值范围是,  解得: 的取值范围是 20．（1）；（2）.（3）存在， 【解析】（1）由题意，可得，，所以， 所以，所以. 由点在函数图象上，得， 因为，所以，所以. （2）当时， 即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为. （3）由题意，实数满足，解得. 因为，所以，同理， 由（2）知函数在上单调递增， 若， 只需，即成立即可， 所以存在，使成立. 21．（1）；（2）最大值为， 此时的取值为；（3） 【解析】（1）因为， 是偶函数， 所以 对一切恒成立， 所以. （2）由（1）知 ， 因为其最小值为， 所以 ， 所以， 当时，取得最大值， 此时； （3）由（2）知：， ， ， 因为在处取最小值，且点是其图象的一个对称中心, 所以， 所以，， 所以，则， 即， 又因为， 所以，， 当时， ， ，在处取得最大值，不符合题意； 当时，， ， 在取不到最小值，，不符合题意； 当时， ， ， 在处取得最小值， ，的图象关于点中心对称， 所以的最小值为. 22．（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）. 【解析】（1），，， 又， 因为，，，故，，， 故即，所以函数在上为减函数. （2）的满足的不等关系有：即， 故，解得， 故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称. 令 又 ， 故为奇函数. （3）令，因为，故. 故在上不等式能成立即为 存在，使得，所以在上能成立， 令，则且， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，所以a的取值范围为.