多选题题型专项练训专练02数列-2022届新高考二轮复习.docx

2022届新高考二轮复习第二部分多选题题型专项练训 专练02　数　列 1.(2021·武汉质检)无穷数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c，其中a，b，c为实数，则(　　) A.{an}可能为等差数列 B.{an}可能为等比数列 C.{an}中一定存在连续三项构成等差数列 D.{an}中一定存在连续三项构成等比数列 2.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列结论一定正确的是(　　) A.a10＝0 B.S10最小 C.S7＝S12 D.S20＝0 3.(2021·辽宁五校质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，n∈N*，则(　　) A.{an}一定是递增数列 B.{an}可能是递增数列也可能是递减数列 C.a3，a7，a11仍成等比数列 D.∀n∈N*，Sn≠0 4.已知数列{an}满足a1＝2，(2n－1)an＋1＝(2n＋1)an(n∈N*)，则(　　) A.an＝3n－1 B.an＝4n－2 C.Sn＝n2 D.Sn＝2n2 5.(2021·湖南三联)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2－an＝2，n∈N*，则(　　) A.a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…为等差数列 B.a2－a1，a4－a3，a6－a5，…为常数列 C.a2n－1＝4n－3 D.若数列{bn}满足bn＝(－1)n·an，则数列{bn}的前100项和为100 6.在等比数列{an}中，公比q为整数，Sn是数列{an}的前n项和.若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　) A.q＝2 B.数列{Sn＋2}是等比数列 C.S8＝510 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列 7.(2021·济南联考)已知数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　) A.S6＝F8 B.S2 019＝F2 021－1 C.F1＋F3＋F5＋…＋F2 021＝F2 022 D.F＋F＋F＋…＋F＝F2 020F2 021 8.(2021·福建三联)设数列{xn}，若存在常数a，对任意正数r，总存在正整数N，当n≥N时，|xn－a|<r，则数列{xn}为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的有(　　) A.等差数列不可能是收敛数列 B.若等比数列{xn}是收敛数列，则公比q∈(－1，0)∪(0，1] C.若数列{xn}满足xn＝sincos，则{xn}是收敛数列 D.设公差不为0的等差数列{xn}的前n项和为Sn(Sn≠0)，则数列一定是收敛 数列 9.(2021·青岛质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为(　　) A.数列{an＋1}是等差数列 B.数列{an＋1}是等比数列 C.数列{an}的通项公式为an＝2n－1 D.Tn<1 10.(2021·广州测试)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；……第n(n∈N*)次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2.记an＝1＋x1＋x2＋…＋xk＋2，数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) A.k＋1＝2n B.an＋1＝3an－3 C.an＝(n2＋3n) D.Sn＝(3n＋1＋2n－3) 11.(2021·湖北重点中学调研)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 021·a2 022>1，(a2 021－1)·(a2 022－1)<0，则下列结论中正确的有(　　) A.q>1 B.S2 022>S2 021 C.a2 021·a2 023<1 D.T2 021是数列{Tn}中的最大项 12.(2021·湖南名校测评)如图，已知四边形ABCD中，Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于Gn，点Gn(n∈N*)满足＋2(1＋an)＝an＋1，其中数列{an}是首项为1的正项数列，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A.a3＝13 B.数列{3＋an}是等比数列 C.an＝4n－3 D.Sn＝2n＋1－3n 答案与解析 1.答案　ABC 解析　当c＝0时，{an}为等差数列，故A正确； 当a＝c＝0，b≠0时，{an}为公比为1的等比数列，故B正确； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋b－a，a2＝3a＋b，a3＝5a＋b，a4＝7a＋b，则2a3＝a2＋a4，所以a2，a3，a4成等差数列，故C正确； 当a＝b＝c＝0时，Sn＝0，an＝0，此时{an}中不存在连续三项构成等比数列，故D不正确.故选ABC. 2.答案　AC 解析　设数列{an}的公差为d，又a1＋5a3＝S8，所以a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，则a1＝－9d.所以an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，所以a10＝0，故A一定正确；Sn＝na1＋＝－9nd＋＝(n2－19n)，所以S10＝－45d，不一定最小，故B不一定正确；由Sn＝(n2－19n)的对称性知S7＝S12，故C一定正确；S20＝10d，不一定等于0，故D不一定正确.故选AC. 3.答案　BCD 解析　∵{an}是等比数列，∴an＝a1qn－1，Sn＝(q>1)，∴当a1>0时，数列{an}为递增数列，当a1<0时，数列{an}为递减数列，对于∀n∈N*，Sn≠0，∴A错误，B，D正确.∵a3＝a1q2，a7＝a1q6，a11＝a1q10，∴a3，a7，a11成等比数列，∴C正确.故选BCD. 4.答案　BD 解析　由题意得＝，所以an＝a1···…·＝2···…·＝4n－2，则数列{an}为等差数列，故Sn＝＝＝2n2，故选BD. 5.答案　ABD 解析　法一　采用不完全归纳可得，数列{an}：1，3，3，5，5，7，7，9，9，…，不难得出A，B正确；而a2n－1＝2n－1，故C错误；对于D，数列{bn}的前100项和为－1＋3－3＋5－5＋7－7＋9－…＝2×50＝100.故选ABD. 法二　令n＝2k－1，k∈N*，有a2k＋1－a2k－1＝2.令n＝2k，k∈N*，有a2k＋2－a2k＝2，故{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a2n}是首项为3，公差为2的等差数列，则a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1，易得ABD正确. 6.答案　ABC 解析　因为{an}为等比数列，且a1·a4＝32，所以a2·a3＝32.又a2＋a3＝12， 所以或又公比q为整数，所以即an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2.对于A，由上可得q＝2，故A正确；对于B，因为Sn＋2＝2n＋1，所以＝＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确；对于C，S8＝29－2＝510，故C正确；对于D，lg an＋1－lg an＝lg 2，即数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，故D错误.故选ABC. 7.答案　BCD 解析　因为数列{Fn}从第三项开始，每项等于前相邻两项之和，则Fn＋2＝Fn＋Fn＋1＝Fn＋Fn－1＋Fn＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋Fn－1＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋Fn－3＋Fn－2＝…＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋Fn－3＋…＋F2＋F1＋1＝Sn＋1，所以S6＝F8－1，S2 019＝F2 021－1，故A错误，B正确；易知F1＝F2，F3＝F4－F2，F5＝F6－F4，…，F2 021＝F2 022－F2 020.将以上式子相加，得F1＋F3＋F5＋…＋F2 021＝F2 022，故C正确；因为Fn＋2＝Fn＋1＋Fn，F1＝F2＝1，所以F＝F2F1，F＝F2(F3－F1)＝F2F3－F2F1，F＝F3F4－F2F3，…，F＝F2 020F2 021－F2 020F2 019.将以上式子相加，得F＋F＋…＋F＝F2 020F2 021，故D正确.选BCD. 8.答案　BCD 解析　对于A，若该等差数列是常数列，则符合收敛数列的条件，故A错误； 对于B，当q＝1时，xn＝x1，此时取a＝x1知|xn－a|＝0<r，满足题意；当|q|>1时，xn＝x1·qn－1，当n→＋∞时，|xn|→＋∞，不可能存在这样的常数a满足题意；当q＝－1时，xn＝x1·(－1)n－1，{xn}为摆动数列，也不存在这样的常数a满足题意；当－1<q<1，且q≠0时，xn＝x1·qn－1，当n→＋∞时，|xn|→0，此时取a＝0即可，故q∈(－1，0)∪(0，1]，故B正确； 对于C，xn＝sincos＝sin(πn)＝0，此时取a＝0即可，所以{xn}是收敛数列，故C正确； 对于D，因为Sn＝nx1＋d(d为公差)，故＝，当n→＋∞时，＝→0，此时取a＝0即可，所以是收敛数列，故D正确.故选BCD. 9.答案　BCD 解析　由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，可化为an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，得a1＋1＝2，则数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.则an＋1＝2n，即an＝2n－1.由＝＝－，得Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.所以A错误，B，C，D正确.故选BCD. 10.答案　ABD 解析　由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时k＝1；第2次得到数列1，4，3，5，2，此时k＝3；第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时k＝7；第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时k＝15；…，第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2，此时k＝2n－1，所以k＋1＝2n，故A正确； 结合A项中列出的数列可得⇒an＝3＋31＋32＋…＋3n(n∈N*).由等比数列求和公式可得an＝3＋， 则an＋1＝3＋＝3＋＝＋.又3an－3＝3－3＝9＋－－3＝＋，所以an＋1＝3an－3，故B正确； 由B项分析可知an＝3＋＝(3n＋1)， 则an≠(n2＋3n)，故C错误； Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＋n＝＋n＝＋－＝(3n＋1＋2n－3)，故D正确.故选ABD. 11.答案　BCD 解析　由{an}为等比数列，a1>1，a2 021·a2 022>1及(a2 021－1)·(a2 022－1)<0， 得或(舍去). ∴公比0<q＝<1，则A错误； S2 022＝S2 021＋a2 022>S2 021，故B正确； 由等比数列性质知a2 021·a2 023＝a<1，所以C正确； 因为a1>1，a2>1，…，a2 021>1，0<a2 022<1，0<a2 023<1，…，所以(Tn)max＝T2 021，D正确.故选BCD. 12.答案　AB 解析　由题意可知＝＋，因为B，Fn，C三点共线，所以＋＝1，即1＋2＋2an＝an＋1，即an＋1＝3＋2an，an＋1＋3＝2(an＋3)，所以数列{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，于是an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3，所以a3＝24－3＝13，所以A，B选项正确，C选项不正确.又S2＝a1＋a2＝1＋5＝6，而22＋1－3×2＝2，所以D选项不正确，故选AB. 10