第6章 平面向量及其应用-2023年高考数学基础知识汇总（人教A版2019）（必修第二册）.docx

第6章 平面向量及其应用 §6.1.平面向量的概念 1.平面向量的概念： 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作. 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作. 单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：. 规定：零向量与任意向量平行. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §6.2.平面向量的运算 §6.2.1.向量的加法运算 1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 2.≤（当且仅当与方向方向相同时等号成立）. 3.向量加法的运算律： 交换律： 结合律： §6.2.2.向量的减法运算 1. 相反向量： 与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.记作. 2. 向量减法的定义： 加上的相反向量，叫做与的差. 3. 向量减法的法则：三角形法则. §6.2.3.向量的数乘运算 1. 数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下： ⑴； 　　⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反. 2.运算律： ；； 3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算. 4.平面向量共线定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. §6.2.4.向量的数量积 1. 向量的夹角： 已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作,则叫做向量与的夹角. 2. 与垂直： 如果与的夹角是 ，则与垂直，记作. 3.数量积： 已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即. 4.投影向量： 向量在上的投影向量：在平面内任取一点O，作,过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. 设与同方向的单位向量为，与的夹角为，则. 5.数量积的性质： （1） （2） （3） 或 （4） 6.数量积的运算律： （1） （2） （3） 结论： ，. §6.3平面向量基本定理及坐标表示 §6.3.1平面向量基本定理 平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. §6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 1. 正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 2.向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中,设与轴.轴方向相同的两个单位向量分别为 ,取作为基底.对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得 ，这样平面内的任一向量都可由唯一确定,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做 在 轴上的坐标，叫做向量的坐标表示. §6.3.3平面向量加.减运算的坐标表示 1.设，则： ⑴， ⑵， 即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 2.已知 ，则 . §6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 1.设，则. 2.设,则向量共线的充要条件是 . §6.3.5平面向量数量积的坐标表示 1. 设，则： （1） （2） （3） （4） （5）设，则：. 6.4 平面向量的应用 1.余弦定理： 推论： 2.正弦定理： . （其中为外接圆的半径） 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司