第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（测试）（解析版）.docx

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则有，解得或， 所以或， 由，得， 所以． 故选：D. 2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 由，得或，即， 所以. 故选：B. 3．（2023·湖北·统考二模）已知集合，，且全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得集合表示的区间为，集合表示的区间为， 则，，， , 故选：. 4．（2023·青海西宁·统考一模）已知命题，，则p的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题， 得p的否定为. 故选：A. 5．（2023·江西·校联考二模）“”的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即，所以 对选项A，当，时，，但不满足，故A不正确， 选项B，由，则， 则或，故B项不正确， 选项C，， 则或，故C不正确， 选项D，由知， 所以，成立，故D正确， 故选：D. 6．（2023·全国·高三专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（    ） A．120 B．144 C．177 D．192 【答案】A 【解析】 如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示， 则 不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为 即 由容斥原理： 解得： 故选：A 7．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 8．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在直线上， 所以， 故， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（    ） A．“”是的充分不必要条件 B．“”是的必要不充分条件 C．“”是的充分不必要条件 D．“”是的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】已知：，恒成立，则方程无实根， 所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确； 又：，恒成立，所以在时恒成立， 又函数的最大值为， 所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误. 故选：BC. 10．（2023·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项CD不正确， 故选：AD. 11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【解析】由于集合有且仅有两个子集，所以， 由于，所以. A，，当时等号成立，故A正确. B，，当且仅当时等号成立，故B正确. C，不等式的解集为，，故C错误. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则， 则，，故D正确， 故选：ABD 12．（2023·重庆九龙坡·统考二模）若a，b，c都是正数，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设， 则，， ，， ，， 所以， ，因为，所以，则等号不成立， 所以，则， 因为，所以， 故选：BCD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知集合，集合.如果，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】由解得，所以， 所以， 由于，所以. 故答案为：. 14．（2023·山西运城·统考三模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示） 【答案】 【解析】因为，即函数的值域为， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 15．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为________ 【答案】3 【解析】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题的个数是3. 故答案为：3 16．（2023·全国·高三专题练习）设且，，则的范围为______________. 【答案】 【解析】由且，得，，且①， 又因为，可得②， 由①②可知：，是方程的两个不等的实根， 于是，解得：， 且，则， 则， 所以的范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（10分） （2023·河南许昌·高三校考期末）已知集合，． (1)求A； (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【解析】（1）由，可得， 所以，所以集合. （2）若“”是“”的充分不必要条件， 则集合是集合的真子集， 由集合不是空集，故集合也不是空集， 所以， 当时，满足题意， 当时，满足题意， 故，即m的取值范围为. 18．（12分） （2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）由q真：，得或， 所以q假：； （2）p真：推出， 由和有且只有一个为真命题， 真假，或假真， 或， 或或. 19．（12分） （2023·高一单元测试）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【解析】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 20．（12分） （2023·上海·高三专题练习）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果． (1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？ (2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？ 【解析】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒， 即血液含药量须不低于4微克，可得，            解得，                                        所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果． （2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克； 若，药物浓度，                         解得，                                        若，药物浓度，          化简得，所以；                 若，药物浓度，                 解得，所以；                           综上，                                       所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时． 21．（12分） （2023·江西吉安·统考一模）已均为正数，且，证明： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：由柯西不等式可得， 当且仅当时取等号． 即，则原式成立； （2）证明： ． 当且仅当时取等号. 22．（12分） （2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值． 【解析】令，分别取，1，2，可得， ，． 由，利用绝对值三角不等式可得 ，因此 当，时，，当且仅当时取等号，而，得在上的最大值为，说明等号能成立． 故的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司