第14讲 空间点、线、面的位置关系 讲义-2021-2022学年高三数学二轮复习专题.docx

第14讲 空间点、线、面的位置关系 一、学习目标 1. 掌握空间中的点、线、面的位置关系的判定； 2. 掌握平面与垂直关系的判定与证明. 二、 典例分析 例1.（1）如图，在正方体中，P是线段上的动点，则（       ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 （2）2．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（       ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】（1）B； （2）A 变式： 1．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 【答案】D 例2．（1）设m，n是两条异面直线，则下列命题中正确的是（       ） A．过m且与n垂直的平面有且只有一个 B．过m且与n平行的平面有且只有一个 C．过空间一点P与m，n都平行的平面有且只有一个 D．过空间一点P与m，n都垂直的平面有且只有一个 （2）如图，平面α与平面β相交于BC，AB⊂α，CD⊂β，点A∉BC，点D∉BC，则下列叙述错误的是（       ） A．直线AD与BC异面 B．过AD只有唯一平面与BC平行 C．过点D只能作唯一平面与BC垂直 D．过AD一定能作一平面与BC垂直 【答案】（1）B； （2）D. 变式： 1.已知圆锥SO，AB是圆O的直径，P是圆O上一点（不与A，B重合），Q在平面SAB上，则（       ） A．直线可能与平面垂直 B．直线可能与平面垂直 C．直线可能与平面平行 D．直线可能与平面平行 【答案】C 2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ） A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条 【答案】D 例3．如图，在四棱锥中，平面，. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面? 说明理由. 【答案】（Ⅰ）因为平面，所以．又因为，所以平面． （Ⅱ）因为，，所以． 因为平面，所以．所以平面．所以平面平面． （Ⅲ）棱PB上存在点F，使得平面．证明如下： 取PB中点F，连结EF，，．又因为E为的中点，所以． 又因为平面，所以平面． 变式： 1．如图，在四棱锥中， 平面平面，，，， ，，. （1）求证:平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？ 若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）因为平面平面，， 所以平面.所以.又因为，所以平面. （Ⅲ）棱上存在点使得平面，此时. 三、课外作业 1．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，分别是，的中点，点在线段上，且，则（       ） A． B．直线与直线相交 C． D．平面 【答案】D 2．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则（    ） A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于 【答案】D 3．已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 4．若为两条异面直线外的任意一点，则（ 　　） A．过点有且仅有一条直线与都平行 B．过点有且仅有一条直线与都垂直 C．过点有且仅有一条直线与都相交 D．过点有且仅有一条直线与都异面 【答案】B 5．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】B 6．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 7．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的所有序号是___________. ①②．③．④． 【答案】 ② ③ 8．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是： ①3；       ②4；     ③5；     ④6；     ⑤7 以上结论正确的为___________________．（写出所有正确结论的编号） 【答案】①③④⑤ 9．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是______________. 【答案】 10.棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为_________. 【答案】 11．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD． 因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM． 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM． 又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC． 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC． （2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD． 证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点． 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP． MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD． 12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD． （Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由； （Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD． 【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点. 理由如下：因为AD∥BC，BC=AD，所以BC∥AM， 且BC=AM. 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB. 又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM∥平面PAB. （Ⅱ）由已知，PA⊥AB，PA⊥CD， 因为AD∥BC，BC=AD，所以直线AB与CD相交， 所以PA⊥平面ABCD.从而PA⊥BD. 因为AD∥BC，BC=AD，所以BC∥MD，且BC=MD. 所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB. 又AB∩AP=A，所以BD⊥平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD. 13．如图1所示，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示.                                （1）求证：；（2）线段上是否存在点，使平面？请说明理由. 【答案】（1）先证，得出， ∵ ∴ ∴； (3) Q为的中点，由上问 ，易知,取 中点P， 连接DP和QP，不难证出， ∴ ∴ ， 又∵∴. 学科网（北京）股份有限公司