第20题平面向量最值范围解法灵活数形为本讲义——2024届高三数学三轮复习之一题多解.docx

第20题 平面向量最值范围，解法灵活数形为本 已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要．思路一是以切线长为变量x，将可表示为x的函数，再转化为方程用判别式法求解， 如图20-1所示，设（），，则．，，令， 则． 即， ∵是实数，∴，即，解得或故，此时，故选D． 1．设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为， 则的最大值等于 ． 本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要．思路二是以OP长为变量r，将表示为关于的函数，借助基本不等式求解. 如图20-2所示，设，， 则，． ∴有，当且仅当时等号成立．∴，故选D． （2023·天津·统考高考真题） 2．在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要．思路三是以O到AB中点M的距离为变量，将表示为关于的函数（利用向量运算三角形法则和直角三角形射影定理求得），借助基本不等式求解. 如图20-3所示，设AB的中点为M且，在中，由直角三角形射影定理有，．∴，． ∴ ． 当且仅当时等号成立，∴，故选D． （2024·全国·模拟预测） 3．已知非零且不垂直的平面向量，满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则，夹角的余弦值的最小值为 ． 本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要．思路四是引进为变量，将表示为三角函数，原问题进入了三角函数这一知识板块，应用三角恒等变换、三角函数的性质以及换元法求解. 设，． 则 令，，，故选D． 4．如图，已知等腰直角三角形中，，，两顶点分别在正半轴（含原点）上运动，分别是的中点，则的取值范围是 ． 本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要．思路五是建立适当地平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，建立关于坐标的函数式，再求最小值. 如图20-4所示，以OP为x轴，O为原点建立直角坐标系，则圆的方程为，设，，． ，． ，故选D． 5．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为 ．    本例以圆与圆的切线为载体考查向量的数量积的最值，而求最值则往往需要构造方程或函数，如何引进变量就显得非常重要．思路六是利用向量极化恒等式：进行转化，由基本不等式求最小值. 如图20-3所示，设AB的中点为M，在中，由直角三角形射影定理有，． ∴． ， 当且仅当时等号成立，∴，故选D． （2024·吉林·统考二模） 6．已知平面向量，，，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．的最大值为5 C．的最小值为2 D．若，则的取值范围 【点评】 1.向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，由于向量既有几何形式（有向线段）也有代数形式（坐标法表示），既有大小（长度）又有方向（夹角），所以具有很强的灵活性，向量进人高中数学之后，使高中数学各知识点之间的距离大大地缩短了，从而成为沟通数学各分支（平面几何、解析几何、立体几何、三角函数、不等式等）的桥梁和纽带，给传统的数学带来了无限生机和活力，向量法蕴含着浓厚的数学思想，处处闪烁着数学美的光辉． 2.向量法主要可以解决如下几类问题． （1）利用（），求解平行问题． （2）利用，求解有关垂直问题． （3）利用，求解有关角的问题． （4）利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关距离的问题． （5）利用及等性质解决有关函数、不等式、三角函数问题，利用向量法证明不等式，方法漂亮、新颖、耐人寻味． （6）构造向量、用向量的方法可以解决某些代数、几何、三角中的问题． （7）向量法在解析几何中的应用已成为高考命题的热点和亮点． 3.平面向量中最值问题的常用思路有，向量不等式法、目标函数法、几何性质法.具体方法包括判别式法、配方法、基本不等式法、换元法、坐标法、函数性质法、导数法等. （2024上·湖南娄底·高三统考期末） 7．已知平面非零向量的夹角为，且满足，则的最小值为（    ） A． B．12 C． D．24 （2022·全国·模拟预测） 8．已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线，，切点分别为，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．6 （山东日照2023一模） 9．已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．8 D． （2024下·安徽·高三合肥一中） 10．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ． 11．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是 . 12．设，若平面上点满足对任意的，，的最小值为 . 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．2 【分析】由题意，可得，，从而可得当时，；当时，，再利用二次函数的性质可得的最大值，比较大小即可得答案． 【详解】解：，为单位向量，和的夹角等于， ， 当时，则； 非零向量， ， 当时， ， 故当时，取得最大值为2， 综上，取得最大值为2． 故答案为：2． 2． 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    3． 【分析】利用基本不等式求出，再根据向量投影求出，求出夹角的余弦值的最小值. 【详解】因为， 所以，当且仅当时取等号． 设，的夹角为，则由题意得， 易知，且， 则， 所以， 所以，夹角的余弦值的最小值为． 故答案为： 4．． 【分析】以P点为圆心，AC所在直线为X轴建立直角坐标系XOY，可设，且，由向量的坐标运算可得：，问题可得解. 【详解】以P点为圆心，AC所在直线为X轴建立直角坐标系XOY,如下： 则 由已知得，所以点O在以P为圆心的单位圆上， 可设，且 所以， 所以 当时， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了向量的坐标运算和三角函数值的范围，本题关键是重新建立合适的坐标系使问题得以解决，考查了转化思想，属于难题. 5． 【分析】建立平面直角坐标系,用三角函数表示，最后根据函数单调性求最小值. 【详解】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设正方形的边长为， 则 设 .又向量 所以， ∴， ∴， ∴． 令，则 所以当时，取最小值为. 【点睛】涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题. 6．ACD 【分析】利用平面向量的数量积公式求解选项，设，，，根据已知条件求出向量，，建立直角坐标系，将转化为即可求其最大值；根据图形可知点的轨迹，利用几何性质即可求出的最小值；设出点的坐标，根据已知条件，转化为三角函数求最值的问题求解. 【详解】对于A，由于，，，则， 则，由于向量夹角范围为大于等于小于等于， 故与的夹角为，则A正确； 对于B，设，，，则，， 不妨设，, 由于，即， 故△为等腰三角形，则，故， 因为，所以， 则点C在以为弦，且使得的两个优弧上，如图示： 故C点所在优弧所在的圆的直径为，则其半径为， 设该圆的方程为，将坐标代入， 得，解得或， 则两优弧所在圆的圆心为，，且两个圆心关于直线对称， 设的中点为M，则 ， 而到弦AB的距离为， 故的最大值为，则的最大值为6， 即的最大值为6，则B错误； 对于C，即为，结合C点轨迹可知当C在圆上的那条优弧上运动时， 会取到最小值，由于， 故的最小值为，即的最小值为2，则C正确； 对于D，结合以上分析可知， 当C在圆上的那条优弧上时，圆的方程为， 设，其中， 则由可得， 解得 ，即， 所以， 当C在圆上的那条优弧上时，圆的方程为， 设，其中， 则由可得， 解得，即， 所以，综上所述，的取值范围，则正确； 故选：. 【点睛】平面向量中的复杂问题，可以坐标化为纯代数运算来求解. 7．D 【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可． 【详解】由已知非零向量的夹角为，所以， 由，两边平方得 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为24. 故选：D. 8．C 【分析】根据题意，求得，得到，结合圆的切线的性质，得到，利用基本不等式，即可求解. 【详解】如图所以，因为过点作圆的两条切线，可得， 由，即， 所以，即， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：C. 9．B 【分析】以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，由向量数量积的坐标表示研究最值. 【详解】 以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，AB、DE交y轴于G、H， 则， 设，，由正六边形对称性，不妨只研究y轴左半部分， （1）当P在EH上时，则，，则； （2）当P在AG上时，则，，则； （3）当P在EF上时，则：，，则； （4）当P在AF上时，则：，，则. 综上，所求最大值为12. 故选：B. 10． 【分析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可. 【详解】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设， 又， 则， ，即 ， 解得， , 因为，则， 所以当时，取得最大值1， 则的最大值为. 故答案为：. 11．2 【详解】 所以最大值为2 12． 【分析】建立如图所示的坐标系，则，设，则，所以，从而，结合，可得，对任意恒成立，则必然成立，可得，而，从而可求得结果 【详解】解：以线段的中点为原点，以所在的直线为轴，以其中垂线为轴，建立直角坐标系，则，设，则， 所以， 因为，所以， 化简得， 由于上述不等式对任意恒成立，则必然成立， ， 解得，所以或， 因为， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以的最小值为， 故答案为： 【点睛】此题考查向量的数量积运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司